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城北高级中学2024-2025学年度第二学期第二次月考试卷
数学试题
一、单选题
1. 已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（ ）.
A. B.
C. D.
2. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是（ ）
A. B. C. D. 4
4. 如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 设为锐角，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 向量与向量夹角为钝角，则实数取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第二象限
10. 已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则等腰直角三角形
三、填空题
12. 已知向量的夹角为，且，则______.
13. 的值__________.
14. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角大小是_____________.
四、解答题
15. 已知，，且，其中是第二象限角．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16. 如图，在正三棱柱中，点在边上，．
（1）求证：平面；
（2）如果点是的中点，求证：平面．
17. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，．
（1）若，求矩形的面积；
（2）用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值．
18. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
19. 如图，正三棱柱中，各棱长均相等， 分别为棱 的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.
城北高级中学2024-2025学年度第二学期第二次月考试卷
数学试题
一、单选题
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多选题
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题
【12题答案】
【答案】1
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【17题答案】
【答案】（1）
（2），最大值.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）

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