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广东省茂名市高州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·高州期末）在下列计算中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能合并，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024七下·高州期末）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故A不符合题意；
B.不是轴对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，故D符合题意；
故选：D.
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，其中一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合选项，据此作答，即可求解．
3．（2024七下·高州期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可。
A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确。
故选D.
4．（2024七下·高州期末）如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：直尺的对边分别平行，，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的性质及其应用，根据平行线的性质，得到，由，结合，即可求解.
5．（2024七下·高州期末）下列说法：
①对顶角相等；
②同位角相等；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是．
其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】概率公式；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：①根据对顶角的定义，可得对顶角相等，故①正确；
②根据平行线的性质，若两直线平行，同位角相等，故②错误；
③根据平行公理，可得平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，由概率公式，可得他答对的概率是，故④正确；
故选：A．
【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的相关性质，概率公式，根据对顶角的性质、平行线的性质，以及平行公理、以及概率定义与公式，结合题设，逐一分析判断，即可求解．
6．（2024七下·高州期末）一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：公共汽车经历：加速 匀速 减速到站 加速 匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0.
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.
故答案为：B.
【分析】
根据函数图象可知：横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速图像是一条倾斜的直线，可判断A不符合题意；匀速时图像是一条水平的直线，判断C不符合题意；减速时图像是一条倾斜的直线，结合速度的变化情况，可判断D；逐一判断即可解答．
7．（2024七下·高州期末）如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是(　　)
A．∠C＝∠CBE B．∠A+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠CDB D．∠A＝∠CBE
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠CBE，∴AB∥CD，故A错误；
B、∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故B项错误；
C、∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故C错误；
D、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，其中同位角相等，两直线平行；两条直线被第三条所内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合平行线的判定定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．（2024七下·高州期末）如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O'D'C'得∠AOB＝∠A'O'B'，其依据的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD与△O'C'D'，
∵ ，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A.
【分析】：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，根据三边对应相等（SSS）两三角形全等，且全等三角形的对应角相等，即可所作的角等于已知角，得到答案.
9．（2024七下·高州期末）若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由，得到x=3+y，将其代入代数式，化简运算，合并同类项，即可得到答案.
10．（2024七下·高州期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SSS；分类讨论
【解析】【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24﹣12＝12cm，
∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24+12＝36cm，
∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）；
③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝24cm，
∴BE＝24cm，
∴AE＝24+24＝48cm，
∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒），
综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况．
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，根据题意，分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别列式，进行计算，即可得出结果．
11．（2024七下·高州期末）若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，根据同底数幂相除，底数不变指数相减，代入计算，即可求解．
12．（2024七下·高州期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
【答案】40
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
13．（2024七下·高州期末）若是一个完全平方式，则常数的值为　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】本题考查了完全平方式，其中 完全平方差公式，即两个整式的差括号外的平方，牢记口诀：首平方，尾平方，前后两倍放中央，符号看前方，利用完全平方公式的结构特征，确定出的值，即可得到答案．
14．（2024七下·高州期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为　 　．
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：如下表，
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 …
y（cm） 12 12+0.5 12+2×0.5 12+3×0.5 12+4×0.5 12+5×0.5 12+6×0.5 …
当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x，
故答案为：．
【分析】根据表格中的数据可得“重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm”直接列出函数解析式即可．
15．（2024七下·高州期末）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④，一定成立的有　 　（填序号）
【答案】①②③⑤
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，结论①正确．
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，结论③正确；
又，
为等边三角形，
，
，结论②正确．
，
，
，结论⑤正确．
没有条件证出，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定及应用，根据全等三角形的判定方法，证出，得出，可判定①；先证明，得出，可判定③；根据，得到为等边三角形，证出，得出，可判定②．没有条件证出，可判定④；由，可判定⑤．
16．（2024七下·高州期末）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：（1）
（2）
当，时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
17．（2024七下·高州期末）已知直线和外一点，过点作的平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹．
【答案】解：如图，直线即为所求．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线，过点作直线交直线于，再作，直线即为所求．
18．（2024七下·高州期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答：
（1）该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？
（2）写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式．
（3）若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？
【答案】（1）解：使用不足吨：（元），
超过吨部分每吨收费：（元），
若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元；
（2）解：当时，，
当时，，
；
（3）解：，
每月用水吨，应交水费：（元）；
，
用水量超过吨，
，
解得：，
若某月交水费元，该户居民用水吨．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象，结合一元一次函数的性质，列式计算，即可得到答案；
（2）分为两种情况：当时，当时，结合一元一次函数的图象，列出函数的解析式，即可求解；
（3）根据（2）中的函数解析式，代入计算，计算求值，即可得到答案．
19．（2024七下·高州期末）初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人；
（2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数.
【答案】（1）答案为：200；40.
（2）答案为：.
解：（3）由∵×360°=162°，
∴扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数为162°.
【知识点】扇形统计图；概率公式；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人）．
故答案为：200；40.
（2）∵“很赞同”的家长人数为：200-90-50-40=20（人），
∴抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题设中的图表信息，结合赞同的人数除以占比，得到总人数，再由总人数乘以无所谓的占比，得到无所谓的家长人数；
（2）根据题设中的数据，先求得“很赞同”的家长人数，利用很赞同的人数除以总人数，即可求解；
（3）根据不赞同的人数除以总人数，再乘以360°，即可得到“不赞同”的扇形的圆心角度数.
20．（2024七下·高州期末）如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N.
（1）求证：；
（2）如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
【答案】（1）证明：于，过作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：（1）中的结论不成立，与、之间的数量关系为．理由如下：
于，过作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS；数轴的折线（双动点）模型；线段垂直平分线的概念
21．（2024七下·高州期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图中阴影部分的正方形的边长是______．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
（3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
【答案】（1）；
（2），
（3）；
（4）14
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
解：（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即
故答案为：，
解：（3）由（2）得，，
故答案为：；
解：（4），，
，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题设中的拼图，可直接求得正方形的边长，得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，利用面积公式列代数式，另一方面阴影部分，看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积，即可求解；
（3）由（2）两种方法，根据面积公式，结合表示的面积相等，即可得到答案；
（4）由（3）的结论，将， 代入代数式，进行计算，即可求解．
22．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
【答案】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下，如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ.
∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE.
∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE
∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP；
（2）解：∠OPQ=∠ORQ，
理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，
同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，
∵入射角等于反射角：
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，
∴∠OPQ=∠ORQ；
【应用拓展】
如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB，则ABPMQNCD.
∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°
∵∠B=125°，∠C=145°，
∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°，
∵∠PQC=65°，
∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°，
∴∠QPM=∠PQN=30°，
∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行公理
【解析】【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，得到PEBQ，利用平行线的性质，得到∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE，结合∠OPQ=∠OPE+∠QPE，即可得到答案；
（2）由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ和∠DOR+∠CQR=∠ORQ，根据入射角等于反射角，得到∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，进而得到各角之间的关系，即可求解；
应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，得到ABPMQNCD，得出∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°，结合∠B=125°，∠C=145°，进而得到各角之间的关系，即可求解．
23．（2024七下·高州期末）在四边形中，，、分别是、上的点，并且，试探究图中、、之间的数量关系．
【问题提出】
（1）如图1，．小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，由此可得出结论
【问题探究】
（2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF=180°-∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°-∠DAB．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，推得△ABE≌△ADG，得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证得△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，推得△ABE≌△ADG，得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证得△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，即可求解；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，证得△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
1 / 1广东省茂名市高州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·高州期末）在下列计算中，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2024七下·高州期末）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024七下·高州期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
4．（2024七下·高州期末）如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·高州期末）下列说法：
①对顶角相等；
②同位角相等；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是．
其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
6．（2024七下·高州期末）一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024七下·高州期末）如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是(　　)
A．∠C＝∠CBE B．∠A+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠CDB D．∠A＝∠CBE
8．（2024七下·高州期末）如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O'D'C'得∠AOB＝∠A'O'B'，其依据的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．（2024七下·高州期末）若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
10．（2024七下·高州期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
11．（2024七下·高州期末）若，，则　 　．
12．（2024七下·高州期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
13．（2024七下·高州期末）若是一个完全平方式，则常数的值为　 　．
14．（2024七下·高州期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为　 　．
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
15．（2024七下·高州期末）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④，一定成立的有　 　（填序号）
16．（2024七下·高州期末）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．（2024七下·高州期末）已知直线和外一点，过点作的平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹．
18．（2024七下·高州期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答：
（1）该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？
（2）写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式．
（3）若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？
19．（2024七下·高州期末）初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人；
（2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ；
（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数.
20．（2024七下·高州期末）如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N.
（1）求证：；
（2）如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
21．（2024七下·高州期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图中阴影部分的正方形的边长是______．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
（3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
22．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．
解：过点M作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN＝∠AEM＝45°
∠FMN＝∠CFM＝25°
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN
＝45°+25°＝70°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．
（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．
23．（2024七下·高州期末）在四边形中，，、分别是、上的点，并且，试探究图中、、之间的数量关系．
【问题提出】
（1）如图1，．小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，由此可得出结论
【问题探究】
（2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：不能合并，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故A不符合题意；
B.不是轴对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，故D符合题意；
故选：D.
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，其中一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合选项，据此作答，即可求解．
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可。
A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确。
故选D.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：直尺的对边分别平行，，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的性质及其应用，根据平行线的性质，得到，由，结合，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】概率公式；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：①根据对顶角的定义，可得对顶角相等，故①正确；
②根据平行线的性质，若两直线平行，同位角相等，故②错误；
③根据平行公理，可得平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确；
④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，由概率公式，可得他答对的概率是，故④正确；
故选：A．
【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的相关性质，概率公式，根据对顶角的性质、平行线的性质，以及平行公理、以及概率定义与公式，结合题设，逐一分析判断，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：公共汽车经历：加速 匀速 减速到站 加速 匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0.
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.
故答案为：B.
【分析】
根据函数图象可知：横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速图像是一条倾斜的直线，可判断A不符合题意；匀速时图像是一条水平的直线，判断C不符合题意；减速时图像是一条倾斜的直线，结合速度的变化情况，可判断D；逐一判断即可解答．
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠CBE，∴AB∥CD，故A错误；
B、∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故B项错误；
C、∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故C错误；
D、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，其中同位角相等，两直线平行；两条直线被第三条所内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合平行线的判定定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD与△O'C'D'，
∵ ，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A.
【分析】：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，根据三边对应相等（SSS）两三角形全等，且全等三角形的对应角相等，即可所作的角等于已知角，得到答案.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由，得到x=3+y，将其代入代数式，化简运算，合并同类项，即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SSS；分类讨论
【解析】【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24﹣12＝12cm，
∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝12cm，
∴BE＝12cm，
∴AE＝24+12＝36cm，
∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）；
③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝24cm，
∴BE＝24cm，
∴AE＝24+24＝48cm，
∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒），
综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况．
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，根据题意，分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别列式，进行计算，即可得出结果．
11．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，根据同底数幂相除，底数不变指数相减，代入计算，即可求解．
12．【答案】40
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
13．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】本题考查了完全平方式，其中 完全平方差公式，即两个整式的差括号外的平方，牢记口诀：首平方，尾平方，前后两倍放中央，符号看前方，利用完全平方公式的结构特征，确定出的值，即可得到答案．
14．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：如下表，
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 …
y（cm） 12 12+0.5 12+2×0.5 12+3×0.5 12+4×0.5 12+5×0.5 12+6×0.5 …
当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x，
故答案为：．
【分析】根据表格中的数据可得“重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm”直接列出函数解析式即可．
15．【答案】①②③⑤
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，结论①正确．
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，结论③正确；
又，
为等边三角形，
，
，结论②正确．
，
，
，结论⑤正确．
没有条件证出，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定及应用，根据全等三角形的判定方法，证出，得出，可判定①；先证明，得出，可判定③；根据，得到为等边三角形，证出，得出，可判定②．没有条件证出，可判定④；由，可判定⑤．
16．【答案】解：（1）
（2）
当，时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
17．【答案】解：如图，直线即为所求．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线，过点作直线交直线于，再作，直线即为所求．
18．【答案】（1）解：使用不足吨：（元），
超过吨部分每吨收费：（元），
若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元；
（2）解：当时，，
当时，，
；
（3）解：，
每月用水吨，应交水费：（元）；
，
用水量超过吨，
，
解得：，
若某月交水费元，该户居民用水吨．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象，结合一元一次函数的性质，列式计算，即可得到答案；
（2）分为两种情况：当时，当时，结合一元一次函数的图象，列出函数的解析式，即可求解；
（3）根据（2）中的函数解析式，代入计算，计算求值，即可得到答案．
19．【答案】（1）答案为：200；40.
（2）答案为：.
解：（3）由∵×360°=162°，
∴扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数为162°.
【知识点】扇形统计图；概率公式；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人）．
故答案为：200；40.
（2）∵“很赞同”的家长人数为：200-90-50-40=20（人），
∴抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题设中的图表信息，结合赞同的人数除以占比，得到总人数，再由总人数乘以无所谓的占比，得到无所谓的家长人数；
（2）根据题设中的数据，先求得“很赞同”的家长人数，利用很赞同的人数除以总人数，即可求解；
（3）根据不赞同的人数除以总人数，再乘以360°，即可得到“不赞同”的扇形的圆心角度数.
20．【答案】（1）证明：于，过作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：（1）中的结论不成立，与、之间的数量关系为．理由如下：
于，过作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定；三角形全等的判定-AAS；数轴的折线（双动点）模型；线段垂直平分线的概念
21．【答案】（1）；
（2），
（3）；
（4）14
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
解：（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即
故答案为：，
解：（3）由（2）得，，
故答案为：；
解：（4），，
，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题设中的拼图，可直接求得正方形的边长，得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，利用面积公式列代数式，另一方面阴影部分，看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积，即可求解；
（3）由（2）两种方法，根据面积公式，结合表示的面积相等，即可得到答案；
（4）由（3）的结论，将， 代入代数式，进行计算，即可求解．
22．【答案】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下，如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ.
∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE.
∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE
∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP；
（2）解：∠OPQ=∠ORQ，
理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ，
同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，
∵入射角等于反射角：
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，
∴∠OPQ=∠ORQ；
【应用拓展】
如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB，则ABPMQNCD.
∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°
∵∠B=125°，∠C=145°，
∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°，
∵∠PQC=65°，
∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°，
∴∠QPM=∠PQN=30°，
∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行公理
【解析】【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，得到PEBQ，利用平行线的性质，得到∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE，结合∠OPQ=∠OPE+∠QPE，即可得到答案；
（2）由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ和∠DOR+∠CQR=∠ORQ，根据入射角等于反射角，得到∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，进而得到各角之间的关系，即可求解；
应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，得到ABPMQNCD，得出∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180°，结合∠B=125°，∠C=145°，进而得到各角之间的关系，即可求解．
23．【答案】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF=180°-∠DAB．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°-∠DAB．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，推得△ABE≌△ADG，得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证得△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，推得△ABE≌△ADG，得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证得△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，即可求解；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，证得△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
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