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云南省昆明市盘龙区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·盘龙期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、∵-2＜0，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵是三次根式，故此选项不符合题意；
C、∵a2+1≥1，∴ 是二次根式，故此选项符合题意；
D、∵a-1的大小不能确定，当a-1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一般地，形如“（a≥0）”的代数式叫做二次根式，据此逐个判断得出答案.
2．（2024八下·盘龙期末）下列各组数中，勾股数是（　　）
A．13，14，15 B．1，1，
C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
D、，是勾股数，该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股数的定义即可求出答案.
3．（2024八下·盘龙期末）下列选项中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．（2024八下·盘龙期末）某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：本次比赛共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛，
成绩不低于中位数即可参加复赛，
只需要知道这83名同学成绩的中位数即可，
故选：D．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
5．（2024八下·盘龙期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、C、D对于的任何值，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，
B对于部分的值，的值不是唯一的，不符合函数的定义，
故选：B．
【分析】根据函数的定义即可求出答案.
6．（2024八下·盘龙期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024八下·盘龙期末）如图，在中，，D为中点，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D为中点，
∴．
故选：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
8．（2024八下·盘龙期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024八下·盘龙期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量校园内被花坛隔开的两点间距离，在外取一点，测得两边中点的距离为，则两点间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵两边中点的距离为，
∴为的中位线，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．（2024八下·盘龙期末）小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（　　）
A．8.3分 B．8.4分 C．8.5分 D．8.6分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分）．
故小彩的最终比赛成绩为分．
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数计算即可求出答案.
11．（2024八下·盘龙期末）一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地．如图，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙两地相距
B．轮船从甲地到乙地的平均速度为
C．轮船在乙地停留了
D．轮船从乙地返回到甲地的平均速度为
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意；
B、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意；
C、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意；
D、轮船从乙地到甲地的平均速度为，此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数图象逐项分析即可求出答案.
12．（2024八下·盘龙期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（　　）
A．3.57 B．3.6 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，，
根据勾股定理，得，
所以．
因为点C在正半轴，
所以点C对应的实数为．
故选：C．
【分析】根据题意可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
13．（2024八下·盘龙期末）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于，的方程组的解是．
故选：B．
【分析】根据两函数图象交点坐标即为对应方程组的解即可求出答案.
14．（2024八下·盘龙期末）如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（　　）
A．3米 B．米 C．4米 D．5米
【答案】A
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度是米，
根据勾股定理得，
解得．
故折断处离地面的高度是3米，
故选：A．
【分析】设折断处离地面的高度是米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2024八下·盘龙期末）关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与直线平行
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象一定经过点
D．若点和点在直线上，则
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、与中的系数不同，
与不平行，故本选项错误，不符合题意；
B、的图象是随的增大而增大的，与轴的交点是，图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、将代入得，即过点，故本选项错误，不符合题意；
D、的图象是随的增大而增大的，，
，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据一次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
16．（2024八下·盘龙期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
17．（2024八下·盘龙期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知时，一次函数的值大于0，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】当一次函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
18．（2024八下·盘龙期末）如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意，将圆柱展开如下：
∴，
∴，
∴最短路程为13，
故答案为：13．
【分析】根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理即可求出答案.
19．（2024八下·盘龙期末）如图，菱形的对角线，相交于点O．若，，则与间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
20．（2024八下·盘龙期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
21．（2024八下·盘龙期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
22．（2024八下·盘龙期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成．
生活中的数学：确定模型零件平面图的面积
素材一 素材二
如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，．
问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
【答案】解：连接．
，
∵，，，
∴在中，，
∵，，
∴在中，，，
∴满足，
∴是直角三角形且．
∴零件的面积
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形且，则零件的面积，结合三角形面积即可求出答案.
23．（2024八下·盘龙期末）2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 a 9 1.06
八年级 8.76 8 b 1.38
（1）根据以上信息可以求出：________，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为________分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是________年级（填“七”或“八”）；
（2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）9，10，七
（2）解：由题可得：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生为：
（人），
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人．
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题可知：七年级等级的人数为：（人），
A等级为人，B等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在B等级中，
即，
由扇形图可知：，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为A等级，即分，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：9，10，七；
【分析】（1）根据条形统计图可得七年级等级的人数，从而求得七年级竞赛成绩的中位数，再由扇形统计图可得八年级绝大多数学生的竞赛成绩，最后根据七、八年级竞赛成绩的方差即可得出谁更稳定；
（2）根据图表信息可得成绩优秀的学生占比，再乘以对应的学生总数，再相加即可解题．
（1）解：由题可知：七年级等级的人数为：（人），
A等级为人，B等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在B等级中，
即，
由扇形图可知：，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为A等级，即分，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：9，10，七；
（2）解：由题可得：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生为：
（人），
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人．
24．（2024八下·盘龙期末）某校为营造书香校园，计划购进甲，乙两种规格的书柜用于放置新购买的图书．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜3个，共需要资金430元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金260元．
（1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校计划购进甲，乙两种书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜数量的3倍，学校应如何购买才能使资金花费最少，最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元；
（2）解：设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元，
由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最小值，（元），则乙：（个），
答：购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，根据题意列方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，所需资金为w元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量的3倍得出m的取值范围，所需经费=甲种书柜总费用+乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可．
（1）解：设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元；
（2）解：设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元，
由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最小值，（元），则乙：（个），
答：购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元．
25．（2024八下·盘龙期末）如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求证：是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是矩形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得BC，再根据勾股定理逆定理可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
26．（2024八下·盘龙期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，，再根据三角形面积可得，再代入解析式即可求出答案.
（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
27．（2024八下·盘龙期末）如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，，求的长；
（3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当时，点E与点C重合，舍去；
②当时，，
③当时，由正方形性质可得：，
∴，
即是等腰直角三角形，
设，
在中，由勾股定理可得：，
∴，解得（舍去）；
∴；
综上所述，的长为4或；
（3）解：如图，过E作于点M，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，点E与点C重合，舍去；②当时，；③当时，由正方形性质可得：，则是等腰直角三角形，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过E作于点M，根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，设，则，，根据正方形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当时，点E与点C重合，舍去；
②当时，，
③当时，由正方形性质可得：，
∴，
即是等腰直角三角形，
设，
在中，由勾股定理可得：，
∴，解得（舍去）；
∴；
综上所述，的长为4或；
（3）解：如图，过E作于点M，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴．
1 / 1云南省昆明市盘龙区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·盘龙期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·盘龙期末）下列各组数中，勾股数是（　　）
A．13，14，15 B．1，1，
C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17
3．（2024八下·盘龙期末）下列选项中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·盘龙期末）某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．（2024八下·盘龙期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·盘龙期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八下·盘龙期末）如图，在中，，D为中点，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024八下·盘龙期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·盘龙期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量校园内被花坛隔开的两点间距离，在外取一点，测得两边中点的距离为，则两点间的距离是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·盘龙期末）小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（　　）
A．8.3分 B．8.4分 C．8.5分 D．8.6分
11．（2024八下·盘龙期末）一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地．如图，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙两地相距
B．轮船从甲地到乙地的平均速度为
C．轮船在乙地停留了
D．轮船从乙地返回到甲地的平均速度为
12．（2024八下·盘龙期末）如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（　　）
A．3.57 B．3.6 C． D．
13．（2024八下·盘龙期末）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
14．（2024八下·盘龙期末）如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（　　）
A．3米 B．米 C．4米 D．5米
15．（2024八下·盘龙期末）关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与直线平行
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象一定经过点
D．若点和点在直线上，则
16．（2024八下·盘龙期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是　 　.
17．（2024八下·盘龙期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是　 　．
18．（2024八下·盘龙期末）如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为　 　．
19．（2024八下·盘龙期末）如图，菱形的对角线，相交于点O．若，，则与间的距离为　 　．
20．（2024八下·盘龙期末）计算：．
21．（2024八下·盘龙期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
22．（2024八下·盘龙期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成．
生活中的数学：确定模型零件平面图的面积
素材一 素材二
如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，．
问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
23．（2024八下·盘龙期末）2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 a 9 1.06
八年级 8.76 8 b 1.38
（1）根据以上信息可以求出：________，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为________分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是________年级（填“七”或“八”）；
（2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
24．（2024八下·盘龙期末）某校为营造书香校园，计划购进甲，乙两种规格的书柜用于放置新购买的图书．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜3个，共需要资金430元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金260元．
（1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校计划购进甲，乙两种书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜数量的3倍，学校应如何购买才能使资金花费最少，最少资金是多少元？
25．（2024八下·盘龙期末）如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求证：是矩形．
26．（2024八下·盘龙期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标．
27．（2024八下·盘龙期末）如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，，求的长；
（3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、∵-2＜0，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵是三次根式，故此选项不符合题意；
C、∵a2+1≥1，∴ 是二次根式，故此选项符合题意；
D、∵a-1的大小不能确定，当a-1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一般地，形如“（a≥0）”的代数式叫做二次根式，据此逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
D、，是勾股数，该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股数的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：本次比赛共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛，
成绩不低于中位数即可参加复赛，
只需要知道这83名同学成绩的中位数即可，
故选：D．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、C、D对于的任何值，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，
B对于部分的值，的值不是唯一的，不符合函数的定义，
故选：B．
【分析】根据函数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D为中点，
∴．
故选：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵两边中点的距离为，
∴为的中位线，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分）．
故小彩的最终比赛成绩为分．
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数计算即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意；
B、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意；
C、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意；
D、轮船从乙地到甲地的平均速度为，此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数图象逐项分析即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，，
根据勾股定理，得，
所以．
因为点C在正半轴，
所以点C对应的实数为．
故选：C．
【分析】根据题意可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于，的方程组的解是．
故选：B．
【分析】根据两函数图象交点坐标即为对应方程组的解即可求出答案.
14．【答案】A
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度是米，
根据勾股定理得，
解得．
故折断处离地面的高度是3米，
故选：A．
【分析】设折断处离地面的高度是米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、与中的系数不同，
与不平行，故本选项错误，不符合题意；
B、的图象是随的增大而增大的，与轴的交点是，图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、将代入得，即过点，故本选项错误，不符合题意；
D、的图象是随的增大而增大的，，
，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据一次函数性质逐项进行判断即可求出答案.
16．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
17．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知时，一次函数的值大于0，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】当一次函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
18．【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意，将圆柱展开如下：
∴，
∴，
∴最短路程为13，
故答案为：13．
【分析】根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理即可求出答案.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；面积及等积变换
20．【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
21．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】解：连接．
，
∵，，，
∴在中，，
∵，，
∴在中，，，
∴满足，
∴是直角三角形且．
∴零件的面积
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形且，则零件的面积，结合三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）9，10，七
（2）解：由题可得：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生为：
（人），
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人．
【知识点】中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题可知：七年级等级的人数为：（人），
A等级为人，B等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在B等级中，
即，
由扇形图可知：，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为A等级，即分，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：9，10，七；
【分析】（1）根据条形统计图可得七年级等级的人数，从而求得七年级竞赛成绩的中位数，再由扇形统计图可得八年级绝大多数学生的竞赛成绩，最后根据七、八年级竞赛成绩的方差即可得出谁更稳定；
（2）根据图表信息可得成绩优秀的学生占比，再乘以对应的学生总数，再相加即可解题．
（1）解：由题可知：七年级等级的人数为：（人），
A等级为人，B等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在B等级中，
即，
由扇形图可知：，
八年级绝大多数学生的竞赛成绩为A等级，即分，
，
竞赛成绩更稳定的是七年级，
故答案为：9，10，七；
（2）解：由题可得：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生为：
（人），
答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人．
24．【答案】（1）解：设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元；
（2）解：设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元，
由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最小值，（元），则乙：（个），
答：购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，根据题意列方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，所需资金为w元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量的3倍得出m的取值范围，所需经费=甲种书柜总费用+乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可．
（1）解：设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元；
（2）解：设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元，
由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最小值，（元），则乙：（个），
答：购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是矩形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得BC，再根据勾股定理逆定理可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
26．【答案】（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，，再根据三角形面积可得，再代入解析式即可求出答案.
（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
27．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当时，点E与点C重合，舍去；
②当时，，
③当时，由正方形性质可得：，
∴，
即是等腰直角三角形，
设，
在中，由勾股定理可得：，
∴，解得（舍去）；
∴；
综上所述，的长为4或；
（3）解：如图，过E作于点M，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当时，点E与点C重合，舍去；②当时，；③当时，由正方形性质可得：，则是等腰直角三角形，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过E作于点M，根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，设，则，，根据正方形性质可得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当时，点E与点C重合，舍去；
②当时，，
③当时，由正方形性质可得：，
∴，
即是等腰直角三角形，
设，
在中，由勾股定理可得：，
∴，解得（舍去）；
∴；
综上所述，的长为4或；
（3）解：如图，过E作于点M，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴．
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