资源简介

(共15张PPT)
定理3 反证法
学习目标
了解反证法及其原理与步骤
能用反证法证明简单的命题
了解反例的作用，能通过举反例证明一个命题为假命题
情景导入
要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论，有时候，我们也可以反过来考虑.
例如：如何证明“一个三角形最多有一个钝角”
可以反过来考虑，如果这个命题不对，
那么一个三角形就有两个或三个钝角.
假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角.
②当有三个钝角时，同理也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾.
∴假设不正确
∴△ABC中最多只能有一个钝角.
①当有两个钝角时，不妨设∠A，∠B均为钝角，
∵∠A>90°，∠B>90°，
∴∠A+∠B>180°
∴∠A+∠B+∠C>180°，
这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾.
新知学习
反证法.：
像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
1.否定结论，
2.推出矛盾
3.假设错误
4.∴原结论是正确的
例题精讲
例2：已知: a，b，c是3条不同的直线，a//b，b//c.
求证: a//c.
证明: 假设a，c不平行，那么它们相交于一点P
1.假设结论不成立
∵a//b，b//c，
∴过点P的两条直线a，c都与直线b平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线
与这条直线平行”矛盾.
2.产生矛盾
∴假设不成立.
∴ a//c
3.推翻假设
4.得出原结论成立
这样，我们就证明了平行线的性质定理:
新知学行线是性质定理：平行于同一条直线的两条直线平行
几何语言表示为：∵a//b，b//c
∴a//c.
用反证法证明一个命题的步骤一般为:
1.先假设命题的结论不成立.
2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.
例题学习
例3：判断命题“对于任意的有理数a，b，如果a>b，那么|a|> |b|”的真假，并说明理由.
解：这是一个假命题，理由如下:
取a=1,b=-2,此时a>b,但是|a|<|b|，
∴命题结论|a|>|b|不成立.
在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
巩固新知
1. 用反证法证明:
已知：a，b，c是3条不同的直线，a//b ， a与c相交，
求证：b与c相交。
证明：假设b//c
∵ a//b（已知）
∴a//c（平行于同一条直线的两条直线平行）
这与条件a与c相交矛盾
∴ 假设不成立
∴ b与c相交
巩固新知
2.举反例说明下列命题是假命题:
(1) 如果|a|=|b|，那么a=b;
(2)任何数的平方都大于0;
(3) 两个锐角的和是钝角;
(4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点
（1）取a=2 b= -2
此时|2|=|-2|，但是-2≠2
∴命题结论a=b错误
∴这个命题是假命题
（2）∵
∵0不大于0，
∴命题结论错误
∴这个命题是假命题
（3）取两个度数为锐角10°和 20°角
∵10°+20°=30°
∵30°的角不是钝角
∴这个命题结论错误
∴这个命题是假命题
（4）在等腰△ABC中，
∵腰AB=AC
但是点A不是线段BC的中点，
∴命题的结论错误
∴这个命题是假命题
课堂检测
1.用反证法证明“若a//b.b/c,则 a// c"时,应假设（ ）
A.a不平行于c B.b不平行于c C.a⊥c D.b⊥c
2.举例说明“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”是假命题 。
3.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时,应假设这个三角形中（ ）
A.每一个内角都大于60° B 每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.有一个内角小于60°
4.证明:在同一平面内,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.如图，有如下步骤:
①∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180. 这与三角形内角和定理相矛盾
②∴假设不成立，原命题成立:
③假设过点P不止有一条直线与已知直线l垂直,不妨设 PA⊥l,垂足为A,PB⊥l,垂足为B;
④∴∠PAB=90°,∠PBA=90°.
其中正确的顺序是 (填序号).
A
例如：直角三角形的两个锐角
A
③ ④ ① ②
课堂检测
5.用反直角.
5.用反证法证明:任意三角形的三个外角中至多有一个证法证明:任意三角形的三个外角中至多有一个直角.直角.
5.用反证法证明:任意三角形的三个外角中至多有一个
反证法证明：
假设任意三角形的三个外角中至少有2个直角
∵两个外角为直角,则相邻两个内角也为90,
∴再加上一个角一定大于180°,
这与三角形内角和为180°矛盾。
∴任意三角形的三个外角中至多有一个直角
.
5.用反证法证明:任意三角形的三个外角中至多有一个直角
素养提升
已知平面内的任意四个点,其中任意三个点都不在一条直线上，
试问:是否一定能从这样的四个点中选出三个点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45° 请证明你的结论.
素养提升
(2)如图②,若四点A.B.C,D未构成四边形
则△ABC中必有一个内角小于等于X180°=60°
.不妨设∠BAC≤60,
∵∠A=∠BAD+∠CAD≤60.
∴∠BAD与∠CAD中必有一个小于等于x60°=30°,
从而小于45°,∴（2）中结论成立
6.能.证明:(1)如图①.若四点A.B.C.D构成四边形,
则必有一个内角小于等于90°，设为 ∠BAD.≤90°
假设四个内角都大于90°,
∴∠BAD+∠B+∠C+∠D>4X90°=360°,
这与四边形内角和是360°矛盾,
∴假设不成立
∴∠BAD.≤90°成立
∴∠BAC+∠CAD≤90
∴∠BAC与∠CAD中必有一个≤X90°,即≤45°
∴结论成立
小结思考
1.反证法.：
我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
2.用反证法证明一个命题的步骤一般为:
. 先假设命题的结论不成立.
. 从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.
3.在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，
举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
再见
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