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广东省惠州市惠东县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·惠东期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·惠东期末）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·惠东期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，－1）
C．（－2，1） D．（－2，－1）
4．（2024七下·惠东期末）下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·惠东期末）下列调查案例中，最适宜采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查某市中学生的视力状况 B．检测神舟十六号飞船的零部件
C．调查某河域的水污染情况 D．调查一批节能灯的使用寿命
6．（2024七下·惠东期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（　　）
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是对顶角 D．和是邻补角
7．（2024七下·惠东期末）已知，下列四个不等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·惠东期末）用代入法解方程组时，把②代入①后得到方程是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·惠东期末） 2023年2月26日，横琴马拉松在广东珠海横琴金融岛中央公园开跑．小强跑在小海前面，在离终点时，他以的速度向终点冲刺，而此时小海在他身后，请问小海需以多快的速度同时冲刺，才能在小强之前到达终点？设此时小海冲刺的速度为，可列的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·惠东期末）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·惠东期末）已知，当时，　 　．
12．（2024七下·惠东期末）一个正数的平方根是m与，则　 　．
13．（2024七下·惠东期末）如图，直线与直线相交于点，若，，垂足为，则　 　度．
14．（2024七下·惠东期末）在五子棋比赛中，黑白双方轮流落子，率先在横、竖、斜任一方向上成连续五枚同色棋子的一方为胜．如图，现黑方有一个方向形成了同色“四连珠”，已锁定胜局，黑方下一步终结棋局的落子位置的坐标是　 　．
15．（2024七下·惠东期末）下表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则不等式组的解集为　 　．
1 2 3
3 1
16．（2024七下·惠东期末）（1）计算：
（2）解不等式组并写出所有整数解．
17．（2024七下·惠东期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接AD、BE，直接写出线段AD与线段BE的关系：______．
18．（2024七下·惠东期末）已知：如图分别平分和，求证：
证明：分别平分和（已知）
______________________________，
___________（ ）
（ ）
（ ）
___________
（ ）
19．（2024七下·惠东期末）2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，主题是“贯彻总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养，夯实以新安全格局保障新发展格局的社会基础”某中学为了调查学生对国家安全相关知识的掌握情况，随机抽取若干学生进行了相关知识测试，将成绩（取整数）分为“：分，：分，：分，：分及以下”四个等级进行统计，绘成如图所示的不完整统计图．解答下列问题：
（1）此次测试被抽取的学生共_______人．扇形统计图中，等级对应扇形的圆心角度数为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校名学生都参加此次测试，将对分以上（含分）进行表彰，估计该校被表彰的学生有多少人？
20．（2024七下·惠东期末）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．（2024七下·惠东期末）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？
22．（2024七下·惠东期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
（1）的最小值是______；
（2）利用上述思想方法解不等式：；
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2
23．（2024七下·惠东期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，，，两点，点，，，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标．
[问题探究]：
（1）请阅读并填空：
一方面，过点作轴于点，我们可以由，的坐标，直接得出三角形 的面积为 平方单位；另一方面，过点作 轴于点，三角形 的面积，三角形的面积 平方单位．
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
可得关于的一元一次方程为
解这个方程，可得点的坐标为
[问题迁移]：
（2）请你仿照(1)中的方法，求点的纵坐标．
[问题拓展]：
（3）若点，在直线上，且三角形的面积等于平方单位，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；
C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意；
D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，逐项分析即可.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限
∴点的横坐标为正、纵坐标为负
符合条件的为：B.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A是一元一次方程，该选项不符合题意；
B是二元二次方程，该选项不符合题意；
C不是方程，该选项不符合题意；
D是二元一次方程，符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，由此可以判断四个选项中哪个是二元一次方程.
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
B选项，适宜采用全面调查，符合题意；
C选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
D选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】普查得到的结果比较准确但是耗费时间和人力物力，只有B选项符合.
6．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角的概念；内错角的概念
【解析】【解答】解：A、和不是同位角，此选项符合题意；
B、和是内错角，此选项不符合题意；
C、和是对顶角，此选项不符合题意；
D、和是邻补角，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角、内错角、对顶角和领补角的定义及判定方法逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ，∴，本项不符合题意；
B、∵ ，∴，本项不符合题意；
C、∵，∴，本项符合题意；
D、∵，∴，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项分析即可.
8．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把②代入①，得：，
去括号，得：．
故答案为：D．
【分析】
根据用代入法解二元一次方程组，将②代入①整理即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s
列出不等式
故答案为：B.
【分析】已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s，结合题意列出不等式即可.
10．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用垂直的定义可得，再结合，利用角的运算求出，最后结合，求出即可.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当时，，
解得：，
故答案为：．
【分析】将x=2代入可得，再求出y的值即可.
12．【答案】2
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根为m与m-4，
∴m-4+m=0
解得m=2；
故答案为：2.
【分析】利用平方根的性质可得m-4+m=0求解m即可.
13．【答案】55
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用垂直的定义可得，再结合，利用角的运算求出，最后利用对顶角的定义可得.
14．【答案】或
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，如图所示，
黑方下一步终结棋局的落子位置的坐标是或，
故答案为：或.
【分析】本题考查坐标确定位置，根据平面直角坐标系，写出黑棋获胜的位置，即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：将x=1，y=1；x=2，y=-1代入ax+by=3中得：
，解得：，
∴原方程为：2x+y=3，
当y=3时，m=0；当x=3时，n=-3，
∴解集为：-3＜x＜0，
故答案为：-3＜x＜0.
【分析】根据表格已知x，y的值都为二元一次方程ax+by=3的解，代入求出a，b的值，然后再求出m，n的值，进而求解不等式组的解集.
16．【答案】解：（1）原式
（2）解：解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集是
∴不等式组的所有整数解是，0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
17．【答案】（1）解：根据点A的对应点D，确定平移方式，找出点A和B的对应点E、F，顺次连接D、E、F，则△DEF为所求作的图形，如图所示：
（2）平行且相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：∵平移前后，对应点的连线平行且相等，
∴线段AD与线段BE的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用图形平移的性质分析求解即可.
18．【答案】证明：分别平分和（已知），
，
（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，其中内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，反之亦成立，根据分别平分和，得到，再由，得到，进而得到.
19．【答案】（1）；
（2）解：等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该校被表彰的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次测试被抽取的学生共有：（人），
等级对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；；
【分析】（1）从两个统计图，得到等级有人，占调查人数的，求出被抽取的学生人数，用等级的人数除以被抽取的学生人数得到等级的百分比，再乘以，可得出答案；
（2）用被抽取的学生人数减去等级，等级，等级的人数得到等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，求出样本中测试成绩不低于分的学生所占的百分比，再乘以总体，即可求解．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，设，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由，证得，结合内错角相等，得到，进而得到，结合同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，得到，设，根据，得到，求得，结合，即可得到答案.键．
21．【答案】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设果购篮球个，则果购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
∵为整数，
∴的值可为，，，．
答：共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元，列出方程组，解方程组即可求得答案.
（2） 设果购篮球m个，则果购足球为（50-m）个， 根据篮球不少于30个，且总费用不超过5490元，列出不等式组，解不等式组可得m的取值范围， 因为m为整数，可得购买方案.
22．【答案】（1）5
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
23．【答案】(1)答案为：，，，，
解：（2）如图，连接，过点作于，于．
依题意，直线与坐标轴交于，，，两点，点，，，在直线上
，
，
，
点的纵坐标为；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）过点作轴于点，
，，，，点，，
平方单位．
过点作轴于点，平方单位，平方单位．
，
，
解得，，
点的坐标为，．
故答案为：，，，，；
解： （3）如图所示，过点作轴于点，则
∵点，在直线上，且三角形的面积等于平方单位，，
∴点在轴上方，
当点在点的左侧时，
即
解得：，
当点在点的右侧时，
解得：，
综上所述，
【分析】（1）过点作轴于点，求得的面积，再过点作轴于点，求得
，，结合，列出方程，求得m的值，进而得到B的坐标；
（2）连接，过点作于，于，结合，列出方程，求得n的值，进而的点的纵坐标，即可求解；
（3）过点作轴于点，则，分两种情形：当点在直线的下方，当点在直线的上方，结合和，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
1 / 1广东省惠州市惠东县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·惠东期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意；
C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意；
D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·惠东期末）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，逐项分析即可.
3．（2024七下·惠东期末）在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，－1）
C．（－2，1） D．（－2，－1）
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限
∴点的横坐标为正、纵坐标为负
符合条件的为：B.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），一一判断得出答案.
4．（2024七下·惠东期末）下列各式中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A是一元一次方程，该选项不符合题意；
B是二元二次方程，该选项不符合题意；
C不是方程，该选项不符合题意；
D是二元一次方程，符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，由此可以判断四个选项中哪个是二元一次方程.
5．（2024七下·惠东期末）下列调查案例中，最适宜采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查某市中学生的视力状况 B．检测神舟十六号飞船的零部件
C．调查某河域的水污染情况 D．调查一批节能灯的使用寿命
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
B选项，适宜采用全面调查，符合题意；
C选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
D选项，适宜采用抽样调查，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】普查得到的结果比较准确但是耗费时间和人力物力，只有B选项符合.
6．（2024七下·惠东期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（　　）
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是对顶角 D．和是邻补角
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角的概念；内错角的概念
【解析】【解答】解：A、和不是同位角，此选项符合题意；
B、和是内错角，此选项不符合题意；
C、和是对顶角，此选项不符合题意；
D、和是邻补角，此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同位角、内错角、对顶角和领补角的定义及判定方法逐项分析判断即可.
7．（2024七下·惠东期末）已知，下列四个不等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ，∴，本项不符合题意；
B、∵ ，∴，本项不符合题意；
C、∵，∴，本项符合题意；
D、∵，∴，本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项分析即可.
8．（2024七下·惠东期末）用代入法解方程组时，把②代入①后得到方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把②代入①，得：，
去括号，得：．
故答案为：D．
【分析】
根据用代入法解二元一次方程组，将②代入①整理即可得出答案．
9．（2024七下·惠东期末） 2023年2月26日，横琴马拉松在广东珠海横琴金融岛中央公园开跑．小强跑在小海前面，在离终点时，他以的速度向终点冲刺，而此时小海在他身后，请问小海需以多快的速度同时冲刺，才能在小强之前到达终点？设此时小海冲刺的速度为，可列的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s
列出不等式
故答案为：B.
【分析】已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s，结合题意列出不等式即可.
10．（2024七下·惠东期末）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用垂直的定义可得，再结合，利用角的运算求出，最后结合，求出即可.
11．（2024七下·惠东期末）已知，当时，　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：当时，，
解得：，
故答案为：．
【分析】将x=2代入可得，再求出y的值即可.
12．（2024七下·惠东期末）一个正数的平方根是m与，则　 　．
【答案】2
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根为m与m-4，
∴m-4+m=0
解得m=2；
故答案为：2.
【分析】利用平方根的性质可得m-4+m=0求解m即可.
13．（2024七下·惠东期末）如图，直线与直线相交于点，若，，垂足为，则　 　度．
【答案】55
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用垂直的定义可得，再结合，利用角的运算求出，最后利用对顶角的定义可得.
14．（2024七下·惠东期末）在五子棋比赛中，黑白双方轮流落子，率先在横、竖、斜任一方向上成连续五枚同色棋子的一方为胜．如图，现黑方有一个方向形成了同色“四连珠”，已锁定胜局，黑方下一步终结棋局的落子位置的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题意，如图所示，
黑方下一步终结棋局的落子位置的坐标是或，
故答案为：或.
【分析】本题考查坐标确定位置，根据平面直角坐标系，写出黑棋获胜的位置，即可得到答案．
15．（2024七下·惠东期末）下表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则不等式组的解集为　 　．
1 2 3
3 1
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：将x=1，y=1；x=2，y=-1代入ax+by=3中得：
，解得：，
∴原方程为：2x+y=3，
当y=3时，m=0；当x=3时，n=-3，
∴解集为：-3＜x＜0，
故答案为：-3＜x＜0.
【分析】根据表格已知x，y的值都为二元一次方程ax+by=3的解，代入求出a，b的值，然后再求出m，n的值，进而求解不等式组的解集.
16．（2024七下·惠东期末）（1）计算：
（2）解不等式组并写出所有整数解．
【答案】解：（1）原式
（2）解：解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集是
∴不等式组的所有整数解是，0．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
17．（2024七下·惠东期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接AD、BE，直接写出线段AD与线段BE的关系：______．
【答案】（1）解：根据点A的对应点D，确定平移方式，找出点A和B的对应点E、F，顺次连接D、E、F，则△DEF为所求作的图形，如图所示：
（2）平行且相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：∵平移前后，对应点的连线平行且相等，
∴线段AD与线段BE的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用图形平移的性质分析求解即可.
18．（2024七下·惠东期末）已知：如图分别平分和，求证：
证明：分别平分和（已知）
______________________________，
___________（ ）
（ ）
（ ）
___________
（ ）
【答案】证明：分别平分和（已知），
，
（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，其中内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，反之亦成立，根据分别平分和，得到，再由，得到，进而得到.
19．（2024七下·惠东期末）2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，主题是“贯彻总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养，夯实以新安全格局保障新发展格局的社会基础”某中学为了调查学生对国家安全相关知识的掌握情况，随机抽取若干学生进行了相关知识测试，将成绩（取整数）分为“：分，：分，：分，：分及以下”四个等级进行统计，绘成如图所示的不完整统计图．解答下列问题：
（1）此次测试被抽取的学生共_______人．扇形统计图中，等级对应扇形的圆心角度数为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校名学生都参加此次测试，将对分以上（含分）进行表彰，估计该校被表彰的学生有多少人？
【答案】（1）；
（2）解：等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该校被表彰的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次测试被抽取的学生共有：（人），
等级对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；；
【分析】（1）从两个统计图，得到等级有人，占调查人数的，求出被抽取的学生人数，用等级的人数除以被抽取的学生人数得到等级的百分比，再乘以，可得出答案；
（2）用被抽取的学生人数减去等级，等级，等级的人数得到等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，求出样本中测试成绩不低于分的学生所占的百分比，再乘以总体，即可求解．
20．（2024七下·惠东期末）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，设，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由，证得，结合内错角相等，得到，进而得到，结合同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，得到，设，根据，得到，求得，结合，即可得到答案.键．
21．（2024七下·惠东期末）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设果购篮球个，则果购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
∵为整数，
∴的值可为，，，．
答：共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1） 设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元，列出方程组，解方程组即可求得答案.
（2） 设果购篮球m个，则果购足球为（50-m）个， 根据篮球不少于30个，且总费用不超过5490元，列出不等式组，解不等式组可得m的取值范围， 因为m为整数，可得购买方案.
22．（2024七下·惠东期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
（1）的最小值是______；
（2）利用上述思想方法解不等式：；
（3）当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】（1）5
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
23．（2024七下·惠东期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，，，两点，点，，，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标．
[问题探究]：
（1）请阅读并填空：
一方面，过点作轴于点，我们可以由，的坐标，直接得出三角形 的面积为 平方单位；另一方面，过点作 轴于点，三角形 的面积，三角形的面积 平方单位．
三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
可得关于的一元一次方程为
解这个方程，可得点的坐标为
[问题迁移]：
（2）请你仿照(1)中的方法，求点的纵坐标．
[问题拓展]：
（3）若点，在直线上，且三角形的面积等于平方单位，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)答案为：，，，，
解：（2）如图，连接，过点作于，于．
依题意，直线与坐标轴交于，，，两点，点，，，在直线上
，
，
，
点的纵坐标为；
（3）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）过点作轴于点，
，，，，点，，
平方单位．
过点作轴于点，平方单位，平方单位．
，
，
解得，，
点的坐标为，．
故答案为：，，，，；
解： （3）如图所示，过点作轴于点，则
∵点，在直线上，且三角形的面积等于平方单位，，
∴点在轴上方，
当点在点的左侧时，
即
解得：，
当点在点的右侧时，
解得：，
综上所述，
【分析】（1）过点作轴于点，求得的面积，再过点作轴于点，求得
，，结合，列出方程，求得m的值，进而得到B的坐标；
（2）连接，过点作于，于，结合，列出方程，求得n的值，进而的点的纵坐标，即可求解；
（3）过点作轴于点，则，分两种情形：当点在直线的下方，当点在直线的上方，结合和，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
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