资源简介

专题3 二次函数与几何
类型 1·二次函数与线段
类型 方法(已知平面直角坐标系内任意两点
竖直线段长度表示 如图1.若 轴，则
水平线段长度表示 如图2，若 轴，则
斜线段(不与坐标轴平行)长度表示 如图3，若. 不平行于坐标轴，则可利用. 与坐标轴夹角的锐角三角函数值得到. 与 的数量关系，或利用勾股定理可得
类型突破B'
编写说明：例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合，难度和综合性循序渐进易练习.
例1.|领跑原创|抛物线 与x轴相交于点A(--1,0),B(3,0),与y轴相交于点C(0,3).
(1)抛物线的解析式为 ；
(2)若直线y= kx+n经过B,C 两点,则直线 BC 的解析式为 ;
()考向1：线段的最值
(3)如图1，若D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，过点 D 作DF⊥x轴,垂足为 F,交 BC 于点E,求线段 DE 的最大值;
(4)如图2，若P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作. 垂足为 N,设点 P 的横坐标为m(0(0)考向2：线段和差的最值
(5)如图3，已知抛物线上一点 连接CF 交x轴于点G，P 是直线CF 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作PD⊥x轴交CF 于点D，作PE∥x轴交CF 于点E,求 PD+PE 的最大值;
()考向 3：线段之比的最值
(6)如图4，若P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接OP 与直线BC 相交于点D，当 的值最大时，求此时点 P 的坐标；
(●)考向4：线段的数量关系
(7)如图5，已知抛物线的对称轴与x轴相交于点E，与直线y=-x相交于点 F.
①求证:OF∥BC;
若D 是直线OF 上的任意一点,且BC=DF,求点 D 的坐标.
(8)如图6，连接AC，若P 是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 交AB于点Q,交 BC 于点D,若 求点 P 的坐标.
【拓展——思维能力有提升】
例1.1 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，2)，点M 的坐标为 (其中m 为实数).当PM 的长为最小值时，求m 的值.
例1.2 如图，抛物线 与直线 相交于A,B 两点,点A 在y轴上,点 B 在x轴上，直线 与抛物线 的对称轴交于点 C. D是抛物线 上A，B两点之间的一个动点(包括点A，B)，点D 的坐标为(xD，n)，令 当n 取何值时，m的值最小 最小值是多少
类型2·二次函数与面积
编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，再练综合题目易有解题思路、
类型 方法
求边不与坐标轴平行的三角形面积 分割法：过动点 A 作y 轴的平行线交已知端点坐标的线段CB 于点 D,分别过点 B,C 作 ，垂足分别为F,E. 如图1,3 变形：如图2,
等面积问题 利用平行线转化面积：如图3，过点 D 作. 交抛物线于点E,连接CE,BE,S
类型突破
编写说明：例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合，难度和综合性循序渐进易练习.
例2已知抛物线 与x轴相交于点A(-1,0),B(3,0),与 y轴相交于点C(0,3),直线 BC 的函数解析式为y=-x+3.
(●)考向 1：面积的最值
(1)如图1，若D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接CD，BD，AC.
①求△DBC 的最大面积;
求四边形 ABDC 的最大面积及此时点D 的坐标.
(2)如图2，若P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作PH⊥x轴于点 H ,交 BC 于点Q,过点 P 作 PG⊥BC 于点G.求△PQG 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
()考向2：面积和差的最值
(3)如图3，D 是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点 D 作DE∥y轴交线段 BC 于点 E，已知点 连接AF,AD,DF,OE.记△AFD 的面积为S ,△OBE 的面积为S ,令 求 S 的最大值及此时点 D 的坐标；
(●)考向3：面积之比的最值
(4)如图4，若D 是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接CD，AC，直线AD 交直线BC 于点E,设△CDE 的面积为S ,△ACE 的面积为S ,求 的最大值；
()考向4：面积的数量关系
(5)如图5，P 是抛物线的顶点，Q 是抛物线上除点 P 之外的一个动点，若△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标.
类型3·二次函数与角
编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，再练综合题目易有解题思路.
类型 方法
特殊角 45°,90° 构造“K”型全等(或相似)：已知. AC=CD、如图1,过点 A 作AB⊥BC 于点B,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E.结论:△ABC≌
角的数量关系 等角问题 构造角平分线得等角如图2：. 构造平行线得等角如图3： 构造等腰三角形得等角如图4： 构造全等或相似三角形得等角如图5：
倍半 角问题 构造等腰三角形. AD=CD)得等角如图6,图7.
类型突破
编写说明：例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合，难度和综合性循序渐进易练习.
例3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 与x轴相交于A,B 两点(点A 在点 B 的左侧),与y 轴相交于点 C(0,3).
(1)抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
()考向 1：特殊角
(2)如图1，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接EC，把线段EC 绕点E 顺时针旋转 得到线段 EF，EF 交抛物线于点G，求点 G 的横坐标；
(3)如图2，把直线 AC 绕点 A 顺时针旋转 得到直线 AG，AG 交抛物线于另一点G，求点G的坐标；
()考向2：角的数量关系——等角
(4)如图3,过点 C 作 交抛物线于另一点D，连接 BC，BD，若F 是抛物线上的一个动点(不与点 D 重合)，连接 BF 交y 轴于点 E，在点 F 运动的过程中，是否存在 若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图4，设D 是抛物线的顶点，连接BC，BD，判断抛物线上是否存在一点 P，使得 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(6)如图5，连接AC，BC，在抛物线上是否存在点 P ，使 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
()考向3：角的数量关系——倍半角
(7)如图6,连接AC,在抛物线上取点 F,连接 FA,使∠FAB=2∠ACO,求点 F 的坐标.
类型4·二次函数与几何图形
类型突破
编写说明：例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合、难度和综合性循序渐进易练习.
例4.|每领跑改编|在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与y 轴相交于点 C(0,3).
()考向 1：特殊三角形
(1)如图1，设抛物线的顶点为 D，对称轴与x轴相交于点E，Q为线段DE 上一点，连接AC，BC,BQ,CQ.当∠ACO=∠CBQ时,判断△BCQ的形状,并说明理由;
(0)考向2：全等(相似)三角形
(2)如图2，E 是第一象限内抛物线上的一点，过点 E 作EF∥y轴，交直线 BC 于点F，交x轴于点G,过点 E 作ED⊥BC 于点D.
①若△EDF≌△BGF,求点 E 的坐标;
连接AF,DG,若△DEG∽△FBA,求点 E 的坐标.
(0)考向3：(特殊)平行四边形
例5.|领跑原创|如图1，抛物线 与y轴相交于点C，与直线l：y=4相交于点F，G(点F 在点G 的左侧)，顶点是 D，对称轴与x轴相交于点E，四边形 DFEG 是菱形.
(1)求抛物线的解析式；
(2)A为抛物线y 上一动点，其横坐标为t.
①如图2，点B 在y 轴上，T是平面直角坐标系内一点，若四边形ABTE(按逆时针方向排列)是正方形，求点 A 的坐标；
如图3,连接AC,AO,以AC,AO为邻边构建 ，随着点 A 的移动，点Q 的运动轨迹组成的图象的解析式是.
(3)在(2)的条件下,N(0,n)是线段OC 上一点(不与点O重合),已知矩形 HIJK 的顶点H(-n,n),I(n,n),J(n,0),K(-n,0),函数y 在矩形 HIJK 内部的函数图象y随x的增大而增大，求n 的取值范围.
2.综合提升练
1.新新考向·新定义定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”.例如，点(-1、1)是函数y=x+2的图象的“平衡点”.
(1)在函数:①y=- y=x +x+1;③y=-x--1;④y=--x --3x-4的图象上，存在“平衡点”的函数是 ；(填序号)
(2)设函数 与y=-2x+m的图象的“平衡点”分别为点 A，B，过点 A 作AC⊥x轴，垂足为C.当△ABC 为等腰三角形时，求m 的值；
(3)若将函数 的图象绕y轴上一点M 旋转180°，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求点 M 的纵坐标.
2.如图，抛物线 与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与 y轴相交于点 C.
(1)抛物线的解析式为 ；
(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴，直尺两长边被线段 BC 和抛物线截得两线段DE，FG.设点D的横坐标为t，且 当四边形 DEGF 为平行四边形时，求t 的值.
3.新新考向·新定义【概念感知】
我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且函数图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”.例如： 的“友好对称二次函数”为
【特例求解】
的“友好对称二次函数”为 ； 的“友好对称二次函数”为 ;
【性质探究】
(2)关于“友好对称二次函数”、下列结论正确的是 ；(填序号)
①二次项系数为1 的二次函数没有“友好对称二次函数”；
二次项系数为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
的“友好对称二次函数”为
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点.
【拓展应用】
(3)如图，二次函数 与其“友好对称二次函数”L 都与 y 轴交于点A,点B,C 分别在L 、L 上,点B,C的横坐标均为m(0①若a=3,且四边形BB'C'C 是正方形,求m 的值;
若m=1,且四边形 BB'C'C 的邻边之比为1:2,直接写出a 的值.
全国视野
考法拓展
4.2024大连模拟在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 抛物线上点 A，B的坐标分别为
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求m 的取值范围；
(3)过点 A 作x轴的垂线l ,过点 B 作y轴的垂线. 直线 交于点C，以AC，BC为边作矩形 ACBD、
①求 tan∠ABC 的值;
线段AB 与x轴相交于点E，以BE 为边作矩形BEFG，使矩形 BEFG在x轴的下方或上方，且EF>AB.当矩形ACBD 与矩形BEFG 重合部分图形的面积是矩形ACBD 面积的 时，求m 的值.
专题3 二次函数与几何
例1.解: 点拨分别代入A，B，C三点，列方程组求解即可.
(2)y=-x+3点拨分别代入B，C 两点，列方程组求解即可、
(3)设点 F 的横坐标为m(0则
∵点 D 在点E 的上方,
∵-1<0,∴当 时，DE 取得最大值，最大值为
(4)根据题意，得
如图1,过点 P 作PQ∥y轴,交 BC 于点Q.
∴∠PQN=∠OCB,Q(m,-m+3).
∵点 P 在点Q 的上方,
∵B(3,0),C(0,3),∴OB=OC=3.
∴∠OBC=∠OCB=45°.
∴∠PQN=∠OCB=45°.
--
∴当 时，PN 取得最大值，最大值为
(5)设直线 CF 的解析式为y= sx+t.将点C(0,3), 代入，得解得
∴直线 CF 的解析式为 当y=0时， 解得x=2.
∴点G 的坐标为(2,0).∴OG=2.
∵PD⊥x轴,PE∥x轴,
∴∠DPE=∠COG=90°,∠DEP=∠CGO.
设 则
∵点 P 在点 D 的上方,.
∴当 时、PD+PE 取得最大值，最大值为
(6)如图2,过点 P 作PG∥y轴,交 BC 于点G.
设. 则G(p,-p+3).
∵点 P 在点G 的上方,
∵PG∥OC,∴△PDG∽△ODC.
∴当 时. 的值最大.
此时点 P 的坐标为
(7)①证明：根据题意，得抛物线的对称轴为直线x=1.把x=1代入y=-x,得y=-1.∴F(1,-1).
∵E(1,0),∴EO=EF=1.
∵∠OEF=90°,∴∠EOF=∠OFE=45°.
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠OCB=∠OBC=45°.
∴∠OBC=∠EOF.∴OF∥BC.
②如图3,当点 D 在点 F 的右下方时,过点 D 作DG⊥EF 于点G,
∴∠DGF=90°=∠OEF.∴DG∥x轴.
∴∠GDF=∠EOF=45°.∴∠OBC=∠GDF.
又∠BOC=∠DGF=90°,BC=DF,
∴△BOC≌△DGF.∴OB=GD=3,OC=GF=3.
设D(t,-t),则G(1,-t).
∴GD=1-1.∴(-1=3.解得t=4.∴D(4,-4).
当点 D 在点 F 的左上方时,记为 D',过点 D'作D'G'⊥EF 于点G'.
同理可证,△BOC≌△D'G'F.∴OB=G'D'=3.
解得t=-2.∴D'(-2,2).
综上所述,点 D 的坐标为(4,-4)或(-2,2).
(8)如图4,过点 P 作PG⊥AB 于点G,交直线 BC 于点E,过点 Q 作QF⊥AB 交直线BC 于点F.
∴∠AOC=∠QGP=∠FQB=90°.
∵A(-1,0),C(0,3),∴OA=1,OC=3.
设 ,则E(m,-m+3).
∵点 P 在点 E 的上方,
∵AC∥PQ,∴∠CAO=∠PQG.
又∠AOC=∠QGP,∴△ACO∽△QPG.
即
∵∠QGP+∠FQB=180°,∴FQ∥PG.
∴∠FQD=∠EPD.
又∠FDQ=∠EDP,DQ=DP,∴△FDQ≌△EDP.
∴QF=PE,即
解得 (不合题意，舍去).
∴点 P 的坐标为(2,3).
例1.1.解：根据勾股定理，得
∴当 时、PM 的长最小.
一题多解设
∴点 M 在直线 上运动.
∴PM 的长最小值等于点 P 到直线 的最短距离.
根据“垂线段最短”，得点 P 到直线 的最短距离为当PM⊥直线 于点 M 时的PM长.
如图、设直线 分别交x、y轴于点A、B.
把y=0代入，得 解得x=-4.
把x=0代入.得y=-3.
∴A(-4.0). B(0,-3).∴OA=4、OB=3.
∵∠AOB=90°,∴在 Rt△AOB 中、根据勾股定理、得
∵P(0,2),B(0,-3),∴PB=5.
∵PM⊥AB.∴∠PMB=90°.
∴PM=4,BM=3.
解得 或 (不合题意，舍去).
例1.2.解::
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-1).
在y=-x+3中,令x=0,得y=3;
令y=0,得x=3;令x=2,得y=1.
∴A(0,3). B(3,0),C(2,1).∴-1≤n≤3.
把点D(xD,n)代入. 得
如图，过点 D 作抛物线对称轴的垂线，垂足为E.
在 Rt△CDE 中,根据勾股定理,得( CE ,即 2n+5.
∵1>0,∴当 时，m的值最小，最小值为
例2.解:(1)①如图1,过点D作DF⊥OB 于点 F,交 BC 于点E.设 则E(m,-m+3).
∵点 D 在点E 的上方,
∵B(3,0),∴OB=3.
∴当 时,S△DBC取得最大值，最大值为
②∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∴AB=4,OC=3.
∴S四边形ABDC的最大值为
此时 ∴点 D 的坐标为
(2)设 则Q(m,-m+3).
∵点 P 在点Q 的上方,
∵-1<0,∴当 时，PQ取得最大值，最大值为
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°.
∵PH⊥x轴,∴∠PHB=90°=∠BOC.∴PH∥OC.
∴∠PQG=∠OCB=45°.
∵PG⊥BC,∴∠PGQ=90°.∴∠GPQ=45°=∠PQG.
∴当 时，S△PQS 取得最大值，最大值为 ，此时点 P 的坐标为(
(3)如图2,设 DE 交AF 的延长线于点 H,
设 则E(m,-m+3).
设直线 AF 的函数解析式为y=kx+b.
把点 A(-1,0),F(0,- 代入，得
解得
∵D 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，∴0(4)如图3,过点 D 作DF⊥x轴于点F,交 BC 于点M,过点A 作AN⊥x轴交BC 于点 N.
∴∠NAB=∠DFB=90°.∴DM∥AN.
∴△DME∽△ANE∴∴DE=DAN.
设 ，则M(a,-a+3).
∵点 D 在点M 的上方,
∵A(-1,0),∴把x=-1代入y=-x+3,得y=1+3=4.
∴N(-1,4).∴AN=4.
∴当 时， 的值最大，最大值为
(5)如图4,过点 P 作PQ ∥BC,交抛物线于点Q .
∵P 是抛物线的顶点，
∴P(1,4).
∵PQ∥BC,直线BC 的解析式为y=-x+3,
∴设直线 PQ 的解析式为y=-x+n.
把点 P(1,4)代入,得-1+n=4.解得n=5.
∴直线 PQ 的解析式为y=-x+5.
联立 解得 或
∴Q (2,3).
如图4，过点 P 作x轴的垂线交BC 于点G，在直线 PG上取GH=PG.
在y=-x+3中,令x=1,得y=2.
∴G(1,2).∴GH=PG=4-2=2.∴H(1,0).
过点 H 作直线Q Q ∥BC,交抛物线于点 Q ,Q .
同理可得,直线Q Q 的解析式为y=-x+1.
联立
解得
综上所述，点Q 的坐 标为(2，3)或 或
例3.解: (1,4)点拨把点 C 代入,可得m=4，整理易得抛物线的解析式为 转化成顶点式为 因此顶点坐标为(1，4).
(2)∵C(0,3),∴OC=3.
由 得E(1,0)、
∴OE=1、
如图1,过点 F作FH⊥x轴,垂足为H.
∴∠EHF=90°=∠COE.∴∠OCE+∠OEC=90°.
由旋转的性质,知∠CEF=90°,CE=EF.
∴∠HEF+∠OEC=90°.∴∠OCE=∠HEF.
又∠COE=∠EHF,CE=EF,∴△OCE≌△HEF.
∴OE=HF=1,OC=HE=3.∴F(4,1).
设直线 EF 的解析式为y= kx+b.
把点E(1,0)、F(4,1)代入、得
解得
∴直线 EF 的解析式为
联立 得
解得 (不合题意，舍去).
∴点 G 的横坐标为
(3)如图2,过点C 作CH⊥AC,交AG 于点 H,过点 C作MN⊥OC,过点 A 作AM⊥MN 于点M,过点 H 作HN⊥MN 于点 N.
∴∠ACH=∠M=∠N=∠MCO=90°=∠AOC.
∴ 四 边 形 AOCM 是矩形,∠MAC + ∠ACM =∠NCH+∠ACM=90°.
∴∠MAC=∠NCH,AM=OC,MC=AO.
∵∠ACH=90°,∠CAH=45°,
∴∠CHA=45°=∠CAH.∴AC=CH.
又∠M=∠N,∠MAC=∠NCH,∴△ACM≌△CHN.
∴MC=NH,AM=CN.
∵C(0,3),∴CN=AM=OC=3.
当y=0时,
解得
∴A(-1,0),B(3,0).∴NH=MC=AO=1.∴H(3,2).
设直线 AH 的解析式为y= kx+b.
把点A(-1,0),H(3,2)代入,得
解得
∴直线 AH 的解析式为
联立 解得
∴点 G 的坐标为
(4)存在.
解得x =0,x =2.∴D(2,3).∴CD=2.
∵B(3,0),∴OB=OC=3,∴∠OCB=∠CBO.
∵CD∥AB,∴∠DCB=∠CBO.
∴∠DCB=∠OCB.
又∠FBC=∠CBD,BC=BC,
∴△EBC≌△DBC.∴CE=CD=2.∴E(0,1).
设直线 BE 的解析式为y= kx+1.
把点 B(3,0)代入,得3k+1=0.解得
∴直线 BE 的解析式为
联立一 解得 或
∴点 F 的坐标为
(5)存在.
①如图3,当点 P 在x 轴上方时,设 P 为P .连接 DC,CP ,过点 B 作BE⊥BC,交CP 的延长线于点 E,过点D作DH⊥y轴于点H,作 DG⊥x轴于点G.
∵B(3,0),C(0,3),D(1,4),
∴OB=3,OC=3,BG=2,DG=4,DH=1,HC=1.
在Rt△OCB,Rt△DGB,Rt△HDC 中,根据勾股定理,得1
∴△BCD 是直角三角形,且∠BCD=90°.
∴∠BCD=∠CBE=90°.
又CB=BC,∠ECB=∠DBC,
∴△ECB≌△DBC.∴BE=CD=
∵OC=OB=3,∠COB=90°,
∴∠OCB=∠CBO=45°.∴∠EBM=45°.
过点 E 作EM⊥x轴于点M.
设直线 EC的解析式为y= kx+b.
把点C(0,3),E(4,1)代入,得 解得
∴直线 EC的解析式为
联立 解得 耳
∴点 P 的坐标为(
②当点 P 在x轴下方时,设 P 为P .
设直线 BD 的解析式为y= mx+n.
把点 B(3,0),D(1,4)代入,得
解得
直线 BD 的解析式为y=-2x+6.
.∠P CB=∠DBC,∴BD∥P C.
∴设直线 P C的解析式为y=-2x+p.
把点C(0、3)代入,得p=3.
∴直线 P C的解析式为y=-2x+3.
联立 解得 或
∴点 P 的坐标为(4,-5).
综上所述，点P 的坐标为 或(4,-5).
(6)存在.
如图4,设BP 交y轴于点K.
由(5)可得,AB=4,BC=3
∵∠CBP=∠OAC,∠OBC=∠OCB=45°,
∴△CAB∽△KBC.
∵C(0,3),∴K(0,-
设直线 BK 的解析式为y= lx+4.
把点 B(3,0),K(o,- 代入，得
解得
∴直线 BK 的解析式为
联立 解得
∴点 P 的坐标为
(7)当点 F 在第一象限的抛物线上时，记为 F ，如图5，在y轴上取一点H,使CH=AH,过点 F 作F G⊥x轴于点G.
∴∠AHO=2∠ACO,∠F GA=90°.
∵∠F AB=2∠ACO,∴∠AHO=∠F AB.
∵CH=OC-OH,∴AH=3-OH.
在 Rt△OAH 中,∵根据勾股定理,
∵点 F 在第一象限的抛物线上，
∴设
解得n=-1(不合题意，舍去)或
当点 F 在第四象限抛物线上，
过点 F 作F M⊥x轴于点M.
同理可得 (负值已舍)、
综上所述，点F 的坐标为 或
一题多解如图6，在x轴上取一点E，使 EC=EA，点 F在第一象限的抛物线上时，记为F .
∴∠ACE=∠EAC.
设∠ACO=α.
∴∠EAC=∠ACE=90°-α.∴∠AEC=2α=2∠ACO.
∵∠F AB=2∠ACO,∴∠AEC=∠F AB.
∵CE=AE=OA+OE,∴CE=1+OE.
在 Rt△COE中,∵根据勾股定理,
∵点 F 在第一象限的抛物线上，
∴设
解得n=-1(不合题意，舍去)或
点 F 在第四象限的抛物线上时记为F 、同理可得
综上所述，点F 的坐标为 或
例4.解：(1)△BCQ 是等腰三角形或直角三角形.理由如下：①当点Q 在BC的下方时,如图1,设BC 交DE 于点F,过点 Q 作QG⊥BC 于点G,连接CQ.
设Q(1,n),则EQ=n,OE=1.
当y=0时,
解得
∴A(-1,0),B(3,0).
又C(0,3),∴OB=OC=3,OA=1.∴BE=2.
∵∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°.
∵∠BEF=90°,∠AOC=∠QGB=90°,
∴∠BFE=∠CBO=45°.∴EF=BE=2.
∴FQ=EF-EQ=2-n.
在Rt△EBF 中，根据勾股定理，得
∵QG⊥BC,∴∠FGQ=90°.∴∠FQG=45°=∠BFE.
∴FG=QG=FQ·sin∠BFE=FQ· sin 45°=FQ=
∵∠ACO=∠CBQ,∠AOC=∠QGB,
∴△ACO∽△QBG.
即
解得n=1.
∴G是BC 的中点.
又QG⊥BC,∴QB=QC.∴△BCQ是等腰三角形.
②当点Q在BC的上方时,如图2,过点 D 作 DH⊥y轴于点 H.
∴∠DHC=90°.
∴H(0,4),DH=1.
∵C(0,3),∴CH=1.∴CD= ,∠DCH=45°.
即
又∠AOC=∠DCB=90°,∴△AOC∽△DCB:
∴∠ACO=∠DBC.
∵∠ACO=∠CBQ,∴点 Q 与点 D 重合.
此时△BCQ是直角三角形.
综上所述，△BCQ 是等腰三角形或直角三角形.
(2)①∵△EDF≌△BGF,
∴DF=GF,∠DEF=∠GBF.
∵∠OBC=45°,∴∠DEF=45°.
设直线 BC 的解析式为y= kx+b.
把点B(3,0),C(0,3)代入,得
解得
∴直线 BC 的解析式为y=-x+3.
设 则F(m,-m+3).
解得 (不合题意，舍去).
∴点E 的坐标为(
②如图3，设 则F(t,-t+3),G(t,0).
由(1)①,得A(-1,0),B(3,0).
∴BA=4,BG=3-t=FG.
又EF∥y轴,∴∠FGB=∠COB=90°.
∴∠BFG=∠EFD=45°.
在 Rt△BFG 中,根据勾股定理,得
∵DE⊥BC,∴∠EDF=90°.
解得
∵E 是第一象限内抛物线上的一点，.
∴点 E 的坐标为( ,2 ).
)
例5.解:(
∵直线l:y=4,四边形 DFEG 是菱形,∴DE=8.
∴顶点 D(2,8).
把点 D(2,8)代入 得
8=4a-8a+6.解得
∴抛物线的解析式为
(2)①如图1,过点 A 作AH⊥y轴于点 H,过点 E 作EK⊥AH于点K.
∴∠BHA=∠AKE=90°.∴∠HBA+∠HAB=90°.
“四边形ABTE 是正方形,∴AB=AE,∠BAE=90°.
·∠KAE+∠HAB=90°.∴∠HBA=∠KAE.
又∠BHA=∠AKE,∴△HBA≌△KAE.∴AH=EK.
根据题意，得点 A 的坐标为
∵此时点A在第一象限，.
解得
当 时，点A 在第四象限，如图2，亦符合题意.
∴点A 的坐标为( 或
详解把x=0代入 得
∴C(0,6).
∵四边形ACQO是平行四边形，
∴AC∥OQ,AC=OQ.
∴OQ 可看作由AC平移得到的线段.
,O(0,0),C(0,6),
∴点 Q 的运动轨迹组成的图象的解析式为
(3)如图3,把点 K(-n,0)代入 得 解得n=0或n=4.
∵点 N(0,n)不与点O(0,0)重合,∴n≠0.∴π=4.
∴函数 y 在矩形内部的函数图象 y 随x的增大而增大,n的取值范围为01.解：(1)①② 详解根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数.
在 中,令y=-x,得
解得x=1或x=-1.
∴当x=1时,y=-1;当x=-1时,y=1.
的图象上存在“平衡点”(-1,1)和(1,-1).
同理可得， 的图象上不存在
“平衡点” 的图象上存在“平衡点”(-1，1).
在 中,令y=-x,得
解得x=3或x=-3(不合题意,舍去).
∴A(3,-3).∴C(3,0)、∴AC =9.
在y=-2x+m中,令y=-x,得-x=-2x+m.
解得x=m.∴B(m、-m).
∴点 B 的运动轨迹为直线y=-x.
如图1,过点 B 作BD⊥AC 于点 D.
在 Rt△BDA 中,BD=|m-3|、AD=|m-3|、
∴根据勾股定理.
在 Rt△BCD 中. CD=|-m|、根据勾股定理、得
∵△ABC 为等腰三角形、
∴若AB=BC,如图1,则
解得
若AB=AC,如图2、则
解得 或
若BC=AC,如图3,则
解得m=3(不合题意,舍去)或m=0.
综上所述，m的值为- 或 或0.
(3)设 M(0,n).
∴抛物线 的顶点为(2,4).
∵点(2,4)关于点 M(0,n)的对称点为(-2,2n-4),
∴旋转后抛物线的解析式为 4x+2n.
在 中,令 y=-x,得
∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
有两个相等的实数根.
∴△=0,即25-8n=0.解得
∴点 M 的纵坐标为
2.解: 点拨把点A，B代入解析式求解即可.
(2)当x=0时,y=3.∴C(0,3).
设直线 BC 的解析式为：y= kx+3.
把点 B(3,0)代入,得3k+3=0.解得k=-1.
∴直线 BC 的解析式为y=-x+3.
∵点 D 的横坐标为t,.
根据题意，得 E(t,-t+3),点F,G|的横坐标均为l+1.
∵FG∥y轴,.
∵四边形 DEGF 为平行四边形,∴FG=DE.
解得l=1.
3、解:
(2)①②详解由定义，得 的“友好对称二次函数”为 (这里缺少条件a≠1),故③错误;若 则其“友好对称二次函数”为 此时这两条抛物线与x轴都没有交点，故④错误.
(3)∵二次函数 的对称轴为直线x=
∴其“友好对称二次函数
①≌a 3,∴二次函数
二次函数
∴点 B 的坐标为 点 C 的坐标为
∴点 B'的坐标为 ，点C'的坐标为
∵四边形 BB'C'C是正方形,
∴BC=BB',即
解得 (不合题意，舍去).
∴m的值为
②a的值为 或 或 或
详解当m=1时,点 B 的坐标为(1,-3a+1),点C 的坐标为(1,3a-2).
∴点B'的坐标为(3,-3a+1),点C'的坐标为(3,3a-2).
∴BC=|3a-2-(-3a+1)|=|6a-3|,BB'=3-1=2.
∵四边形 BB'C'C 的邻边之比为1:2,
∴BC=2BB'或.
∴|6a-3|=2×2或2=2|6a-3|.
解得
4.解:(1)把点(2, 代入 得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)在 中，令y=0,得 解得
∴抛物线开口向下,与x轴交于点(0,0)和(6,0).
或y >0,y <0.
当9-m=6时,m=3;当9-m=0时,m=9.
当m≤0时,9-m≥9.∴y ≤0,y <0,即. 不符合题意；
当00,y <0,即 0、符合题意；
当3≤m≤6时, 即 0，不符合题意；
当6当m≥9时,9-m≤0.∴y <0,y ≤0,即. 不符合题意、
综上所述,m的取值范围是0(3)①根据题意，得
∵四边形ACBD 是矩形,AC⊥x轴,BC⊥y轴,
∴在 Rt△ABC 中,
②设直线AB 的解析式为y= kx+b.
把点
12)代入,得
解得
∴直线 AB 的解析式为
令y=0,得
解得
由①，知
∴在 Rt△ABC中,设AC=4n,BC=3n.
根据勾股定理，得
由①，知
设AC交x轴于点H,交 EF 于点K.∴H(m,0).
当矩形 BEFG在x轴下方时，如图1.
在 Rt△AHE 中,
在 Rt△AEK 中,
∵重合部分图形的面积是矩形 ACBD 面积的 ,△ACB 的面积是矩形ACBD 面积的
∴△AEK 的面积是矩形ACBD 面积的
整理，得
解得 (不合题意，舍去)，
当矩形 BEFG在x轴上方时，如图2.
同理上种情况可得
∵重合部分图形的面积是矩形ACBD 面积的
∴△AEK 的面积是矩形 ACBD 面积的
整理，得
解得 (不合题意，舍去).
综上所述、m的值为 或

展开更多......

收起↑