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大庆实验中学实验二部 2022 级高三得分训练（六）
数学试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
符合题目要求的.
1．已知集合 A 1.5 , 1 , 0.4 , 2.1 ，其中 x 表示不超过 x的最大整数，
B x Z∣ 2 x 2 ，则 A B （ ）
A． 1,0 B． 1，0,1 C． 1,0, 2 D． 2, 1, 0
1 i
2．设 i为虚数单位，复数 z的共轭复数为 z ，若 z 2025 ，则 z在复平面内对应的点位于第（ ）i
象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为线段BC的中点，则点 D1到直线 AE的距离为
（ ）
A 2 5 B 4 5 C 6 5 105． ． ． D．
5 5 5 5

4．已知向量a 3,4 ，b cos ,sin 2sin cos ，若 a∥b，则 的值为（ ）sin 2cos
1 3 1 3
A． B． C． D．
2 4 2 4
5.不等式 x1 x2 x3 6，其中 x1, x2 , x3是非负整数，则使不等式成立的的三元数组 x1, x2 , x3
的组数是（ ）
A. 36 B. 56 C. 84 D. 98
a
6.已知数列 a 1 a2 a3 an 1n 满足 2 3 ... n n n N ，数列 bn 满足bn a 2100 ，则2 2 2 2 n
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
b1 b2 ... b199 （ ）
1 199 25 199
A. 100 B. 101 C. D.2 2 296 2100
2
7 x 1．设函数 f x e a ln x b ，若 f x 0 a恒成立，则 b的最小值为（ ）
2
1 5 7
A． B 3． C． D．
2 2 2 2
8.“布朗运动”是指微小粒子永不停息的无规则随机运动，在如图所示的实验容器中，容器由两
个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在的仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容
器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在
1号仓，则试验结束时，该粒子是从 1号仓到达容器外的概率为（ ）
9 7 3 5
A. B. C. D.
11 9 5 8
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
3
9．如图，在矩形 ABCD 中， AB 10, AD 4 ，点 P 满足 DP DC，其中 [0, ] ，设4

PA a ,PB b，则下列说法正确的有（ ）

A． a b 2 3,10 B． a b 8, 2 41

C．a b 7,9 D．a b 9,16
10．对于集合 S，若存在集合 S的两两不同的子集 A1, A2 , , Ak , k 1满足 A1 A2 Ak ，则
称其为集合 S的一条“链”，称 k为这条“链”的长度.当集合 S的元素个数 S n时，下列说法正确
的是（ ）
A．集合 S的最长“链”的长度为 n 1
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当 S 4时，该集合的任意两条长为 5的“链”中一定具有相同集合
D．集合 S的最长“链”的总数为 n!
1
11 f x x3 1 a 2 x2 2ax a2 4．已知函数 在 x 2处取得极值，且在 2, 上单调，
3 2 3
则下列结论中正确的是（ ）
A． a的取值范围是 , 2
B． f x 可能有两个零点
C．若 f x 2在 0, 上有最小值，则 a的取值范围是 ,

3
D．当 a 2 x x 1 x 3时，若关于 x的不等式 f 8 4 2 2 f 2x m 16 2 0恒成立，则实数m3
的取值范围是 3,
三、填空题：本题共 3 小题，每空 5 分，共 15 分。把答案填在答题卡的相应位置.
12.已知点 P 1,4 在抛物线上，则抛物线的标准方程为________.（写出所有可能情况）
13.已知数列 a1 1，a2 3，当n 1时，有 an 2 3an 1 2an 2，设bn an 1 an ，则b50 除
以 7的余数是________.
14．我们规定：在四面体 P ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为四面体 P ABC的一
条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
y2
如右图，在空间直角坐标系中， xOy平面内有椭圆C : x2 1， F1为其下焦点，经过 F1的直
2
线 y kx m与C交于 A,B两点，P为 xOy平面下方一点，若 P ABO为垂棱四面体，则实数 k的
取值范围为 . .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知函数 f x m sin x
π
m 0, 0 只能同时满足下列三个条件中的两个：
6
①函数 f x 的最大值为 2；
②函数 f x 的图象可由 y 2 sin 2x π 的图象平移得到；
4
③函数 f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π．
(1)请写出这两个条件的序号（不用说明理由），求出 f x 的解析式并求其对称中心；
π
(2)在锐角VABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， A ，a f A ，求VABC周长
3
的取值范围．
16.（本小题满分 15 分）DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，
好助手”，AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对 DeepSeek
的使用情况，随机调查了 200 人，得到如下数据：
单位：人
使用情况
学历 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 40 60 100
合计 105 95 200
(1)依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为 DeepSeek 的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3 道题目，甲、
乙同时依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，
每人得 0 分；若一人答对另一人答错，答对的得 10 分，答错的得 10分，比赛结束累加得分为
正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选
2 1
手正确回答每道题的概率分别为 ， ．求比赛结束后甲获胜的概率；
5 2
n(ad bc)2
附： 2 a b c d a c b d ，其中 n a b c d．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
17.（本小题满分 15 分）如图，棱长为3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E F分别是棱 AB, AD的
中点，G为棱DD1上的动点.
(1)当点G为DD1中点时，求证：直线 EG //平面BDC1 ,
并求此时三棱锥G EBC1的体积.
(2)求三棱锥G A1C1B的外接球面积的最大值.
18. x
2 y2
（本小题满分 17 分）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左右顶点为 A,B，且 AB 2，a b
双曲线C的一条渐近线的斜率为 2，过点 R 2,0 的直线 l1交双曲线C于M ,N两点，O为坐标
原点.
(1)求双曲线C的方程；

(2)若双曲线C 2上存在点T，且OT OM ON ，求此时直线 l1的方程.8
(3)过点 R 2,0 1 的直线 l2双曲线C于P,Q两点，直线 l1的斜率为 k1 k1 1 ，直线 l2的斜率为 k2 2，
且 k
1
1 k2 ，求 MR NR PR QR 的最小值.3
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
19.（本小题满分 17 分）
1
已知函数 f x 的定义域为D ,若对于 x D，均有 f x f ，则称函数 f x 为“类奇
x
函数”.已知函数 h x 2lnx k x 1 x ，其中 k 0.
(1)试判断函数 h x 是否为“类奇函数”并讨论 h x 的单调性；
(2) x 4ln2x k2 x2 1若函数 2 2

x 有三个不同的零点，求正数 k的取值范围．
2
(3)已知 n N*
1 1n 2 1
1
1 1 1 且 ，求证： 2 2 2 1 2 e 3 ； 2 3 4 n
大庆实验中学实验二部 2022 级高三得分训练（六）
数学试题答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D D C A C B C A BD ACD BCD
6.答案：B
a a a a
解：由 1 2 3 n2 3 ... n n n N 1易求得 a 2n，所以b2 2 2 2 n n 2n 2100
又bn b
1 1 1
200 n ，2n 2100 2200 n 2100 2100
所以b1 b2 ... b 99
1 b 99 1 199199 2100 100 2100 2101 2101
7. 答案：C
解：函数 f x 的定义域为 b, ，函数 g x ln x b 是增函数，且 g 1 b 0，
当 a 0时， e x 1 a 0，不合题意，故 a 0 h x ex 1，函数 a是增函数，
令 h x 0，得 x ln a 1，由题意 f x 0，
并结合 g x ，h x 的图象，则b 1 ln a 1，即b lna 2，
a2 a2 2 2
则 b 2 ln a，设 x x 2 ln x x 1， x ，
2 2 2 x
2
当0 x 1时， x 0， x 5 a单调递减，当 x 1时， x 0， x 单调递增，则 x 1 ，即 b的
2 2
5
最小值为 ．
2
8.答案：A
解：设粒子在 1号仓最终从 1号仓飞出为事件 A,概率为 p .第一次飞行会有两种结果，直接飞出或飞到 2号仓，根
p 3 1 1 9据全概率公式有， p，解得 p .
4 4 3 11
10.答案：ACD
解：A选项，设 S a1,a2 , ,an ，
两两不同的子集 A1, A2 ,L, Ak , k 1，满足 A1 A2 Ak ，
故 Ak 1中的元素要至少比 Ak 多一个元素，
要想集合S的一条“链”为最长“链”，需满足 A1 ，且 Ak 1中元素比 Ak 中元素多 1，
所以 A1 ，A2 at , A3 at ,aq , , Ak S ，
故集合S的最长“链”的长度为 n 1，A正确；
试卷第 1页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
B选项，不妨设 Am 1 , Aw 2 ，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误；
C选项，当 S 4时，长度为 5的“链”中一定有集合 S，所以 C正确.
D选项，由 A选项值，S的最长“链”的长度为 n 1，
其中 A2 at 有 n种选择， A3 at ,aq 有 n 1 种选择，以此类推，
Ar at ,aq , ,au 中共有 r 1 个元素，有 n r 2 种选择，
综上，S的最长“链”的总数为 n！，D正确.
11.答案：BCD
解：选项 A：由题得 f x x2 a 2 x 2a x 2 x a ，若 a 2 2，则 f x x 2 0， f x 单调递增，
不存在极值，又因为 f x 在 x 2处取得极值，所以必有 a 2．
当 a 2时，可知 f x 在 x 2处取得极小值，且在 2, 上单调递增，符合题意；
当 a 2时，可知 f x 在 x 2处取得极大值，但在 2, 上先减后增，不符合题意．
综上， a的取值范围是 2, ，故 A错误．
选项 B：由选项 A可知 f x 的极大值为 f a 1 a 3 1 a 2 a 2 4 1 2a a a2 a3 8 ，3 2 3 6
1 3 1 2 2 4
极小值为 f 2 2 a 2 2 2a 2 a a a 2 ，
3 2 3
因为 a 2
1 3
，所以极大值 f a
6 a 8 0，
当极小值 f 2 a a 2 0，即 a 0时， f x 有两个零点，故 B正确．
选项 C：要使 f x 在 0, 上有最小值，应满足 f 0 f 2 ，即 a2 4 a a 2 ，解得a 2 ，故 C正确；
3 3
1 3 8 1 3
选项 D：当 a 2时， f x x 4x ，令 g x x 4x，显然 g x 是奇函数，
3 3 3
且 f x 8 g x x x 1 x 3，因此不等式 f
3 8 4 2 2 f 2
x m 2 16 0，3
g 8x 4x 1可化为 2x 3 2 g 2x m 2 0，
g 8x 4x 1 2x 3即 2 g 2x m 2 ，由于 g x 是奇函数，
x x 1 x 3 x m
所以 g 8 4 2 2 g 2 2 ，又8x 4x 1 2x 3 1 2 2 3， 2x m 2 2且 g x x 4x在 2, 上单调递3
1 8 8
增，（函数 f x x3 4x 在 2, 上单调递增，将 f x 的图象向上平移 个单位长度得到 g x 的图象，所以
3 3 3
f x 与 g x 的单调性相同），因此8x 4 x 1 2 x 3 2 2 x m 2，即8x 4 x 1 2 x 3 2 x m，
1
m
2
于是 4
x 4 2x 8，由于 y 4x 4 2x 8 2x 2 4 8，
2
试卷第 2页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
m
1
因此 8，则m 3，故实数m的取值范围是 3, ，故 D正确．
2
填空题：
1
12 2 2． y 16x或 x y 13. 6 14． ( 2 , 2 )
4 2 2
13.解析：由 an 2 3an 1 2an 2得 an 2 an 1 2 2(an 1 an 2)，则bn 1 2 2(bn 2)，又
b1 2 a2 a1 2 4，所以数列 bn 2 是以 4为首项，2为公比得等比数列
b 2 4 2n 1n 2
n 1
，bn 2
n 1 2 b 251 2 (7 1)17， 50 2，故b50 除以 7余 6.
14.解析：如图，连接M1M2 ,M3M4 ,M1M3,M1M4 ,M3M2 ,M4M2，
1 1
由题知，M1M 3平行且等于 PB，M 4M 2平行且等于 PB，所以M M2 2 1 3
/ /M 4M 2 ，
M1M 3 M 4M 2 ，故M1M3M2M4为平行四边形，所以对角线M1M2 M3M4 O，则O是
M1M2,M3M4的中点，同理O也是M 5M 6的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知M1M3M2M4为菱形，则M1M3 M1M4，显然
PB 2M1M3,AC 2M1M4，故 PB AC，同理 PA BC,PC AB，
所以“垂棱四面体” P ABC可补为如下图示的长方体，
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，因直线 y kx m过椭圆焦点 F1，所以m 1，
2
x2
y
1
联立 2 ，得 (2 k 2)x2 2kx 1 0 ，则 4k 2 4(2 k 2) 0，
y kx 1
x x 2k
4
1 2
y y
2 k 2 1 2 2 k 2
所以 ，则 ，
x x 1

y y 2(1 k
2)
1 2 2 k 2 1 2

2 k 2
由 A,B,O为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知 ABO中 A,B为锐角，
1 2k 2 2 2
所以只需角O为锐角，即OA OB 0，则 x1x2 y1y2 2 0，可得 k ( , )，2 k 2 2
故答案为： ( 2 2 , ) .
2 2
解答题：
15.（本小题满分 13 分）
π
已知函数 f x m sin x m 0, 0 只能同时满足下列三个条件中的两个：
6
①函数 f x 的最大值为 2；
π
②函数 f x 的图象可由 y 2 sin 2x 的图象平移得到；
4
试卷第 3页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
③函数 f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π．
(1)请写出这两个条件的序号（不用说明理由），求出 f x 的解析式并求其对称中心；
π
(2)在锐角VABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， A ， a f A ，求VABC周长的取值范围．
3
【详解】（1）满足的条件为①③..................................................................................................................................1

由③知T 2 ，则 1，故 f x 2sin(x ) ........................................................................................................3
6
x 令 k ，得 x k k Z ,
6 6

所以对称中心为 k

,0 k Z ............................................................................................................................5
6

因为 A ，所以 a 2sin 23 3 6
π 2
因为三角形为锐角三角形，所以0 B ，C B

B
2 3 2
， ，
6

所以 B ................................................................................................................................................................7
6 2
a b c 2 4 3

由 sin A sin B sinC ，sin 3
3
4 3 4 3
得 b sinB， c sinC 4 3 sin(2 B) ，
3 3 3 3
b c 4 3 sin B sin 2 B 4 3 sin B sin 2 cos B cos 2 sin B
3 3 3 3 3
4 3 3sinB 3

cosB
3 1
43 2 2
sinB cosB 4sin(B ).............................................................................11
2 2 6

因为 B
2
3 ，所以 B ， sin(B 1，
6 2 3 6 3 2 6
所以 2 3 b c 4，即 2 2 3 a b c 6．
即周长范围是 (2 2 3,6]．.........................................................................................................................................13
16.（本小题满分 15分）DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模
型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对 DeepSeek的使用情况，随机调查了 200人，得
到如下数据：
单位：人
使用情况
合
学历
经常使 不经常使 计
试卷第 4页，共 11页
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用 用
本科及以
65 35 100
上
本科以下 40 60 100
合计 105 95 200
(1)依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为 DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3道题目，甲、乙同时依次作答，
3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得 0分；若一人答对另一人答错，
答对的得 10分，答错的得 10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答
2 1
题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为 ， ．求比赛结束后甲获胜的概率；
5 2
2 n(ad bc)
2
附： a b c d a c b d ，其中 n a b c d．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）零假设为H0：DeepSeek的使用情况与学历无关，
200 65 60 2 35 40
根据列联表中的数据，可得 2 12.531 10.828，..............................................................4
100 100 105 95
依据小概率值 0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为 DeepSeek的使用情况与学历有关，此推断犯错误的
概率不大于 0.001；...............................................................................................................................................................6
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第 i i 1,2,3 道题时，甲得分为 X i，
P X i 10
2 1 1
，
5 2 5
P X 0 3 1 2 1 1i ，5 2 5 2 2
P X i 10
3 1 3
，.................................................................................................................................................9
5 2 10
比赛结束甲获胜时的得分 X可能的取值为 10，20，30，.............................................................................................10
3
则 P X 30 1 1 ，
5 125
试卷第 5页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
2
P X 20 C1 1 1 33 ，2 5 50
1 1 2P X 10 C1 C1 3 1
2 93
3 3

，..........................................................................................................135 2 10 5 500
1 3 93 127
所以比赛结束后甲获胜的概率 P P X 30 P X 20 P X 10 ................................15
125 50 500 500
17.（本小题满分 15分）如图，棱长为3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E F分别是棱 AB, AD的中点，G为棱DD1上
的动点.
(1)当点G为DD1中点时，求证：直线 EG //平面BDC1 ,
并求此时三棱锥G EBC1的体积.
(2)求三棱锥G A1C1B的外接球面积的最大值.
解:（1）证法一：
连接 EF ,FG ,因为 E,F分别是中点，所以 EF // BD,
又因为 BD 平面C1BD,EF 平面C1BD ,
所以 EF //平面C1BD ,....................................................................................................................................................2
同理，GF //平面C1BD ,...............................................................................................................................................3
又因为GF EF F ,EF,GF 平面DFG ,
所以平面 EFG //平面C1BD
所以 EG //平面C1BD .........................................................................5
证法二：取C1D中点M ,连接GM ,MB
因为MG // BE且MG BE ,
所以四边形 BEGM为平行四边形，所以 EG //MB .......................3
又因为MB 平面C1BD,EG 平面C1BD ,
所以 EG //平面C1BD .......................................................................5
下面求三棱锥G EBC1的体积.
取C1C中点G ' ,同理可得GG ' //平面C1BE
所以
试卷第 6页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
V V V 1 1 3 3 3 9G EBC G ' EBC E BC G ' ................................................................................................81 1 1 3 2 2 2 8
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，如图所示，建立空间直角坐标系，易知，
D 0,0,0 , A1 3,0,3 ,B 3,3,0 ,C1 0,3,3 ，
在正方体中， A1B A1C1 BC1 ,则 A1C1B为等边三角形.
连接 B1D, AB1易知， A1B AB1, A1B AD ,所以 A1B 平面AB1D，
所以， A1B B1D . 同理， BC1 B1D，又 A1B BC1 B
所以 B1D 平面A1C1B .........................................................................................................................................................10
设垂足为H ，则H 为 A1C1B的中心，H 2，2，2 ,
则三棱锥G A1C1B的外接球球心在直线DH 上，设为点O，
设DO DH ,则O 2 ,2 ,2 ,设G 0,0, t , 0 t 3 由 OA1 OG ,得
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 t 2，
2 2
整理得 18 t 1 18 t , 0 t 3 ...............................................................................................................12
24 4t 4 6 t
1 18
令6 t m, 则m 3,6 ， m 12 , 3 m 6
4 m

所以
3 6 3 2
， ，4 2
R 12 2 24 18 12 1 2 6 ，
3 3 3
当 时，半径最大，最大值为 .................................................................................................................14
4 2
所以外接球面积的最大值为S 4 R2 27 ...........................................................................................................15
18. x
2 y2
（本小题满分 17分）已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的左右顶点为 A,B，且 AB 2，双曲线C的一条渐
a2 b2
近线的斜率为 2，过点 R 2,0 的直线 l1交双曲线C于M ,N两点，O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程；

(2) 2若双曲线C上存在点T，且OT OM ON ，求此时直线 l1的方程.8
试卷第 7页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
(3)过点 R 2,0 的直线 l2双曲线C于 P,Q
1 1
两点，直线 l1的斜率为 k1 k1 1 ，直线 l2的斜率为 k2，且 k1 k2 ， 2 3
求 MR NR PR QR 的最小值.
2a 2

【详解】（1）由题意， b ，解得 a 1，b 2，
2 a
y2
则双曲线C的方程为 x2 1.......................................................................................................................................2
2
（2）当直线 l1的斜率为0时，M 1,0 ,N 1,0 ，
2
此时OM ON 0,0 ，显然不存在点T满足OT OM ON ；.......................................................................48
则直线 l1的斜率不为0，设直线 l1的方程为 x t1y 2，M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
x t1y 2 2
联立 y2 ，得 2t1 12 y 2 8t1y 6 0，
x 1 2
2t2 1 0 Δ 64t 2 2 2则 1 ， 1 4 2t1 1 6 16t1 24 0 2，即 t1 ，2
y 8t 61 y 12 ,y y 2t 2 1 1 21 2t
2
1 1
，
x x t y 2 t y 2 t y y 4 8t
2 4
则 1
1
2 1 1 1 2 1 1 2 2 4 2 ，........................................................................62t1 1 2t1 1

又OM x1, y1 ,ON x2 , y2 ，
2

OT OM ON 2 x x 1 2t

则 1
8 8 1
2, y1 y2 , ，
2 2t2
2
1 1 2t1 1

T 1 , 2t

即 1 2 2 ，......................................................................................................................................8 2 2t1 1 2t1 1
y2
代入 x2 1，
2
2
2t
2

1
得 1
2t2 1
1 1，
2
2 2t1 1 2
t2 1 t2 1 2 1解得 1 或 ，即2 1 4 t1
（舍去）或 t
2 1
，
2
则直线 l1的方程为 x
1
y 2，即 2x y 4 0 .......................................................................................................10
2
（3）由（2）知，设直线 l1的方程为 x t1y 2，M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
y 8t 61 y 12 ,y y 2t 2 1 1 2 2t 21 1 1
，
显然直线 l2的斜率不为0，设直线 l2的方程为 x t2 y 2， P x3, y3 ,Q x4 , y4 ，
试卷第 8页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
8t2 6
同理可得 y3 y4 2 , y2t 1 3
y4 2t2 1，................................................................................................................122 2
由 k
1 1
1 k2 ， k1 1，3 2
3
则 t1t2 3，1 t
3
1 2，即 t2 t ， 3 t2 ，1 2
2
MR NR 1 t2 y 1 t2 y 1 t2 6 6 1 t所以 1 1 1 2 1 12t2 ，1 1 2t21 1
2
PR QR 6 1 t 1 t22 y3 1 t
2
2 y4 1 t22 6 22t2 1 2t2 1，..............................................................................142 2
2 2
MR NR PR QR 6 1 t1 6 1 t2 36 t
2
1 t
2
2 t
2
1 t
2
2 1 10 t
2 t2
所以 2 2 36
1 2
2t 1 2t 1 4t 2t 2 2 t 2 t 2 1 37 2 t2 t2 ，..............................151 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 9 2
令u t1 t2 t1 t 2 ，1 t1 4，1
9
因为函数 y x 在 1,3 上单调递减，在 3,4 上单调递增，
x
且 x 1时， y 10
25
； x 3时， y 6； x 4时， y ，
4

则u 6,10 MR NR PR QR f u 36 10 u 36 1 57，所以 ，
37 2u 2 2 37 2u


函数 f u 在 6,10 上单调递增，
则 f u f 6 576 ，即 MR NR PR QR 576min 的最小值为 ..........................................................................1725 25
19.（本小题满分 17分）
1
已知函数 f x 的定义域为D ,若对于 x D，均有 f x f ，则称函数 f x 为“类奇函数”.已知函数
x
h x 2lnx k x 1

x ，其中 k 0.
(1)试判断函数 h x 是否为“类奇函数”并讨论 h x 的单调性；
1
(2)若函数 x 4ln2x k2 x2 2

x2 有三个不同的零点，求正数 k的取值范围．
* 1 1 1 1 1 1 1
2
(3)已知 n N 且 n 2

，求证： 2 1 e 3 ； 2 32 42 n2
h x 2ln x k 1【详解】（1）函数 x 的定义域为 0， ，
x
而 h
1
2ln
1
k 1 x ，
x x x
1
h x h 1 1 1 2ln x k x 2ln k x 0
x x x x
试卷第 9页，共 11页
{#{QQABaYSQggAoAAIAABhCAQ1YCEGQkBAACaoGxAAUIAAAgANABAA=}#}
即 h x 1 h ，所以 h x 是“类奇函数”................................................................................................................2
x
2
h' x 2 k 1 1 kx 2x k 2 ,x x 4 4k
2
x2
①当 k 1时， 0,h '(x) 0恒成立，函数 h(x)在 (0, )上单调递减；.................................................................3
1 1 k 2 1 1 k 2
②当0 k 1时， 0,m(x)有两个零点 x1 0, xk 2
0，
k
则当0 x x1或 x x2时， h
' x 0；当 x1 x x '2 时，即 h x 0，
即函数 h x 在 (0, x1)上单调递减，在 (x1,x2)上单调递增，在 x2 单调递减
综上可知：
当 k 1时函数 h(x)在 (0, )上单调递减；
当0 k 1时函数 h x 在 (0, x1)上单调递减，在 (x1,x2)上单调递增，在 x2 单调递减................................5
2
（2）函数 (x) 4ln2 x 1 k 2 2 x 2 2
4ln2 x k 2 1 x

2ln x k
x 1 2ln x
1
k
x
x ，
x x x
k x 1 x 1
由于 ln x与 x 1同号，则 y 2ln x k x
1
2ln x 只有一个零点 x 1，
x x
由 h 1 0，则 (x)有三个不同的零点等价于函数 h x 有三个不同的零点，........................................................7
由（1）知，当 k 1时， h x 在 (0, )上单调递减，只有一个零点 1，不合题意；
当0 k 1时，由（1）知， h x 的两极值点 x1, x2满足 x1x2 1，且 x1 1 x2由 h 1 0，
则 h x1 h 1 h x2 ，所以 h x2 0 ......................................................................................................................8
下面证明，当 x 1时， ln x x
1 1 2 x
令 g x ln x x x 1 ， g ' x
x 2 x 2x
在 1，4 ，g ' x 0, g x 单调递增，在 4， ，g ' x 0, g x 单调递减，
所以 g x max g 4 ln 4 2 0，所以 g x 0， x 1 ，即当 x 1时， ln x x ......................................10
1 1 2
当 x x2 时， h x 2ln x k x 2 x k x k x 2 x k x x
2
2 2
令 k x 2 1 1 k 1 1 k 2 x k 0，得 x ，取 x
k 3 k
则有 h x3 0，所以根据零点存在性定理， x0 x2 , x3 ，h x0 0 ...............................................................12
试卷第 10页，共 11页
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由（1）知，h x 为“类奇函数”，所以h 1 0
x0
1
所以当0 k 1时，函数 x 有 x0 ,1, x 三个零点，满足题意.0
综上可知：正数 k的取值范围是 0，1 . ..........................................................................................................................13
1
（3）由（1）知，当 k 1时， x (1, )时， f (x) 2 ln x x f (1) 0，
x
ln x x 1则 ，令 x 1
1
*2 (n N ,n 2)，............................................................................................................152 2x n
ln(1 1 ) 1 2 (1
1 ) 1 1 ( 1 1 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 于是 n 2 n 2(1 1 ) 2 n 1 n n 2 12 n n
1 n 1 ，
n 4 2 2
ln(1 1 1 1 1所以
22
) ln(1 2 ) ln(1 2 ) ln(1 )3 4 n2

1 1 1 1 1 1
2 1 2

2 1
1 1 1 ，2 3 3 n 1 n 1 3 n 1 3
2 2 2 2 2 2 2
2
所以 1
1
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 e 3 （ n N*且 n 2）..............................................................................17 2 3 4 n
试卷第 11页，共 11页
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