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浙江省杭州中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
1．（2025八下·杭州期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025八下·杭州期中）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·杭州期中）为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
4．（2025八下·杭州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·杭州期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·杭州期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·杭州期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2025八下·杭州期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·杭州期中）如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
11．（2025八下·杭州期中）使式子有意义，则x的取值范围为 　 　．
12．（2025八下·杭州期中） ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠D的度数是　 　．
13．（2025八下·杭州期中）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是　 　°．
14．（2025八下·杭州期中）体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为　 　分．
15．（2025八下·杭州期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，则大坝横截面的面积为　 　平方米
16．（2025八下·杭州期中）如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为　 　．
17．（2025八下·杭州期中）计算题：
（1）；
（2）
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形．
20．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值
21．（2025八下·杭州期中）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（1）根据图示填空：____，____，____；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22．（2025八下·杭州期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．
如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
23．（2025八下·杭州期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角板
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动．
素材1 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值．
解决问题
任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积．
任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出 ▲ ．
24．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的统计量是众数．
故答案为：D．
【分析】众数是数据中出现次数最多的数，即可得解．
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴，即，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，然后将多项式先提取二次项系数a后整体代入，进而再利用十字相乘法分解因式即可.
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别是的中点
四边形ABCD是矩形
故答案为：B.
【分析】先由三角形中位线定理求得AD等于OM的2倍等于6，再由矩形的每个角都是直角，可利用勾股定理求得对角线BD的长，由于矩形的对角线互相平分，则OB等于BD的一半.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设月平均增长率为，根据题意列方程得：
故答案为：B.
【分析】平均增长率问题常列方程：，其中和分别代表起始数据和终止数据.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵的面积是矩形面积的，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据面积求出，然后根据勾股定理求出AB长解题即可．
10．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
∴x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】115°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
故答案为：115°.
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
14．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，从而得出答案.
15．【答案】2800
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
四边形CDEF是矩形
、
故答案为：2800.
【分析】由于大坝的横截面是梯形，因此四边形CDEF是矩形，所以EF等于CD，DE等于CF，再分别解和求出AE和BF，则底边AB可求，再利用梯形面积公式计算即可.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
矩形中：，，
四边形MBPD'为矩形，
点在的角平分线上，，
，
矩形MBPD'为正方形，
，
设，则，
，
，
由折叠得性质可知：，
在中，由勾股定理得：
，
解得或，
或．
在中，设，则，
当时，，，
，
解得，即，
当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
【分析】
连接，过作，交于点，于点，作交于点，利用三个角是直角可得四边形MBPD'为矩形；利用角平分线得性质得到：，即可得到邻边相等的矩形MBPD'为正方形，从而得到，设，表示出，AM，再利用勾股定理求出，再分两种情况讨论：利用勾股定理即可求出．
17．【答案】（1）解：原式=2+3 =5
（2）解：原式==2-3=-1
【知识点】二次根式的乘除法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的意义化简运算即可；
（2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若等号两边有公因式，可先移项，再提公因式，从而化一元二次方程为一元一次方程；
（2）解一元二次方程时，若各项系数比较简单时，可利用公式法求解，求解时先利用根的判别式验证方程是否有实数根，即若，则方程无实数根；反之，直接利用求根公式写出方程的两个根，并进行化简.
19．【答案】证明：中：平分
四边形ACDE是平行四边形
四边形AEBD是平行四边形
是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】先由等腰三角形三线合一知AD是底边BC上的高和中线；由平行四边形的对边平行且相等，结合等量代换得AE与BD平行且相等，则四边形ADBE是平行四边形，又其一个角是直角，则平行四边形ADBE是矩形.
20．【答案】（1）解：∵是此方程的一个根，∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）利用方程解的概念将代入方程中可得到关于k 的一元一次方程，求出k可再解这个一元二次方程，即可得出另一个解；也可利用根与系数的关系直接得出另一个解；
（2）由于方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0从而得到关于k 的一元一次方程，再解方程即可．
（1）解：∵是此方程的一个根，
∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
21．【答案】（1）85，85，80；
（2）答：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好；
（3）解：（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：七年级的平均分，众数，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
故答案为：85，85，80；
【分析】
（1）平均数直接按照公式计算即可；求中位数先要对全部数据按照从小到大的顺序排列，再取最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；
（2）由于平均数相同，可比较中位数的大小进行说明；
（3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可．
（1）解：七年级的平均分，众数，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
故答案为：85，85，80；
（2）由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好；
（3）（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
22．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，由题意列方程得：
整理方程得：
解得：（舍去）
答：剪去的正方形的边长为3cm.
（2）解：设剪去的正方形的边长为，由题意列方程得：
整理得：
解得：（舍去）
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒的两边分别为和，则；再由等量关系“ 纸盒的底面积为 ”列方程并解方程即可；
（2）由于折成了一个有盖的盒子，则剪去的矩形的边长等于30的一半，由等量关系“ 表面积为 ”列方程，即长方体的表面积等于原纸片的面积与阴影部分面积的差，再解方程即可.
23．【答案】（1）证明：
四边形BCDE是平行四边形
（2）解：如图所示，过O作，垂足分别为M、N.
中：
中：
、
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】（3）如图所示：旋转使OE在BO的延长线上.
【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点O分别作DE、BC的高OM、ON，可利用含30度角的直角三角形的性质先求出OD，再运用勾股定理求出OE，再利用等面积法求出OM，ON可利用直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半求得，由于DE平行BC，因此M、O、N在三点共线，即MN的长可求，即平行四边形的高MN可知，则面积可求；
（3）旋转使OC、OD互为反向延长线，则OB、OE也互为反向延长线，即此时BE与CD互相垂直，则与的面积比等于OD与OE的比等于.
24．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
1 / 1浙江省杭州中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
1．（2025八下·杭州期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
2．（2025八下·杭州期中）下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．是中心对称图形，故选项B符合题意；
C．不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此对各个选项进行判断即可.
3．（2025八下·杭州期中）为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最值得关注的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的统计量是众数．
故答案为：D．
【分析】众数是数据中出现次数最多的数，即可得解．
4．（2025八下·杭州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
5．（2025八下·杭州期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025八下·杭州期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴，即，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，然后将多项式先提取二次项系数a后整体代入，进而再利用十字相乘法分解因式即可.
7．（2025八下·杭州期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别是的中点
四边形ABCD是矩形
故答案为：B.
【分析】先由三角形中位线定理求得AD等于OM的2倍等于6，再由矩形的每个角都是直角，可利用勾股定理求得对角线BD的长，由于矩形的对角线互相平分，则OB等于BD的一半.
8．（2025八下·杭州期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设月平均增长率为，根据题意列方程得：
故答案为：B.
【分析】平均增长率问题常列方程：，其中和分别代表起始数据和终止数据.
9．（2025八下·杭州期中）如图，在矩形中，，保持矩形四条边长度不变，使其变形成平行四边形，且点恰好在上，此时的面积是矩形面积的，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵的面积是矩形面积的，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据面积求出，然后根据勾股定理求出AB长解题即可．
10．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
11．（2025八下·杭州期中）使式子有意义，则x的取值范围为 　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：式子有意义，
∴x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．（2025八下·杭州期中） ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠D的度数是　 　．
【答案】115°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
故答案为：115°.
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补.
13．（2025八下·杭州期中）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是　 　°．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
14．（2025八下·杭州期中）体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小王的最终成绩为分，
故答案为：．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，从而得出答案.
15．（2025八下·杭州期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，则大坝横截面的面积为　 　平方米
【答案】2800
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
四边形CDEF是矩形
、
故答案为：2800.
【分析】由于大坝的横截面是梯形，因此四边形CDEF是矩形，所以EF等于CD，DE等于CF，再分别解和求出AE和BF，则底边AB可求，再利用梯形面积公式计算即可.
16．（2025八下·杭州期中）如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
矩形中：，，
四边形MBPD'为矩形，
点在的角平分线上，，
，
矩形MBPD'为正方形，
，
设，则，
，
，
由折叠得性质可知：，
在中，由勾股定理得：
，
解得或，
或．
在中，设，则，
当时，，，
，
解得，即，
当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
【分析】
连接，过作，交于点，于点，作交于点，利用三个角是直角可得四边形MBPD'为矩形；利用角平分线得性质得到：，即可得到邻边相等的矩形MBPD'为正方形，从而得到，设，表示出，AM，再利用勾股定理求出，再分两种情况讨论：利用勾股定理即可求出．
17．（2025八下·杭州期中）计算题：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式=2+3 =5
（2）解：原式==2-3=-1
【知识点】二次根式的乘除法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的意义化简运算即可；
（2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
18．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若等号两边有公因式，可先移项，再提公因式，从而化一元二次方程为一元一次方程；
（2）解一元二次方程时，若各项系数比较简单时，可利用公式法求解，求解时先利用根的判别式验证方程是否有实数根，即若，则方程无实数根；反之，直接利用求根公式写出方程的两个根，并进行化简.
19．（2025八下·杭州期中）如图，在中，，是的角平分线，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：中：平分
四边形ACDE是平行四边形
四边形AEBD是平行四边形
是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】先由等腰三角形三线合一知AD是底边BC上的高和中线；由平行四边形的对边平行且相等，结合等量代换得AE与BD平行且相等，则四边形ADBE是平行四边形，又其一个角是直角，则平行四边形ADBE是矩形.
20．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（2）若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值
【答案】（1）解：∵是此方程的一个根，∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】
（1）利用方程解的概念将代入方程中可得到关于k 的一元一次方程，求出k可再解这个一元二次方程，即可得出另一个解；也可利用根与系数的关系直接得出另一个解；
（2）由于方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0从而得到关于k 的一元一次方程，再解方程即可．
（1）解：∵是此方程的一个根，
∴代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
解得：，
∴方程的另一个根是．
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
21．（2025八下·杭州期中）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（1）根据图示填空：____，____，____；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）85，85，80；
（2）答：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好；
（3）解：（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：七年级的平均分，众数，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
故答案为：85，85，80；
【分析】
（1）平均数直接按照公式计算即可；求中位数先要对全部数据按照从小到大的顺序排列，再取最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；
（2）由于平均数相同，可比较中位数的大小进行说明；
（3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可．
（1）解：七年级的平均分，众数，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
故答案为：85，85，80；
（2）由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好；
（3）（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
22．（2025八下·杭州期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．
如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，由题意列方程得：
整理方程得：
解得：（舍去）
答：剪去的正方形的边长为3cm.
（2）解：设剪去的正方形的边长为，由题意列方程得：
整理得：
解得：（舍去）
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒的两边分别为和，则；再由等量关系“ 纸盒的底面积为 ”列方程并解方程即可；
（2）由于折成了一个有盖的盒子，则剪去的矩形的边长等于30的一半，由等量关系“ 表面积为 ”列方程，即长方体的表面积等于原纸片的面积与阴影部分面积的差，再解方程即可.
23．（2025八下·杭州期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角板
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动．
素材1 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值．
解决问题
任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积．
任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出 ▲ ．
【答案】（1）证明：
四边形BCDE是平行四边形
（2）解：如图所示，过O作，垂足分别为M、N.
中：
中：
、
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】（3）如图所示：旋转使OE在BO的延长线上.
【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点O分别作DE、BC的高OM、ON，可利用含30度角的直角三角形的性质先求出OD，再运用勾股定理求出OE，再利用等面积法求出OM，ON可利用直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半求得，由于DE平行BC，因此M、O、N在三点共线，即MN的长可求，即平行四边形的高MN可知，则面积可求；
（3）旋转使OC、OD互为反向延长线，则OB、OE也互为反向延长线，即此时BE与CD互相垂直，则与的面积比等于OD与OE的比等于.
24．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
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