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云南省昆明市官渡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·官渡期末）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·官渡期末）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得：，
∴点的坐标是；
故选A．
【分析】将代入函数解析式即可求出答案.
3．（2024八下·官渡期末）下列各数中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，故不是最简二次根式，不合题意；
B、，故不是最简二次根式，不合题意；
C、，故不是最简二次根式，不合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．（2024八下·官渡期末）如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，，
，
点表示的实数为，
故答案为：D
【分析】本题考查实数与数轴．先利用勾股定理求出，再结合数轴可求出点表示的实数 ．
5．（2024八下·官渡期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024八下·官渡期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024八下·官渡期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向下平移3个单位长度得：
，
故选：A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
8．（2024八下·官渡期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案.
9．（2024八下·官渡期末）中老铁路自2021年12月开通运营以来，旅客发送量持续增长．下表是2023年9月至2024年2月中老铁路旅客发送量的统计结果（单位：万人次）：
月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月
旅客量
这六个月的旅客发送量的中位数是（　　）
A．万人次 B．万人次
C．万人次 D．万人次
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数是(万人次)，
故选：C．
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
10．（2024八下·官渡期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形中位定理可得，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2024八下·官渡期末）已知一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点
B．它的图象经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小
D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当时，，
点不在一次函数的图像上，A不符合题意；
B．，，
一次函数的图像经过第一、三、四象限，B不符合题意；
C．，
随的增大而减增大，C不符合题意；
D、当时，，
当时，，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
12．（2024八下·官渡期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．22 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴AO=AC=6，
∵AB⊥AC，
∴，
∴BD=2BO=20．
故答案为∶D．
【分析】
根据平行四边形的性质"平行四边形的对角线互相平分"得AO=AC可求出AO的长度，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出BO，然后BD=2OB可求解．
13．（2024八下·官渡期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
（1）铁块在液面以下，液面的高度不变；
（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
（3）铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：（1）铁块在液面以下，（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，（3）铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
14．（2024八下·官渡期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上，此时由于CN与DN的和已知，CE长等于BC的一半已知，设出CN的长，则EN的长可用CN的代数式表示，直接在中应用勾股定理即可．
15．（2024八下·官渡期末）如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，若的面积为6，则点C的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点的坐标为，
，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为．
设点的坐标为，则，
解得：或，
∴点的坐标为或．
故选：C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据的面积为6，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出答案.
16．（2024八下·官渡期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是　 　．
【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：
解得 ，
故答案为：x≥-3．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．
17．（2024八下·官渡期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，8，7，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是　 　（选填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，
，
，
∴这两名运动员中发挥得更稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的定义分别求出甲、乙成绩的方差，再依据方差的意义可得答案．
18．（2024八下·官渡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是，
∴方程组可化为：，它的解为．
故答案为：．
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
19．（2024八下·官渡期末）如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形是菱形，
∴点关于直线对称，，
过作于，交于，
此时，的值最小，的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得点关于直线对称，，过作于，交于，此时，的值最小，的最小值，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积可得DQ，即可求出答案.
20．（2024八下·官渡期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，同时去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算除法和平方差公式，再算加减法即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．（2024八下·官渡期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
【答案】（1）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图点即为所求．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形作图即可.
（1）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图点即为所求．
22．（2024八下·官渡期末）2004年，中国正式开展月球探测“嫦娥工程”．嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段．从2007年10月“嫦娥一号”成功发射升空至2024年6月“嫦娥六号”完成世界首次月球背面采样和返回，中国人的探月工程为人类和平使用月球作出了新的贡献．某中学开展以“航天梦 中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10
抽取的七年级人数（人） 2 0 4 3 6 3 2
抽取的八年级人数（人） 1 2 1 6 5 4 1
表二：平均数，中位数，众数，优秀率统计表
　 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 a 8 8 55%
八年级 7.4 7.5 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；______；______；
（2）若该校七、八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
（3）根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：人，(人)，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可)
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级平均数，即，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即，
八年级的优秀率，
故答案为：；
【分析】（1）根据平均数，众数的定义可得a，b，求出优秀人数，再求出其百分比即可求出答案.
（2）根据500乘以9分及9分以上的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：七年级平均数，即，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即，
八年级的优秀率，
故答案为：；
（2）解：人，(人)，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可)
23．（2024八下·官渡期末）如图，在矩形中，，平分．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
24．（2024八下·官渡期末）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，同学们先在点E处用高的测角仪测得，然后沿水平方向前行到点C处，在点C处测得．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断小昆的无人机是否超过限高要求？（参考数据：）
【答案】解：此同学的无人机没有超过限高要求，
理由：连接并延长交于点，
由题意得：，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴小昆的无人机未超过限高要求．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接并延长交于点，由题意得：，设，根据边之间的关系可得FG，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AG，建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得AB，再比较大小即可求出答案.
25．（2024八下·官渡期末）“五一”假期，昆明教场中路蓝花楹盛开，吸引了大量的游客参观游玩．蓝花楹文创雪糕以美丽的花朵造型、近乎蓝花楹的梦幻色彩，深受游客喜爱．某文创店准备购进蓝莓、牛奶、葡萄三种不同口味的蓝花楹雪糕共200支，其中牛奶味雪糕的数量是葡萄味雪糕数量的3倍，且每种口味雪糕的数量都不少于20支．
每种口味雪糕的售价及进价如下表：
品种 牛奶 蓝苺 葡萄
售价/（元/支） 10 10 10
进价/（元/支） 7
该文创店应如何进货，使售完这批雪糕获利最大？最大利润是多少元？
【答案】解：设葡萄味雪糕是支，利润为元，
则：，
∵且，
解得：，
，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，为(元)，
答：文创店应进牛奶150支、葡萄雪糕50支获利最大，最大利润是630元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设葡萄味雪糕是支，利润为元，根据“利润=三种雪糕的利润和”列出函数解析式，再根据一次函数的性质即可求出答案.
26．（2024八下·官渡期末）某生物学习小组研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如下表：
0 4 6 8 10 14
25 21 19 16 15 11
10 18 22 26 31 38
（1）根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象；
（2）猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式；
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．
【答案】（1）解：描点，连线，画出图象如图，
（2）解：设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
（3）解：根据题意得：，
解得，
∴满足平衡状态时，该药物施用量)的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据描点法作出图象即可求出答案.
（2）设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据待定系数法将点 代入解析式即可求出答案；
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：描点，连线，画出图象如图，
（2）解：设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
（3）解：根据题意得：，
解得，
∴满足平衡状态时，该药物施用量)的取值范围是．
27．（2024八下·官渡期末）【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；
（3）成立，理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
（2）①∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
②∵，
∴，
∴，
则还可以发现：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边上的中线可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
②由全等三角形的性质可得；
（3），延长交于，连接，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，由全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1云南省昆明市官渡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·官渡期末）下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·官渡期末）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·官渡期末）下列各数中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·官渡期末）如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
5．（2024八下·官渡期末）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·官渡期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·官渡期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·官渡期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
9．（2024八下·官渡期末）中老铁路自2021年12月开通运营以来，旅客发送量持续增长．下表是2023年9月至2024年2月中老铁路旅客发送量的统计结果（单位：万人次）：
月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月
旅客量
这六个月的旅客发送量的中位数是（　　）
A．万人次 B．万人次
C．万人次 D．万人次
10．（2024八下·官渡期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·官渡期末）已知一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点
B．它的图象经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小
D．当时，
12．（2024八下·官渡期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．22 B．16 C．18 D．20
13．（2024八下·官渡期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2024八下·官渡期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
15．（2024八下·官渡期末）如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，若的面积为6，则点C的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
16．（2024八下·官渡期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是　 　．
17．（2024八下·官渡期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，8，7，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是　 　（选填“甲”或“乙”）．
18．（2024八下·官渡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
19．（2024八下·官渡期末）如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是　 　．
20．（2024八下·官渡期末）计算：
（1）；
（2）．
21．（2024八下·官渡期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
22．（2024八下·官渡期末）2004年，中国正式开展月球探测“嫦娥工程”．嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段．从2007年10月“嫦娥一号”成功发射升空至2024年6月“嫦娥六号”完成世界首次月球背面采样和返回，中国人的探月工程为人类和平使用月球作出了新的贡献．某中学开展以“航天梦 中国梦”为主题的演讲比赛，赛后，从七，八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩（比赛成绩均为整数，8分及8分以上为优秀）进行整理和分析，绘制出如下统计表．
表一：七，八年级抽取学生的比赛成绩统计表
成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10
抽取的七年级人数（人） 2 0 4 3 6 3 2
抽取的八年级人数（人） 1 2 1 6 5 4 1
表二：平均数，中位数，众数，优秀率统计表
　 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 a 8 8 55%
八年级 7.4 7.5 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______；______；______；
（2）若该校七、八年级共有学生500名，估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的共有多少人？
（3）根据表二中的数据分析，你认为哪个年级的学生在本次比赛中成绩较好，并说明理由．
23．（2024八下·官渡期末）如图，在矩形中，，平分．求证：四边形是菱形．
24．（2024八下·官渡期末）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，同学们先在点E处用高的测角仪测得，然后沿水平方向前行到点C处，在点C处测得．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断小昆的无人机是否超过限高要求？（参考数据：）
25．（2024八下·官渡期末）“五一”假期，昆明教场中路蓝花楹盛开，吸引了大量的游客参观游玩．蓝花楹文创雪糕以美丽的花朵造型、近乎蓝花楹的梦幻色彩，深受游客喜爱．某文创店准备购进蓝莓、牛奶、葡萄三种不同口味的蓝花楹雪糕共200支，其中牛奶味雪糕的数量是葡萄味雪糕数量的3倍，且每种口味雪糕的数量都不少于20支．
每种口味雪糕的售价及进价如下表：
品种 牛奶 蓝苺 葡萄
售价/（元/支） 10 10 10
进价/（元/支） 7
该文创店应如何进货，使售完这批雪糕获利最大？最大利润是多少元？
26．（2024八下·官渡期末）某生物学习小组研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如下表：
0 4 6 8 10 14
25 21 19 16 15 11
10 18 22 26 31 38
（1）根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象；
（2）猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式；
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．
27．（2024八下·官渡期末）【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得：，
∴点的坐标是；
故选A．
【分析】将代入函数解析式即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，故不是最简二次根式，不合题意；
B、，故不是最简二次根式，不合题意；
C、，故不是最简二次根式，不合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，，
，
点表示的实数为，
故答案为：D
【分析】本题考查实数与数轴．先利用勾股定理求出，再结合数轴可求出点表示的实数 ．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向下平移3个单位长度得：
，
故选：A．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数是(万人次)，
故选：C．
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形中位定理可得，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当时，，
点不在一次函数的图像上，A不符合题意；
B．，，
一次函数的图像经过第一、三、四象限，B不符合题意；
C．，
随的增大而减增大，C不符合题意；
D、当时，，
当时，，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴AO=AC=6，
∵AB⊥AC，
∴，
∴BD=2BO=20．
故答案为∶D．
【分析】
根据平行四边形的性质"平行四边形的对角线互相平分"得AO=AC可求出AO的长度，在Rt△AOB中，根据勾股定理求出BO，然后BD=2OB可求解．
13．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
（1）铁块在液面以下，液面的高度不变；
（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
（3）铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：（1）铁块在液面以下，（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，（3）铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
14．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
【分析】
由折叠的性质可把DN转化到EN上，此时由于CN与DN的和已知，CE长等于BC的一半已知，设出CN的长，则EN的长可用CN的代数式表示，直接在中应用勾股定理即可．
15．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点的坐标为，
，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为．
设点的坐标为，则，
解得：或，
∴点的坐标为或．
故选：C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据的面积为6，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：
解得 ，
故答案为：x≥-3．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．
17．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，
，
，
∴这两名运动员中发挥得更稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的定义分别求出甲、乙成绩的方差，再依据方差的意义可得答案．
18．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是，
∴方程组可化为：，它的解为．
故答案为：．
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
19．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵四边形是菱形，
∴点关于直线对称，，
过作于，交于，
此时，的值最小，的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得点关于直线对称，，过作于，交于，此时，的值最小，的最小值，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积可得DQ，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简，同时去括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算除法和平方差公式，再算加减法即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．【答案】（1）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图点即为所求．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形作图即可.
（1）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图点即为所求．
22．【答案】（1）
（2）解：人，(人)，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可)
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级平均数，即，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即，
八年级的优秀率，
故答案为：；
【分析】（1）根据平均数，众数的定义可得a，b，求出优秀人数，再求出其百分比即可求出答案.
（2）根据500乘以9分及9分以上的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：七年级平均数，即，
八年级20名学生成绩出现次数最多的为7分，共出现6次，因此众数为7分，即，
八年级的优秀率，
故答案为：；
（2）解：人，(人)，
答：估计该校学生在本次比赛中成绩在9分及9分以上的约有125人；
（3）解：七年级学生比赛成绩较好．
理由是：七、八年级学生比赛成绩的平均数相等，但七年级比赛成绩的中位数高于八年级，所以七年级学生在本次比赛中成绩较好．（答案不唯一，合理即可)
23．【答案】证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
24．【答案】解：此同学的无人机没有超过限高要求，
理由：连接并延长交于点，
由题意得：，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴小昆的无人机未超过限高要求．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接并延长交于点，由题意得：，设，根据边之间的关系可得FG，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AG，建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得AB，再比较大小即可求出答案.
25．【答案】解：设葡萄味雪糕是支，利润为元，
则：，
∵且，
解得：，
，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，为(元)，
答：文创店应进牛奶150支、葡萄雪糕50支获利最大，最大利润是630元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设葡萄味雪糕是支，利润为元，根据“利润=三种雪糕的利润和”列出函数解析式，再根据一次函数的性质即可求出答案.
26．【答案】（1）解：描点，连线，画出图象如图，
（2）解：设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
（3）解：根据题意得：，
解得，
∴满足平衡状态时，该药物施用量)的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据描点法作出图象即可求出答案.
（2）设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，根据待定系数法将点 代入解析式即可求出答案；
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：描点，连线，画出图象如图，
（2）解：设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
设植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；
（3）解：根据题意得：，
解得，
∴满足平衡状态时，该药物施用量)的取值范围是．
27．【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；
（3）成立，理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
（2）①∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
②∵，
∴，
∴，
则还可以发现：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边上的中线可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
②由全等三角形的性质可得；
（3），延长交于，连接，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，由全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
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