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高一下学期 5 月份阶段性检测数学科试题 （2025.5）
注意事项：
1.本试卷共 4 页 19 题，满分：150 分.考试时间：120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一.单项选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 2i
1. 已知复数 z 满足 z i ，则 z 的虚部为（ ）
2 i
A. i B. 2i C. 1 D. 2
p
2. 在VABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c，已知 a 1，b 2 ，A ，则 B 6
（ ）
p p p 3p p 2p
A. B. C. 或 D. 或
3 4 4 4 3 3
a , b , a

3. 已知向量 且 1, (a b ) a 2,则b在 a上的投影向量为（ ） .

A. a B . a C . 1 D . 1
4. 已知平面a ， b ，直线m ，且a ^ b ，则“m ^ a ”是“m ∥ b ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，为了测量河对岸 A, B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直
线上的三点C, D, E .从D点测得 ADC 67.5o ，从C 点测得
ACD 45o , BCE 75o，从 E 点测得 BEC 60o .若测得
DC 3,CE 2 2 （单位：百米），则 A, B 两点的距离为（ ）百米.
A. 3 B. 2 3 C. 6 D. 2 6
6.下列命题正确的个数是（ ）.

①若a / /b,b / /c,则a / /c;②VABC 中，若 acosA bcosB ，则VABC 形状为等腰三角形;
2p
③已知e1,e2表示两个夹角为 的单位向量，O为平面上的一个固定点，P 为这个平面上任一点，3

当OP xe1 ye2时，定义（x, y)为P 点的斜坐标.设点M的斜坐标为（2, 1），则OM 3.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师
有 60 名，进球数的平均值和方差分别是 3 和 13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是 4
和 8，女教师进球数的平均值为 2，则女教师进球数的方差为（ ）
A. 18 B. 17 C. 16 D. 15
8 ． 在 直 角三角形 ABC 中，CA CB 3，M ， N 是斜边 AB 上的两个动点，且MN 2 ，则
MC × NC 取值范围为（ ）
A． 4,6 é 5 ù é 17B ù． ê2, ú C． 2,4 D． 4, 2 ê 2 ú
二、多项选择题：（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．）
9. 在复平面内，复数 z1 1 2i, z2 3 4i 对应的向量为OA,OB，其中O是原点，则下列说
法正确的是（ ）
A. 复数 z 对应的点在第三象限 B. 复数 z1 的模为 5 2
a 4 a z i3 C. 当 时，复数 2 为纯虚数 D. 向量 AB 对应的复数为 4 6i
10．下列说法中正确的是（ ）．
A.若平面a内无数条直线和平面b平行，则平面a / / 平面b.

B．若 a,b

满足 a b a b ，则a 与 a b 的夹角为30o
C．直角三角形绕它的一条边旋 转 一 周 形成 的 曲 面围成的几何体是圆锥
D.若O是 ABC内一点，且满足2OA OB 3OC 0,则 AOC与 ABC的面积比为1: 6.
11. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2, E, F ,G 分别为 BC,CC1, BB1的中点，点 P 为线段
A1G 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥 D1 DCB 的外接球表面积为 4 3π
B. 三棱锥 P AEF 的体积为定值
C. 平面 AEF 截正方体所得的截面周长为3 2 2 5
D. 直线 AF 与平面 B1BCC
5
1所成角的正弦值为
3
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 样本数据：20，30，40，50，50，60，70，80，这组数据的第 70 百分位数是________.
13. 在正四棱台 1 1 1 1 中, = 2, 1 1 = 1, 1 = 2, 该棱台的体积
为_____.
14. 已知VABC 内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c, S为VABC 的面积，且 2S a2 (b c)2，则
cos A ;若VABC 为锐角三角形，则 b 的取值范围为__________.
c
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要文字说明、证明过程或
演算步骤．）
15. 13
1
（ 分）（1）已知a x, 2 ,b , 1 ，若a b与a 2b平行，求 a b ；

2

（2）已知 a 2, b 1, a

b

与 的夹角为120°，若la b 与3a b 垂直，求实数
l 的值．
16．（15 分）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于 2024 年 4 月 27 日在大兴区
魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为 6000 人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，
某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了 200 名参赛者的成绩.把收集到的参赛者成绩按
40,50 ， 50,60 ,L， 90,100 依次分为第一至第六组（所有成绩 x 满足 40 x 100）.统计各
组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的 a 值；
(2)求参赛者平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表）；
(3)从成绩 50,80 的参赛者中用分层随机抽样的方法抽取 12
人进行电话回访，则第二组，第三组和第四组被抽到的参赛者
人数分别是多少
17．（15 分）如图所示，在四棱锥 中， ⊥ 平面 ， ⊥ ， // ，
= = 2， = 4.
(1)求证：平面 ⊥ 平面 ；
π
(2)若异面直线 和 所成角为3，求点 到平面 的距离.
18. （17 分）在VABC 中， A， B ， C 对应的边分别为 a ，b ， c，
2sin Asin B sin C 3 sin2 B cos2 C cos2 A
（1）求A ；
（2）若b 1,c 3, D 为线段 BC 内一点，且 BD : DC 1: 2 ，求线段 AD 的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来
命名，如对于任意的 x1, x2 , y1, y2 R ，都有 x1 × x2 y1 × y
2 2 2
2 x1 y1 x2 y22 2 被称为柯
西不等式；在（1）的条件下，若 a 2，求：
é ù
ê
a2 b2 c2 ê 2 1 1
ú
2 úπ 的最小值；ê1 cos 2A cos2 B sin (π C) úê 2 ú
19.（17 分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图 1，由射线
PA, PB, PC 构 成 的 三 面 角 P ABC, APC a , BPC b , APB g ， 二 面 角
A PC B 的大小为q ，则cosg cosacosb sinasinbcosq .
（1）已知 H 为射线 PC 上一点， HM ^ PC 交 PA 于M 点， HN ^ PC 交 PB 于 N 点，当
a , b 0,
π
时，证明以上三面角余弦定理；
2
（2）如图 2 o，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C ^ 平面 ABC ， A1AC 60 ，
BAC 45o ，
①求 A1AB 的余弦值；
②在直线CC1上是否存在点 P ，使 BP// 平面 DA1C1 ？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说
明理由.
高一下学期 5月份阶段性检测数学科答案 （2025.5）
7 6 1 3 2 3 51—4.DCAD 5—6.ABCA 9.ACD 10.BD 11.BC 12.60,13. 14.（）（ ）（ ，）
6 5 5 3
8．【详解】如图，在Rt△ABC中，CA CB 3，则 AB 3 2， CAB 45 ，
令MA t 0 t 2 2 ，则 NA t 2，于是得
2MC NC MA AC NA AC MA NA MA NA AC AC
t t 2 2 2t 2 3cos135 9 t2 2 2t 6 t 2 4
t 2 MC NC 4 t 0 t 2 2 MC NC 6 当 时， ，当 或 时， ， 范围为 4,6 .min max MC NC
11.【详解】对于 A，由题意三棱锥D1 DCB的外接球即为正方体的外接球，
因正方体的棱长为 2，则其外接球的直径为 2 3，
故三棱锥D1 DCB的外接球表面积为 4π ( 3)2 12π，故 A错误；
对于 B，连接 AD1、 FD1，由正方体几何性质可知 AB / /D1C1且 AB D1C1，所以四边形
ABC1D1是平行四边形，故 AD1 / /BC1，
又 BC1 / /EF ，所以 AD1 / /EF，故 AD1与 EF 共面且过 AD1与
EF 的面有且只有一个，故四边形 AD1FE 是平面 AEF截正方体所得
的截面图形，连接GF ，则由G、F 均为所在边的中点以及正方体性
质得GF / /B1C1 / /A1D1，且GF B1C1 A1D1，故 A1G / /D1F，又
D1F 平面 AD1FE ， A1G 平面 AD1FE ，
所以 A1G / /平面 AD1FE ，故点 P到平面 AEF 的距离即为G到平面
AEF 的距离，
所以V V三棱锥P AEF 三棱锥G AEF 为定值，即三棱锥 P AEF的体积为定值，故选项 B正确；
对于 C，由 B可知平面 AEF 截正方体所得的截面图形为四边形 AD1FE ，
又由上以及题意得 A1E D1F A1G 5， FE EC 2 FC 2 12 12 2，
AD1 FE 2 2 ，所以平面 AEF 截正方体所得的截面周长为
AD1 D1F FE AE 2 2 5 2 5 3 2 2 5 ，故 C正确；
对于 D，连接 BF ，由正方体性质可知 AB 平面 B1BCC1，
故 AFB是直线 AF 与平面 B1BCC1所成的角，
又 AB 2,BF BC2 FC2 22 12 5，所以
2 2 2 2AF AB BF 2 5 3，
所以 sin AB 2 AFB ，故直线 AF 与平面B1BCC1所成角的正AF 3
2
弦值为 ，故 D错.
3
1
14. 【详解】由 2S a2 (b c)2和三角形面积公式，可得 2 bcsin A (b2 c2 a 2 ) 2bc，
2
由余弦定理，b2 c2 a2 2bc cos A代入上式，可得 bcsin A 2bccos A 2bc，
即 sin A 2(1 cos A) ，两边取平方， sin2 A 4(1 2cos A cos2 A) ，
π 3 4
整理得5cos2 A 8cos A 3 0，因0 A ,，解得 cos A .则 sin A .2 5 5
由正弦定理， b sinB sin(A C) sin AcosC cos AsinC 4cosC 3sinC 4 3

c sinC sinC sinC 5sinC 5tanC 5
0 C π 0 C
π


VABC 2
2 π π
因 是锐角三角形，则 ,即π
故得 A C ，
2 20 B π (A C) π A C π
2 2
sin(π A)
则 tanC tan(
π
A) 2 cos A 3 ，
2 3 b 5cos(π A) sin A 4
2 5 c 3


（a b）/ /(a 2b )
15. 解（1） a b x, 2 1 1 , 1
x ,1 a 2b x 1,4
2 2
1 3 4 3 5 x （x 1） 0 x 1 a b （ ,3） a b
2 2 2

（2）已知 a 2, b 1,a 与b的夹角为120 ，所以

a b a b cos120 2 1 1 1，因为2 a

b 与3a b垂直，

a b 3a b 3 a 2 3 a b b 2所以 13 4 0 4所以 ．13
16．【详解】（1）由题意可得 0.005 0.01 2 0.02 0.025 a 10 1，（2分）
解得 a 0.030 .（4分）
（2）由题意可知： x 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1 74，
所以参赛者平均分的估计值为 74.（10分，公式 3分，结果 3分）
（3）成绩在 50,80 的三组频率之比为1: 2 : 3，（12分，叙述有理即可）
故第二组抽到的人数为 1 ，第三组抽到的人数为 ，第四组抽到的人数12 2 12 1 4
1 2 3 3
12 1为 6，即第二组，第三组和第四组被抽到的参赛者人数分别是 2，4，6.（15分）
2
17．【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，∵ = 4，∴ = = 1 = 2，……….(2分)
2
∵ // ， = 2，∴ // 且 = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ = = 2， // ，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ = 2 + 2 = 2 2， = 2 + 2 = 2 2,
{#{QQABQYSUoggAAABAARgCQQ0oCkCQkACACYoOgAAYsAAAQANABAA=}#}
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，………….(5分)
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；………….(7分)
（2）连接 ， ， ，由(1)可知 // ， = ，∴四边形
是平行四边形，∴ // ，且 = ，
∴ ∠ 是异面直线 和 所成角，即∠ = π，………….(8分)
3
设 = ，∵ = = 2，∴ = = 2 + 4， = = 2 2，
∴△ 是等边三角形，∴ 2 + 4 = 2 2，∴ = 2，即 = 2，
∵ = 2 2， ⊥ ，∴ = 2 + 2 = 2 3，………….(10分)
由(1)知， ⊥平面 ，∴ ⊥ ，∴ △ =
1 × × = 1 ×
2 2
2 2 × 2 3 = 2 6，
1△ = × × =
1 × 2 × 2 = 2，………….(13分)
2 2
设点 到平面 的距离为 ，∴ =
1 1
，即 △ = △ ，即 2 6 = 4，3 3
∴ = 4 = 6 6，即点 到平面 的距离为 . ………….(15分)
2 6 3 3
18. (1)因为 2sin Asin BsinC 3(sin 2 B cos 2C cos 2 A)
所以 2sin Asin BsinC 3(sin 2 B sin 2C sin 2 A) ，
2 2 2
由正弦定理 2bcsin A 3(b 2 c 2 a 2 ) sin A 3 b c a ， 所以 3cos A
2bc

即： tan A 3，又 A 0,π ，所以 A ；3
1
(2)因为 BD :DC 1: 2，所以 BD DC ，
2
1 1 2 所以 AD AB BD AB BC AB AC 1 AB AB AC，3 3 3 3
2 2 1 1 AD ( AB AC)2 (2AB AC)2 1 (4c2 2所以 b 4bc cos A)
3 3 9 9
1 1 43
(36 1 4 3 ) 43，及
9 2 9 AD 3
（方法二）以 AB所在的直线为 x轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
B(3,0),C( 1 , 3则 )
2 2

则： A B ( 3 , 0 ) , A C ( 1 , 3 ) , C B 5 3 ( , ) ,
2 2 2 2
2
2

AD AD 13 3
43
所以 6
；
6 3


(a2 b2 c2 ) 2 1 1

(3)根据柯西不等式：
1 cos 2A
2
cos2 ( B) sin ( C)
2
(a2 b2 c2 )( 1 1 1 2 )sin A sin2 B sin2 C
( a b c ) 2 9( 2 ) 2 48
sin A sin B sinC sin （当且仅当VABC为正三角形时取等号）
3

(a2 b2 2

c ) 2 1 1

即： 的最小值为 48.
1 cos 2A cos2 ( B) sin
2( C)
2
19. (1)如图，依题意，HM PC交 PA于M 点，HN PC交 PB于 N 点，则 MHN 是
二面角 A PC B的平面角．在△MNP中和△MNH 中分别用余弦定
理，得MN 2 MP2 NP2 2MP NP cos ，
MN 2 MH 2 NH 2 2MH NH cos ，
两式相减得
MP2 MH 2 NP2 NH 2 2MP NP cos 2MH NH cos 0 ，
由 PH 2 MP2 MH 2 NP2 NH 2 ，故
MP NP cos PH 2 MH NH cos ，
sin MH由 , cos PH , sin NH PH , cos ，
PM PM PN PN
两边同除以 2MP NP，所以 cos cos cos sin sin cos ；
(2)①由平面 AA1C1C 平面 ABCD，知 90 ，由（1）得
cos A1AB cos A1AC cos CAB， cos A

1AC 60 ， cos BAC 45 ，
1 2 2
cos A1AB ；2 2 4
②在直线CC1上存在点 P，使 BP//平面 DA1C1．连结 B1C，延长C1C至 P，使CP C1C，
连结 BP，在棱柱 ABCD A1B1C1D1中， A1B1 //AB， A1B1=AB， AB//CD， AB CD，
A1B1 //DC ，且 A1B1 DC，则四边形 A1B1CD为平行四边形， A1D//B1C ，
在四边形 B1BPC 中， B1B//CP，B1B CP，
四边形 B1BPC 为平行四边形，则 B1C / /BP A1D / /BP，
又 A1D 平面 DA1C1 ， BP 平面 DA1C1 ， BP//平面 DA1C1．
当点 P在C1C的延长线上，且使CP C1C时， BP//平面 DA1C1．

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