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云南省昆明市第三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·昆明期末）下列方程中，关于的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，整理可得，是一元二次方程，符合题意．
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
2．（2024八下·昆明期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为．
∴新抛物线为．
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
3．（2024八下·昆明期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2＝0.8，S乙2＝3.6，S丙2＝5，S丁2＝2.5，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得：S甲2∴成绩最稳定的是甲
故答案为：A
【分析】方差越小，成绩越稳定.
4．（2024八下·昆明期末）年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热．某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了场，则下列方程中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据单循环赛事的比赛方法可得，，
故选： ．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
5．（2024八下·昆明期末）一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表∶
尺码（厘米） 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量（双） 2 5 11 7 3
该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．标准差
【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：由题意得：根据23.5出现的次数最多，由统计量的意义可得，23.5为众数，
故影响鞋店决策的统计量是众数；
B、C、D选项不符合题意，A选项符合题意
故答案为：A．
【分析】由题意可得，根据23.5出现的次数最多，根据统计量的意义可得，23.5为众数，判断即可．
6．（2024八下·昆明期末）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数由的值确定 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∶
，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
则A、B、C选项不符合题意，D选项符合题；
故答案为：D．
【分析】求出一元二次方程的判别式，根据判别式与根情况的关系即可判断，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根.
7．（2024八下·昆明期末）观察表格，估算一元二次方程的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.19 0.44
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知， 当时，与时，
∴时，，
故选C．
【分析】根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．
8．（2024八下·昆明期末）已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴右侧随着的增大而增大，
∴的取值范围是，
故选：B．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．（2024八下·昆明期末）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
10．（2024八下·昆明期末）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：D．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．（2024八下·昆明期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：D．
【分析】根据二次函数的图象在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，结合判别式即可求出答案.
12．（2024八下·昆明期末）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为 ，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，得
50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故答案为：D
【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可．
13．（2024八下·昆明期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确，符合题意；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系，根据各选项逐个判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
14．（2024八下·昆明期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，时，．
故答案为：D．
【分析】借助函数图象，得到二次函数图象在一次函数图象下方部分自变量的取值范围解题．
15．（2024八下·昆明期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵ 二次函数 的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
由图象可得：当时，，
∴，故①错误；
②∵二次函数的图象开口方向向上，
∴，
二次函数与x轴有两个交点，
∴，则
∴，故②正确；
③∵图象与y轴的交点在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由韦达定理可知：，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵对称轴为直线为，
∴，
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有②③④，正确的个数是3个，
则A、B、D选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：C．
【分析】二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置，以及特殊点的符号对选项逐个判断即可，根据图象与x轴交于点，对称轴为直线可以得到抛物线图象与x轴的另一个交点为，由图像可得
当时，，得到，故①错误；由题意可得，，，由二次函数与x轴有两个交点，可得，则，从而得到，故②正确；由题意可得：，，可以得到，故③正确；对称轴为，得到，由可得，故④正确．
．
16．（2024八下·昆明期末）抛物线顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
17．（2024八下·昆明期末）某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是　 　分．
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．
故答案为：88．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
18．（2024八下·昆明期末）已知，，三点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　（用“”号表示）．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在二次函数中，，
∴二次函数开口向上，对称轴为，
∴当点距离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
点A、B、C三点到对称轴的距离分别为3，，1
由，
得：，
故答案为：．
【分析】二次函数开口朝上，图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，二次函数 ，，开口向上，对称轴为，确定出A、B、C三点到对称轴的距离，即可求解，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．
19．（2024八下·昆明期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∶∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
解得且，
故答案为∶且．
【分析】 关于的方程有两个不相等的实数根，可得且，据此求解即可．
20．（2024八下·昆明期末）解方程
（1） （2）
【答案】解：（1），
＞
；
（2），
或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程的根，先计算：，再根据：解方程即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程的根，把方程移项化为：即可得到答案．
21．（2024八下·昆明期末）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了背少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩（分） 百分比
A组
B组
C组
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1），
（2）D
（3）解：（人），
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）C组的百分比为：，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2），
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故选D；
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得C组的百分比，即a的值，再根据总人数200，可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定求解方法，求解即可．
（3）用总人数乘以样本中D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故选D；
（3）解：（人），
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
22．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）．
（1）求点、点、点坐标；
（2）若抛物线顶点为，求的面积；
【答案】（1），，
（2）解：由题意可得：，
抛物线 顶点坐标为，即，
由（1）得：，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1） 抛物线 与轴交于点，，可得，两点的纵坐标为0，
将代入抛物线，可得，，
解得，，
∵点在点的右边，
∴，，
抛物线与轴交于点，可得B点横坐标为0，
将代入，可得，
∴；
综上：，，；
【分析】（1） 抛物线 与轴交于点，，可得，两点的纵坐标为0，将代入，求出x的值，可求出A、C的坐标，抛物线与轴交于点，可得B点横坐标为0，将代入，求出y的值，可求出B的坐标；
（2）将化为顶点式，可以求出M的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
（1）解∶当时，，解得，，
∵点在点的右边，
∴，，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴顶点M的坐标为，
∵，，
∴，
∴的面积为．
23．（2024八下·昆明期末）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙的长为35米，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知铁丝网总长是79米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y．
（2）当菜园的面积是600平方米时，求出x，y的值．
【答案】解：（1）根据“铁丝网总长是79米且边上留有一道1米宽的门”可得：，
即；
（2）当菜园的面积是600平方米时 ，可得：，
化简可得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的值为30，的值为20．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“铁丝网总长是79米且边上留有一道1米宽的门”可得，即可用含的代数式表示出；
（2）根据“菜园的面积是600平方米”即可得出关于的一元二次方程，解方程可得的值，再将其代入（1）的结果可得的值，然后结合围墙的长为35米可得，即可得出答案．
24．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
（1）求抛物线解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
把、、代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
∵、两点关于对称， 点是抛物线对称轴上的一个动点 ，
∴
∴的周长为，
∴当B、C、H三点共线时，周长的最小，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵，，
设直线的解析式为，
代入可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出C的坐标，然后利用待定系数法代入A、B、C三点的坐标，得到，求得，即可求解；
（2）将先求得抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、、代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
25．（2024八下·昆明期末）阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，∴；
当时，，∴；
∴原方程有四个根，，，．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　）
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
（2）仿照上面的方法，解方程；
【答案】（1）B
（2）解：原方程变形为
设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当时，，解得；
当时，，解得∴；
∴原方程有四个根，，，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）理解题意， 设 ，将 方程 转化 为 ，
上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想，
故答案为：B；
【分析】（1）理解题意， 设 ，将 方程 转化 为 ，上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想；
（2）将原方程变形为，设，则原方程化为，求出y，再求出x即可．
（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想
故答案为：B；
（2）解：原方程变形为
设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程有四个根，，，．
26．（2024八下·昆明期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
（2）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元，根据每天销售利润=每天售出的件数×每件盈利，可得
，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴降价要多一些，故，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
，
化简得，
，
，
∴方程无实根，
∴1400元的利润不能达到．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，利用每天销售利润=每天售出的件数×每件盈利，列出方程可得，求解方程，再根据尽快减少库存，求解即可．
（2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，列出方程，化为一般式，再求出判别式，进行判断即可．
（1）解∶ 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）解∶设每件衬衫应降价x元
，
化简得，
，
∴方程无实根，
∴1400元的利润不能达到．
27．（2024八下·昆明期末）已知抛物线经过点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围；
（3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小．
【答案】（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由题意可得：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴t的最大值为2，t的最小值为-2，
∴；
（3）由m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，可得，
解得，
由可得．
∴
，
∵，
∴或，
∴当时，； 当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入解析式可得，再根据对称轴可得，解得，据此可得答案；
（2，由题意可得：对称轴是直线，，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，确定出当x=1时取得最大值，再分别求出当时，当时，得值即可得到答案；
（3）先根据题意得到，即，且，再把整体代入 的分子中把分子进行降次求解即可．
（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵由（1）知：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴；
（3）解：∵m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴，即．
∴
，
∵，
∴，
∴或，
∴当时，； 当时，．
1 / 1云南省昆明市第三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·昆明期末）下列方程中，关于的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·昆明期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·昆明期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2＝0.8，S乙2＝3.6，S丙2＝5，S丁2＝2.5，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2024八下·昆明期末）年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热．某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了场，则下列方程中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·昆明期末）一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表∶
尺码（厘米） 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量（双） 2 5 11 7 3
该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（　　）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．标准差
6．（2024八下·昆明期末）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数由的值确定 D．有两个不相等的实数根
7．（2024八下·昆明期末）观察表格，估算一元二次方程的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.19 0.44
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·昆明期末）已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·昆明期末）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
10．（2024八下·昆明期末）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C．6 D．
11．（2024八下·昆明期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
12．（2024八下·昆明期末）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为 ，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024八下·昆明期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2024八下·昆明期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
15．（2024八下·昆明期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024八下·昆明期末）抛物线顶点坐标是　 　．
17．（2024八下·昆明期末）某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是　 　分．
18．（2024八下·昆明期末）已知，，三点在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　（用“”号表示）．
19．（2024八下·昆明期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
20．（2024八下·昆明期末）解方程
（1） （2）
21．（2024八下·昆明期末）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了背少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩（分） 百分比
A组
B组
C组
D组
E组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）．
（1）求点、点、点坐标；
（2）若抛物线顶点为，求的面积；
23．（2024八下·昆明期末）明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙的长为35米，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知铁丝网总长是79米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y．
（2）当菜园的面积是600平方米时，求出x，y的值．
24．（2024八下·昆明期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
（1）求抛物线解析式；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
25．（2024八下·昆明期末）阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解：设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，∴；
当时，，∴；
∴原方程有四个根，，，．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　）
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
（2）仿照上面的方法，解方程；
26．（2024八下·昆明期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
（2）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．
27．（2024八下·昆明期末）已知抛物线经过点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围；
（3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，整理可得，是一元二次方程，符合题意．
故答案为：D．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为．
∴新抛物线为．
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得：S甲2∴成绩最稳定的是甲
故答案为：A
【分析】方差越小，成绩越稳定.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据单循环赛事的比赛方法可得，，
故选： ．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：由题意得：根据23.5出现的次数最多，由统计量的意义可得，23.5为众数，
故影响鞋店决策的统计量是众数；
B、C、D选项不符合题意，A选项符合题意
故答案为：A．
【分析】由题意可得，根据23.5出现的次数最多，根据统计量的意义可得，23.5为众数，判断即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∶
，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
则A、B、C选项不符合题意，D选项符合题；
故答案为：D．
【分析】求出一元二次方程的判别式，根据判别式与根情况的关系即可判断，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根.
7．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知， 当时，与时，
∴时，，
故选C．
【分析】根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴右侧随着的增大而增大，
∴的取值范围是，
故选：B．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：D．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函教的图象在轴的下方，
抛物线开口向下，与轴无交点，
即，，
故选：D．
【分析】根据二次函数的图象在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，结合判别式即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，得
50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故答案为：D
【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可．
13．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确，符合题意；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，字母的符号不一致，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据一次函数和二次函数图象与系数的关系，根据各选项逐个判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
14．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，时，．
故答案为：D．
【分析】借助函数图象，得到二次函数图象在一次函数图象下方部分自变量的取值范围解题．
15．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵ 二次函数 的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
由图象可得：当时，，
∴，故①错误；
②∵二次函数的图象开口方向向上，
∴，
二次函数与x轴有两个交点，
∴，则
∴，故②正确；
③∵图象与y轴的交点在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由韦达定理可知：，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵对称轴为直线为，
∴，
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有②③④，正确的个数是3个，
则A、B、D选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：C．
【分析】二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置，以及特殊点的符号对选项逐个判断即可，根据图象与x轴交于点，对称轴为直线可以得到抛物线图象与x轴的另一个交点为，由图像可得
当时，，得到，故①错误；由题意可得，，，由二次函数与x轴有两个交点，可得，则，从而得到，故②正确；由题意可得：，，可以得到，故③正确；对称轴为，得到，由可得，故④正确．
．
16．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
17．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．
故答案为：88．
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．
18．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在二次函数中，，
∴二次函数开口向上，对称轴为，
∴当点距离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
点A、B、C三点到对称轴的距离分别为3，，1
由，
得：，
故答案为：．
【分析】二次函数开口朝上，图象上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，二次函数 ，，开口向上，对称轴为，确定出A、B、C三点到对称轴的距离，即可求解，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题关键．
19．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∶∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
解得且，
故答案为∶且．
【分析】 关于的方程有两个不相等的实数根，可得且，据此求解即可．
20．【答案】解：（1），
＞
；
（2），
或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程的根，先计算：，再根据：解方程即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程的根，把方程移项化为：即可得到答案．
21．【答案】（1），
（2）D
（3）解：（人），
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）C组的百分比为：，
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2），
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故选D；
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得C组的百分比，即a的值，再根据总人数200，可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定求解方法，求解即可．
（3）用总人数乘以样本中D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
故选D；
（3）解：（人），
答：估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
22．【答案】（1），，
（2）解：由题意可得：，
抛物线 顶点坐标为，即，
由（1）得：，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1） 抛物线 与轴交于点，，可得，两点的纵坐标为0，
将代入抛物线，可得，，
解得，，
∵点在点的右边，
∴，，
抛物线与轴交于点，可得B点横坐标为0，
将代入，可得，
∴；
综上：，，；
【分析】（1） 抛物线 与轴交于点，，可得，两点的纵坐标为0，将代入，求出x的值，可求出A、C的坐标，抛物线与轴交于点，可得B点横坐标为0，将代入，求出y的值，可求出B的坐标；
（2）将化为顶点式，可以求出M的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
（1）解∶当时，，解得，，
∵点在点的右边，
∴，，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴顶点M的坐标为，
∵，，
∴，
∴的面积为．
23．【答案】解：（1）根据“铁丝网总长是79米且边上留有一道1米宽的门”可得：，
即；
（2）当菜园的面积是600平方米时 ，可得：，
化简可得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的值为30，的值为20．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“铁丝网总长是79米且边上留有一道1米宽的门”可得，即可用含的代数式表示出；
（2）根据“菜园的面积是600平方米”即可得出关于的一元二次方程，解方程可得的值，再将其代入（1）的结果可得的值，然后结合围墙的长为35米可得，即可得出答案．
24．【答案】（1）解：由题意可得，，
∴，
把、、代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
∵、两点关于对称， 点是抛物线对称轴上的一个动点 ，
∴
∴的周长为，
∴当B、C、H三点共线时，周长的最小，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵，，
设直线的解析式为，
代入可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出C的坐标，然后利用待定系数法代入A、B、C三点的坐标，得到，求得，即可求解；
（2）将先求得抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、、代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
25．【答案】（1）B
（2）解：原方程变形为
设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当时，，解得；
当时，，解得∴；
∴原方程有四个根，，，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）理解题意， 设 ，将 方程 转化 为 ，
上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想，
故答案为：B；
【分析】（1）理解题意， 设 ，将 方程 转化 为 ，上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想；
（2）将原方程变形为，设，则原方程化为，求出y，再求出x即可．
（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想
故答案为：B；
（2）解：原方程变形为
设，那么，于是原方程可变为，
解得，．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程有四个根，，，．
26．【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元，根据每天销售利润=每天售出的件数×每件盈利，可得
，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴降价要多一些，故，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
，
化简得，
，
，
∴方程无实根，
∴1400元的利润不能达到．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，利用每天销售利润=每天售出的件数×每件盈利，列出方程可得，求解方程，再根据尽快减少库存，求解即可．
（2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，列出方程，化为一般式，再求出判别式，进行判断即可．
（1）解∶ 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）解∶设每件衬衫应降价x元
，
化简得，
，
∴方程无实根，
∴1400元的利润不能达到．
27．【答案】（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由题意可得：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴t的最大值为2，t的最小值为-2，
∴；
（3）由m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，可得，
解得，
由可得．
∴
，
∵，
∴或，
∴当时，； 当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入解析式可得，再根据对称轴可得，解得，据此可得答案；
（2，由题意可得：对称轴是直线，，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，确定出当x=1时取得最大值，再分别求出当时，当时，得值即可得到答案；
（3）先根据题意得到，即，且，再把整体代入 的分子中把分子进行降次求解即可．
（1）解：把代入中得．
∵对称轴是直线，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵由（1）知：．
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为，
∵点在该抛物线上，且，
∴当时，；
当时，；
∴；
（3）解：∵m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴，即．
∴
，
∵，
∴，
∴或，
∴当时，； 当时，．
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