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2024-2025 学年度第二学期教学质量检测（三）
九年级数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
每小题都给出 ABCD四个选项，其中只有一个是正确的.
1
1. 下列各数中，与 互为倒数的是（ ▲ ）.
2025
1 1
A. 2025 B. 2025 C. D.
2025 2025
2. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其
开发与利用备受关注.某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为 0.000 000 068
米. 其中数据 0.000 000 068用科学记数法表示为（ ▲ ）.
A. 6.8 108 B. 6.8 10 8 C. 6.8 10 7 D. 0.68 106
3. 下列计算正确的是（ ▲ ）.
A. 2m m 2m B. 2m m 2 C. ( m)3 m3 D. (m2 )3 m5
4. 如图，是由两个同样大小的正方体和一个四棱锥搭建的几何体，则它的左视图为（▲）
A. B. C. D.
（ ▲4）.第 题图
5. 如图，正五边形 ABCDE的顶点 B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为
长方形），若∠1=50°，则图中∠2的度数为（ ▲ ）.
A. 20° B. 22°
C. 25° D. 30° 第 5题图
6.某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区的 75份环境数据样本. 已知样本分
布如下：热带雨林气候 20 份；沙漠气候 15 份；温带海洋性气候 25份；极地气候 5 份；地中海气
候 10份；若从这 75份样本中随机抽取一份，抽到的样本不．是．温带海洋性气候的概率是（ ▲ ）.
4 1 3 2
A. B. C. D.
5 5 4 3
7.徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南
地域文化的鲜明符号.如图是扇形花窗造型，若 AB=BO=20cm
∠BOD=120°，则该阴影部分的面积为（ ▲ ）cm2.
A. 100 B. 200
500
C. 400 D.
3 第 7题图
8.已知点 A(2,3)是一次函数 y kx 1(k 0)的图象一点，
若 B(x0 , y0 )是该直线上另一点，且 y0 2，则关于 x0的取值范围在数轴上表示为（ ▲ ）.
A. B.
C. D.
9.已知两个非负实数 a、b满足b 3 2a c 3a，则下列式子正确的是（ ▲ ）.
A． a c 3 B．0 a 3 C．b 2c 6 D．3 c 4.5
10. 如图，菱形 ABCD中，∠BAD=120°，AB=2cm，P点从 B点出发，以 1cm/s的速度沿 B→C→D
运动，过 P点作 PE⊥AD，交折线 B-A-D于点 E，设 P点运动的时间 t(s)，△BEP的面积为 S(cm2)，
则 S与 t的函数关系大致为（ ▲ ）.
A. B.
第 10题图
C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，满分 20 分）
11. 比较大小： 5 ________ 2.5（填＞，＜或＝）．
12. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为_________________________.
k
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，A、B为反比例函数 y (k 0)图象上的两点，直线 AB与
x
x轴交于点 C，与 y轴交于点 D，已知 S△BCO S△DCO 1，则 k的值为______.
14. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，D为 AB边的中点，将线段 BD以 B点中心逆时针旋转
90°得到线段 BD’，连接 CD’.
（1）若 AC=3，则 BD’长为__________；
（2）CD’长最大为________.
第 14题图
第 13题图
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15．化简： (x 3y)(x 3y) (x y)2 .
16.如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段
AB的端点分别在格点上，O为格点.
（1）将线段 AB向右平移 3个单位，再向上平移 2个单位，请在网
格内画出平移后的线段 A1B1
（2）以点 O为中心，在网格画出线段 AB的中心对称线段 A2B2，并
直接写出∠OB2A2的度数.
第 16题图
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．某文具店用 6000元购进 A、B两种文具，其中 B种文具的数量比 A种文具数量的一半多 30件.
A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价－进价）
文具 A B
进价（元/件） 30 40
售价（元/件） 38 50
(1) 该文具店购进 A、B两种文具各多少件？
(2) 该文具店将购进的 A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？
18. 如图，航航和朋友们计划在商场 A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅 B，然后沿南偏西 37°
方向步行到书店 C，最后前往电影院 D.已知电影院 D位于书店 C的正东方向，且电影院 D在商场
A的正南方向.若从咖啡厅 B到书店 C的距离为 400米，从书店 C到电影院 D的距离为 700米，求
商场 A到电影院 D的距离.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19.【问题提出】 第18题图
因式分解： (1 x) x(1 x) x(1 x)2 x(1 x)n 1 x(1 x)n
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
① (1 x) x(1 x) (1 x)(1 x) (1 x)2
②由①知 (1 x) x(1 x) (1 x)2 ，继续添加下一项得：
(1 x)2 x(1 x)2 (1 x)2 (1 x) (1 x)3
（1）仿照②，把代数式 (1 x) x(1 x) x(1 x)2 x(1 x)3进行因式分解.
【发现规律】
（2）推广到一般形式： (1 x) x(1 x) x(1 x)2 x(1 x)n 1 x(1 x)n =____________；
【问题解决】
（3）化简： a a(1 2) a(1 2)2 a(1 2)3 a(1 2)2025 =______________.
20. 如图，已知 AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接 AC，BC，D为 AC上一点，连接 DB并
延长交过 C点⊙O的切线于点 E，已知 CD=CB.
（1）求证：∠ABD=∠E
（2）若 AB=13，AD=7，求 CE长.
第 20题图
六、（本题满分 12 分）
21.为了解某校学生本学期阅读的书籍数量，随机调查了该校 a名学生，根据统计结果，绘制出如下
的统计图①和图②.
图① 图②
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
a的值为______，图①中 m的值为_______，这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为_______；
（2）补全图②，并求出这些学生本学期阅读书籍数量的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生 900人，学校为本学期阅读书籍不少于 7 本的学生颁发“阅
读之星”勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数.
七、（本题满分 12 分）
22.已知抛物线 y ax2 bx 3的对称轴为直线 x 1，且与 x轴交于点 A( 1,0)、B两点，与 y轴
交于点 C.
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点 P抛物线对称轴上一点，若 S△PCA 4，求 P点的坐标；
（3）若抛物线 y ax2 (b m)x 3 n 上仅存在一个点 Q(x1, y1) ，使得 2x1 y1 0 ，若
0 m 2，求 n的最大值.
八、（本题满分 14 分）
23.已知正方形 ABCD中，E为 BC边上一点，E点关于直线 AB的对称点为 F点，射线 AE交 DC的
延长线于点 G，连接 GB交延长交 AF于点 H，连接 DH交 AB于点 M.
（1）若 GH⊥AF，
①求证：AE=BG；
②求 tan∠AEB的值；
（2）求证：M为 AB的中点.
第 23题图2024-2025 学年度九年级第三次质量检测数学
参考答案
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B D B A D A
第 9 题解析：
由3 2a c 3a得 c a 3故 A选项错误
3
∵b 0 ∴3 2a 0 即0 a 故 B选项错误
2
b 2c c 3a 2c 3c 3a 3(c a) 9 故 C选项错误
∵ c a 3 ∴ c 3 a ∴3 c 4.5 故 D选项正确
第 10 题解析：如图，当0 t 1 S 1 t 3时， 3t t 2
2 2
当1 t 2 1 3时， S t 3 t
2 2
当 2 t 4时， S 1 3 (4 t) [2 1 3 3 (t 2)] t 2 t 3
2 2 2 8 4
所选择 A.
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分）
11.
12. 两角互余的三角形为直角三角形.
13. 4
第 13题解析：如图，过 B点作 BE⊥x轴于点 E，
∵ S△BCO S△DCO 1，∴DC=BC.
∴ S△ECB 1，∴ S△EOB 2 .
∴k的值为 4.
5 5
14.（1） 2 （2） 17
4 4
第 14题(2)解析：过 B点作 BE⊥BC，且 BE=2.5，
∴△BD’E∽△BAC .
∴∠BD’E=90°.
∴点 D’在以 BE为直径的圆弧上.
∴CD’经过 BE的中点 M时，CD’长最大.
MC BC 2 BM 2 52 5 5 ( )2 17 .
4 4
5 5
∴CD’最大为MC MD' 17 .
4 4
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15. 2 2解：原式= x 9y (x2 2xy y2 )…………3分
= x2 9y2 x2 2xy y2…………………………5分
= 10y 2 2xy………………………………………8分
16.解：（1）平移后的线段 A1B1如图所示；…………3分
（2）其中心对称图形 A2B2如图所示，………………6分
其中∠OB2A2为 45°……………………………………8分
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
1
17.解：（1）设文具店购进 A种文具 x件，则购进 B种文具为（ x 30）件，根据题意得：
2
30x 40(1 x 30) 6000 解得： x 96 …………………………3分
2
1 x 30 1 96 30 78（件）………………………………………4分
2 2
答：该文具店购进 A种文具 96件，购进 B种文具 78件.………………5分
（2） (38 30) 96 (50 40) 78 1548（元）………………………7分
答：该文具店全部卖完一共可获得 1548元的利润.…………………………8分
18.解：过 B点作 BE⊥CD于点 E，BF⊥AD于点 F.
由题意得 BC=400米 CD=700米
在 Rt△BEC中
BE cos CBE BC cos37 400 320（米）…………2分
CE sin CBE BC sin 37 400 240（米）…………4分
∴ED=BF=CD-CE=700-240=460（米）
FD=BE=320（米）…………5分
在 Rt△ABF中
∠A=45°
∴AF= BF=460（米）
∴AD=AF+FD=460+320=780（米）
答：商场 A到电影院 D距离约为 780米.…………8分
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19. 解：（1） (1 x)4 …………3分
（2） (1 x)n 1………6分
（3） a a(1 2) a(1 2)2 a(1 2)3 a(1 2)2025
a[1 (1 2) (1 2)2 (1 2)3 (1 2)2025 ]
a
[2 2(1 2) 2(1 2)2 2(1 2)3 2(1 2)2025 ]
2
a
[1 2 2(1 2) 2(1 2)2 2(1 2)3 2(1 2)2025 1]
2
a 2026
[(1 2)2026 1] 3 1 a a…………10分
2 2 2
20.解：（1）连接 OC.
∵CE为⊙O的切线
∴OC⊥CE
∴∠ECB+∠OCB=90°
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠ECB=∠ACO
又 OC=OA
∴∠OAC=∠OCA=∠ECB
∵CD=CB
∴∠CDB=∠CBD=45°
∴∠ABD=∠E…………5分
（2）设 BC=CD=x
在 Rt△ABC中
x2 (7 x)2 132 解得 x 5
∴BC=5
由（1）知∠ABD=∠E ∠A=∠BCE
∴△ADB∽△CBE
AD AB 7 13
∴ 即
BC CE 5 CE
65
解得CE …………10分
7
六、（本题满分 12 分）
21【解】：（1） a=40 m=25 中位数为 7…………3分
（2）补全统计图②，如图所示 .…………5分
1 (5 4 8 6 15 7 10 8 3 9) 7…………8分
40
答：这些学生本学期阅读书籍数量的平均数为 7本.…………9分
（3）由题意得：900 15 10 3 630（人）
40
答：该校获得“阅读之星”勋章的演大约有 630人.…………12分
七、（本题满分 12 分）
b
22.解：（1）由题意得 1即b 2a
2a
把 A( 1,0)代入 y ax2 2ax 3得0 a 2a 3 解得 a 1
∴b 2
∴ y x2 2x 3 (x 1)2 4………………………………3分
其顶点坐标为 (1,4)…………4分
（2）设 PA与 y轴交于点 D
∴ S 1 1△PCA CD OA CD x2 2 P
4
又∵ A( 1,0) 对称轴为直线 x 1
∴CD 4
∴D(0, 1)或D(0,7)…………………………………………6分
由 A( 1,0)、D(0, 1)得 AD： y x 1，即 P(1, 2)
由 A( 1,0)、D(0,7)得 AD： y 7x 7，即 P(1,15)
综上 P点的坐标为 (1, 2)或 (1,15) .……………………………8分
（3）由题意得： y x2 (2 m)x 3 n
∵仅存在一个点Q(x1, y1)，使得 2x1 y1 0
∴抛物线 y x2 (2 m)x 3 n与直线 y 2x仅有一个交点
x2 (2 m)x 3 n 2x
整理得 x2 (4 m)x 3 n 0
(4 m)2 4( 3 n) 0
∴ (4 m)2 12 4n 0
n 1∴ (4 m)2 3
4
又0 m 2
1
当m 0 n n (4 0)2时， 最大为 3 7…………12分
4
八、（本题满分 14 分）
23.解：（1）正方形 ABCD中
∠ABC=∠BCD=90° AB=BC
∵GH⊥AF
∴∠FAB+∠HBA=90°
又∠HBA+∠GBC=90°
∴∠FAB=∠BGC
在△ABF和△BCG中
∠ABG=∠BCG=90°
∠FAB=∠BGC
AB=BC
∴△ABF≌△BCG
∴BG=AF
又 E点与 F点关于 AB对称
∴AE=AF=BG…………4分
（2）∵AE=AF AB⊥EF
∴∠EAB=∠FAB
∴∠EAB=∠GBE
∴△GBE∽△GAB
BE BG EG
∴ 即 BG 2 EG AG
AB AG BG
设 BG=AE=x，EG=1
则 x2 1(1 5 1 x) 解得 x
2
∴ tan AEB AB BG 5 1 …………9分
BE FG 2
（3）如图，延长 FA、CD交于点 P.
∵AB//PC
∴∠FAB=∠BAE=∠P=∠AGP
∴AP=AG
又 AD⊥PG
∴D为 PG的中点
MA HM BM
又
PD HD DG
∴MA=MB
即 M为 AB的中点.…………14分

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