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(共25张PPT)
2.5一元二次方程根的判别式
目录
情景导入
新知探究
巩固练习
拓展延伸
情景导入
A．由解方程引入:
解方程: ①x2 x 1 0 b2 4ac 1 4 5
②x2 4x 4 0 b2 4ac 16 16 0
③2x2 3x 4 0 b2 4ac 9 32 0 此方程无实数根,
可见,由b2 4ac的值,可以判断方程根的情况.
新知探究
B．新课:
一、判别式
1.方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式是: b2 4ac.
（1） b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根
（2） b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根
（3） b2 4ac 0 方程没有实数根.
2、判别式的应用
（1）直接判断一元二次方程根的情况;
（2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c
中待定系数的值或取值范围.
例1 不解方程,判断下列方程根的情况.
（1）2x2 3x 1 0
（2）
（3）5x2 7x 5 0
（4）kx2 (2k 1)x k 1 0(k 0)
（1）2x2 3x 1 0
（2）
（3）5x2 7x 5 0
（4）kx2 (2k 1)x k 1 0(k 0)
解（1） ( 3)2 4 2 1 9 8 0 ∴方程（1）有两个不等的实根.
（2） ∴方程（2）有两个相等的实数根.
（3） ( 7)2 4 5 5 49 100 0 ∴方程（3）无实数根.
（4） (2k 1)2 4k(1 k) 4k2 4k 1 4k 4k2 8 k2 1 0
（无论k为何值均有8 k2 1 0）
∴方程（4）有两个不等实根.
今后遇到二次方程马上先由 判断一下根的情况这是解题
的良好习惯.
例2 关于x的方程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0在下列条件下, 分别求m的非负整数值.
（1）方程只有一个实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根.
解:（1）当m 2 0即m 2时方程为一元一次方程 2x 3 0,
即m 2时,已知方程只有一个实数根.
（2）当方程有两个相等的实根时,必须且只需
解出
∴m 3时,方程有两个相等的实数根.
（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需
解出
又m是非负整数 ∴m 0或m 1
小结:使用 时必须在a 0的前题下.
例3. m取什么值时,关于x的方程
2x2 (m 2)x 2m 2 0有两个相等的实数根？
并求出这时方程的根.
解:∵方程有两个相等的实数根,
∴ (m 2)2 8(2m 2) m2 12m 20 (m 2)(m 10) 0
∴m1 2 m2 10
当m1 2时
当m2 10时
∴所求m 2或m 10 ,方程的根为1或3.
例4 求证:无论a为任何实数,关于x的方程
x2 (2a 1)x a 3 0总有两个不相等的实数根.
证: (2a 1)2 4(a 3) 4a2 8a 13 4(a 1)2 9
即 0
无论a为任何实数 (a 1)2 0 ∴4(a 1)2 9 0
∴无论a为任何实数,方程x2 (2a 1)x a 3 0总有两个不等实根.
由例4可知:要说明 0常将它配成完全平方式 正数.
观察下表.
方程 x1 x2 x1 x2 x1x2
x2 2x 0 0 2 2 0
x2 3x 4 0 -4 1 -3 -4
x2 5x 6 0 2 3 5 6
Ⅰ观察两根之和,两根之积与a、b、c的关系;
Ⅱ两根之和 一次项系数的相反数;
两根之积 常数项.
Ⅲ推广 方程ax2 bx c 0(a 0 b2 4ac 0)
变形为
由求根公式
与上述观察结果对比,可得到根系关系.
巩固练习
拓展延伸
二、根系关系
1、关于x的方程ax2 bx c 0(a 0,b2 4ac 0)的两根x1、x2与系数a、b、c的关系是:
注:应用根系关系的前题是a 0且 0
2、根系关系的应用:
（1）已知方程的一根,求另一根及字母系数的值.
（2）已知两根之间的关系,确定方程中字母系数的值.
例5 已知方程 的一个根是 1,求k及另一根
解法一:设方程的另一根为x1
∴所求 ,
解法二
∵ 1是方程的根
∴
∴方程为
x2 1
∴所求 另一根为
引申:若 x2 1 则对应的方程是什么？
即以 , 1为根的方程为 0
例6 方程x2 (m 1)x 2m 1 0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解: (m 1)2 4(2m 1) m2 6m 5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m 1 0,m 1,且 0
∴m 1时,方程的两根互为相反数.
拓展延伸
②∵两根互为倒数 m2 6m 5,
∴两根之积2m 1 1 m 1且 0,
∴m 1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m 1 0 且 0,
∴ 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数,则b 0;
（2）若两根互为倒数,则a c;
（3）若一根为0,则c 0 ;
（4）若一根为1,则a b c 0 ;
（5）若一根为 1,则a b c 0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
引申2 若a、b是方程x2 2x 7 0的两个实数根,求:
①a2 b2 ②a2 3b2 4b ③a3 5b2 b 76的值.
解:由根系关系a b 2,ab 7,
a2 7 2a b2 7 2b,
①a2 b2=(a b)2 2ab 4 14 18.
②a2 3b2 4b (7 2a) 3(7 2b) 4b 2(a b) 28 2( 2) 28 32.
③a3 5b2 b 76 a a2 5b2 b 76 a(7 2a) 5(7 2b) b 76
7a 2a2 35 11b 76
7a 2(7 2a) 35 11b 76
11(a b) 49 76 11( 2) 49 76 5.

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