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广西南宁市新民中学2023-2024学年八年级下学期期中质量监测数学试题
1．（2024八下·南宁期中）下列各式是二次根式的是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A选项，是二次根式，当选；
B选项，不是二次根式，不选；
C选项，1是整数，不是二次根式，不选；
D选项，是三次根式，不选；
故答案为∶A．
【分析】本题考查二次根式的判断。根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，然后进行判断即可．
2．（2024八下·南宁期中）下列图象能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
B．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
C．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．
故选：D．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·南宁期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，4，6 D．4，5，8
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
B、，是勾股数，符合题意，选项正确；
C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键。勾股数简单记忆就是“勾三股四玄五”，即三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行计算判断即可．
4．（2024八下·南宁期中）某次体育测试中，5名男生抛绣球的分数分别为，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中是出现次数最多的数值，
∴这组数据的众数是．
故答案为：C．
【分析】本题考查了众数的定义。众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题中的数据中，19出现了两次，其他的数据只出现1次，因此19出现的次数最多，就是众数。
5．（2024八下·南宁期中）一次函数的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在中，当时，，
∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为。
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标。当一次函数与y轴相交时，交点的横坐标为0，即将代入一次函数中求出y的值即可得到答案．
6．（2024八下·南宁期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴结论一定正确的是选项B，选项A，C和D结论不一定正确，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，结合图形，对每个选项一一判断即可。
7．（2024八下·南宁期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数不一样，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查的是同类二次根式。如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。然后根据定义，分别分析四个选项即可。
8．（2024八下·南宁期中）把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向下平移1个单位长度后，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查一次函数平移问题，熟记“左加右减，上加下减”，然后进行分析即可得出本题答案．
9．（2024八下·南宁期中）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试得分分别为85分，90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：4+6=10，4÷10=40%，6÷10=60%，
小王的成绩是85×40%+90×60%=88（分）。
故答案为：D．
【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题关键。首先“ 依次按照的比例确定成绩 ”，即笔试分数取40%，面试分数取60%，最后加权平均进行计算即可。
10．（2024八下·南宁期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米，
AC==10米．
因此小鸟至少飞行10米。
故答案为：C．
【分析】本题根据勾股定理解答即可． 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，因为“两点之间，线段最短”，因此小鸟最少飞行的距离就是两棵树梢连线的直线距离，此时连线之后发现可以求出AB，BC已知，利用勾股定理列式代入计算即可。
11．（2024八下·南宁期中）张阿姨准备建造一个矩形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
所以．
故选B．
【分析】根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式．
12．（2024八下·南宁期中）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．18
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，于，设与交于点，与交于点，
∴，
∵四边形、是正方形，点位于正方形对角线的交点，
∴，是等腰直角三角形，
∴四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，
∵正方形、、的边长分别为2、4、6，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，过点作于，于，设与交于点，与交于点，先证出四边形是正方形，，得，然后证出，得，从而可得每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，据此即可求解.
13．（2024八下·南宁期中）若是二次根式，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：依题意得：，解得．
因此x的取值范围是。
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质。式子叫二次根式，并且二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。因此列式，计算即可。
14．（2024八下·南宁期中）某校有甲、乙两支女子排球队，每支球队队员平均身高均为米，方差分别为，则身高较整齐的队是　 　 队．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小.
15．（2024八下·南宁期中）如图，在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
则，
所以，
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键。根据平行四边形的对角相等的性质得到，而互为邻补角，最后根据邻补角的定义计算即可．
16．（2024八下·南宁期中）如图，数轴上的点表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可以求出圆弧半径为，
即“1”到A的距离是，
∴点表示的实数为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴。观察图象可以发现，A点是“以数字1为圆心、直角三角形的斜边为半径”画的圆弧，与数轴的交点即为A点，因此“1”到A的距离就是直角三角形的斜边的长度，此时可以利用勾股定理求出“1”到A的距离是，然后再加上1就是A点表示的实数。
17．（2024八下·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴根据函数图象可知，不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当直线在x轴上方时，有，结合图象即可求出答案.
18．（2024八下·南宁期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为　 　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
，
当时，则最小，得到最小值，
，
∴是等腰直角三角形，
，即，
，
，
故答案为：．
【分析】本题连接之后，利用三角形中位线定理，可确定，因此GH的最小值就是AF的最小值，因此只有当时，最小，求出最小值即可求出GH的最小值．
19．（2024八下·南宁期中）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，利用“-1”的奇次幂、算术平方根、立方根的定义、绝对值的意义进行化简，最后从左往右依次计算即可。
20．（2024八下·南宁期中）已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求的取值范围；
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
【答案】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限∴，
解得：，
即的取值范围是。
（2）解：将点代入函数解析式中，
得：，解得：，
∴正比例函数解析式为．
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可以判断出函数的图象，进一步确定，然后即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，利用待定系数法列出解析式，然后求解即可。
（1）解：∵函数图象经过第二、四象限
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
21．（2024八下·南宁期中）如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）如图所示，即为所求。
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以B、D点为圆心，大于长为半径画弧，在线段BD的两侧分别有交点，然后连接这两个交点并进行延长，与AD交E点、与BC交F点、与BD交O点，即为所求；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，最后利用AAS证明出，从而得到．
（1）如图所示，即为所求；
（2）∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
22．（2024八下·南宁期中）年月日时分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：，，，，，，，，，，，，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是______分；
（3）求扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数；
（4）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，请你估计该校名学生中获奖的学生人数．
【答案】（1）
（2）
（3）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为：．
（4）解：．
∴估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：从图上可以看出，D组的人数是15人，扇形图中占比是30%，
因此本次随机抽查的学生人数是，
组人数为：．
补全图形如图：
（2）解：把抽取的七年级的部分同学的成绩从小到大排列，
排在中间的两个数分别是，，故中位数为：．
故答案为：（1）50；（2）77.
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体．熟练运用图表的数据是解题的关键．
（1）可以从来进行数据图片，D组频数是，它在扇形统计图中占比是．用组频数除以它在扇形图的占比即可求解；
（2）根据中位数定义，即将这组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数；如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数。据此列式计算即可；
（3）组频数为5，占比为，即组在扇形统计图占同样比例；
（4）组频数为8，在样本中占比为，根据样本估计总体的方法即可求解。
（1）解：本次随机抽查的学生人数是，组人数为：．
故答案为：．
补全图形如图：
（2）解：把抽取的七年级的部分同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数为：．
故答案为：．
（3）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为：．
（4）解：．
故估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为．
23．（2024八下·南宁期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设米，则米，根据边之间的关系可得米，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
24．（2024八下·南宁期中）在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为．
（1）如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
（2）如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
（3）小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值．
【答案】（1）解：当点在上运动时，，。
（2）解：在中，，
，
过作，
由，得，
解得
，的取值范围。
（3）解：如图所示，
Ⅰ．当在上，，则
Ⅱ．当在上，，则，
综上，x的值为2或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）的面积，高AB不变是4，底BE是x，利用三角形面积公式列式即可，最后写出x的取值范围；
（2）先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据（2）中的解析式画出函数图象，然后分当在上和在上两种情况，分别计算即可。
（1）解：当点在上运动时，，；
（2）解：在中，，
，
过作，
由，得，
解得
，的取值范围；
（3）解：如图所示，
Ⅰ．当在上，，则
Ⅱ．当在上，，则，
综上，x的值为2或．
25．（2024八下·南宁期中）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有、 两种品牌的电车可供选择，若购买辆品牌电车和辆品牌电车，共需花费万元；若购买辆品牌电车和辆品牌电车，共需花费万元．
（1）求每辆品牌电车和每辆品牌电车的价格；
（2）若出租车公司需要购买、两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买品牌电车数量不超过购买品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买品牌电车和品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？
【答案】（1）解：设品牌电车元/辆，品牌电车元/辆，根据题意，
由题意可得，，
解得，
答：品牌电车元/辆，品牌电车元/辆
（2）解：设应品牌电车辆，则应购买品牌电车盏，根据题意，
解得：
设购买电车的总费用为元，
则
∵，
∴当时，取得最小值，最小值为（万元）
∴购买品牌电车（辆）
答：为使购买电车的总费用最低，购买辆品牌电车，辆品牌电车；购买电车的总费用最低为万元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设品牌电车元/辆，品牌电车元/辆，根据题意，列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设应品牌电车辆，则应购买品牌电车盏，根据题意，列出不等式求出的取值范围，设购买花灯的总费用为元，求出与的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案.
26．（2024八下·南宁期中）人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）如图1，连接，直接写出；
（2）在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长．
【答案】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）依据折叠的性质可得到是等边三角形，进而得到的度数，再根据折叠的性质即可求出的度数；
（2）根据是等腰三角形，利用三线合一即可得到，再判定四边形是平行四边形即可；
（3）利用HL可以证明，从而得到，再根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出，最后根据勾股定理即可求出．
（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，
，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
1 / 1广西南宁市新民中学2023-2024学年八年级下学期期中质量监测数学试题
1．（2024八下·南宁期中）下列各式是二次根式的是（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2024八下·南宁期中）下列图象能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·南宁期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，4，6 D．4，5，8
4．（2024八下·南宁期中）某次体育测试中，5名男生抛绣球的分数分别为，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·南宁期中）一次函数的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·南宁期中）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·南宁期中）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·南宁期中）把直线向下平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·南宁期中）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试得分分别为85分，90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
10．（2024八下·南宁期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
11．（2024八下·南宁期中）张阿姨准备建造一个矩形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八下·南宁期中）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．18
13．（2024八下·南宁期中）若是二次根式，则x的取值范围是　 　．
14．（2024八下·南宁期中）某校有甲、乙两支女子排球队，每支球队队员平均身高均为米，方差分别为，则身高较整齐的队是　 　 队．
15．（2024八下·南宁期中）如图，在平行四边形中，，则　 　．
16．（2024八下·南宁期中）如图，数轴上的点表示的实数是　 　．
17．（2024八下·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为　 　．
18．（2024八下·南宁期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为　 　
19．（2024八下·南宁期中）计算：．
20．（2024八下·南宁期中）已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求的取值范围；
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
21．（2024八下·南宁期中）如图，在中，是对角线．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交边于点E，交边于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
22．（2024八下·南宁期中）年月日时分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：，，，，，，，，，，，，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是______分；
（3）求扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数；
（4）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，请你估计该校名学生中获奖的学生人数．
23．（2024八下·南宁期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：；
（2）求的长．
24．（2024八下·南宁期中）在“动点与函数”的活动课上，老师提出了如下问题：在矩形中，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为．
（1）如图1，点在上运动时，请直接写出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
（2）如图2，点在上运动时，请求出关于的函数表达式以及自变量的取值范围；
（3）小邑学习函数时，常常利用“数形结合”的数学思想，因此在这道题的基础上，他想在图3中画出关于的函数图象，请你按照小邑的思路画出图象，并结合函数图象，求出的面积为4时的值．
25．（2024八下·南宁期中）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有、 两种品牌的电车可供选择，若购买辆品牌电车和辆品牌电车，共需花费万元；若购买辆品牌电车和辆品牌电车，共需花费万元．
（1）求每辆品牌电车和每辆品牌电车的价格；
（2）若出租车公司需要购买、两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买品牌电车数量不超过购买品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买品牌电车和品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？
26．（2024八下·南宁期中）人教版数学八年级下册教材的数学活动——折纸．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）如图1，连接，直接写出；
（2）在图1基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点，将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）将图1中的矩形纸片换成正方形纸片，按图1步骤折叠，并延长交于点，连接得到图3，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A选项，是二次根式，当选；
B选项，不是二次根式，不选；
C选项，1是整数，不是二次根式，不选；
D选项，是三次根式，不选；
故答案为∶A．
【分析】本题考查二次根式的判断。根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，然后进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
B．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
C．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．
故选：D．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
B、，是勾股数，符合题意，选项正确；
C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误；
故答案为：B．
【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键。勾股数简单记忆就是“勾三股四玄五”，即三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行计算判断即可．
4．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据中是出现次数最多的数值，
∴这组数据的众数是．
故答案为：C．
【分析】本题考查了众数的定义。众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题中的数据中，19出现了两次，其他的数据只出现1次，因此19出现的次数最多，就是众数。
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在中，当时，，
∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为。
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标。当一次函数与y轴相交时，交点的横坐标为0，即将代入一次函数中求出y的值即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴结论一定正确的是选项B，选项A，C和D结论不一定正确，
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质，结合图形，对每个选项一一判断即可。
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数不一样，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查的是同类二次根式。如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。然后根据定义，分别分析四个选项即可。
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向下平移1个单位长度后，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查一次函数平移问题，熟记“左加右减，上加下减”，然后进行分析即可得出本题答案．
9．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：4+6=10，4÷10=40%，6÷10=60%，
小王的成绩是85×40%+90×60%=88（分）。
故答案为：D．
【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题关键。首先“ 依次按照的比例确定成绩 ”，即笔试分数取40%，面试分数取60%，最后加权平均进行计算即可。
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米，
AC==10米．
因此小鸟至少飞行10米。
故答案为：C．
【分析】本题根据勾股定理解答即可． 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，因为“两点之间，线段最短”，因此小鸟最少飞行的距离就是两棵树梢连线的直线距离，此时连线之后发现可以求出AB，BC已知，利用勾股定理列式代入计算即可。
11．【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
所以．
故选B．
【分析】根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式．
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，于，设与交于点，与交于点，
∴，
∵四边形、是正方形，点位于正方形对角线的交点，
∴，是等腰直角三角形，
∴四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，
∵正方形、、的边长分别为2、4、6，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，过点作于，于，设与交于点，与交于点，先证出四边形是正方形，，得，然后证出，得，从而可得每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，据此即可求解.
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：依题意得：，解得．
因此x的取值范围是。
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质。式子叫二次根式，并且二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。因此列式，计算即可。
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小.
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
则，
所以，
故答案为：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键。根据平行四边形的对角相等的性质得到，而互为邻补角，最后根据邻补角的定义计算即可．
16．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可以求出圆弧半径为，
即“1”到A的距离是，
∴点表示的实数为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴。观察图象可以发现，A点是“以数字1为圆心、直角三角形的斜边为半径”画的圆弧，与数轴的交点即为A点，因此“1”到A的距离就是直角三角形的斜边的长度，此时可以利用勾股定理求出“1”到A的距离是，然后再加上1就是A点表示的实数。
17．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴根据函数图象可知，不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当直线在x轴上方时，有，结合图象即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵四边形是菱形，
，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
，
当时，则最小，得到最小值，
，
∴是等腰直角三角形，
，即，
，
，
故答案为：．
【分析】本题连接之后，利用三角形中位线定理，可确定，因此GH的最小值就是AF的最小值，因此只有当时，最小，求出最小值即可求出GH的最小值．
19．【答案】解：原式
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，利用“-1”的奇次幂、算术平方根、立方根的定义、绝对值的意义进行化简，最后从左往右依次计算即可。
20．【答案】（1）解：∵函数图象经过第二、四象限∴，
解得：，
即的取值范围是。
（2）解：将点代入函数解析式中，
得：，解得：，
∴正比例函数解析式为．
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可以判断出函数的图象，进一步确定，然后即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，利用待定系数法列出解析式，然后求解即可。
（1）解：∵函数图象经过第二、四象限
∴，
解得：，
即的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
21．【答案】（1）如图所示，即为所求。
（2）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以B、D点为圆心，大于长为半径画弧，在线段BD的两侧分别有交点，然后连接这两个交点并进行延长，与AD交E点、与BC交F点、与BD交O点，即为所求；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，最后利用AAS证明出，从而得到．
（1）如图所示，即为所求；
（2）∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为：．
（4）解：．
∴估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：从图上可以看出，D组的人数是15人，扇形图中占比是30%，
因此本次随机抽查的学生人数是，
组人数为：．
补全图形如图：
（2）解：把抽取的七年级的部分同学的成绩从小到大排列，
排在中间的两个数分别是，，故中位数为：．
故答案为：（1）50；（2）77.
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体．熟练运用图表的数据是解题的关键．
（1）可以从来进行数据图片，D组频数是，它在扇形统计图中占比是．用组频数除以它在扇形图的占比即可求解；
（2）根据中位数定义，即将这组数据从小到大或者从大到小排列，中间的数就是中位数；如果中间有两个数，那么中位数就是这两个数的平均数。据此列式计算即可；
（3）组频数为5，占比为，即组在扇形统计图占同样比例；
（4）组频数为8，在样本中占比为，根据样本估计总体的方法即可求解。
（1）解：本次随机抽查的学生人数是，组人数为：．
故答案为：．
补全图形如图：
（2）解：把抽取的七年级的部分同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数为：．
故答案为：．
（3）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为：．
（4）解：．
故估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为．
23．【答案】（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设米，则米，根据边之间的关系可得米，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）解：当点在上运动时，，。
（2）解：在中，，
，
过作，
由，得，
解得
，的取值范围。
（3）解：如图所示，
Ⅰ．当在上，，则
Ⅱ．当在上，，则，
综上，x的值为2或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）的面积，高AB不变是4，底BE是x，利用三角形面积公式列式即可，最后写出x的取值范围；
（2）先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据（2）中的解析式画出函数图象，然后分当在上和在上两种情况，分别计算即可。
（1）解：当点在上运动时，，；
（2）解：在中，，
，
过作，
由，得，
解得
，的取值范围；
（3）解：如图所示，
Ⅰ．当在上，，则
Ⅱ．当在上，，则，
综上，x的值为2或．
25．【答案】（1）解：设品牌电车元/辆，品牌电车元/辆，根据题意，
由题意可得，，
解得，
答：品牌电车元/辆，品牌电车元/辆
（2）解：设应品牌电车辆，则应购买品牌电车盏，根据题意，
解得：
设购买电车的总费用为元，
则
∵，
∴当时，取得最小值，最小值为（万元）
∴购买品牌电车（辆）
答：为使购买电车的总费用最低，购买辆品牌电车，辆品牌电车；购买电车的总费用最低为万元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设品牌电车元/辆，品牌电车元/辆，根据题意，列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设应品牌电车辆，则应购买品牌电车盏，根据题意，列出不等式求出的取值范围，设购买花灯的总费用为元，求出与的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案.
26．【答案】（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）依据折叠的性质可得到是等边三角形，进而得到的度数，再根据折叠的性质即可求出的度数；
（2）根据是等腰三角形，利用三线合一即可得到，再判定四边形是平行四边形即可；
（3）利用HL可以证明，从而得到，再根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出，最后根据勾股定理即可求出．
（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
垂直平分，
，
又再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
（3）解：四边形是正方形，
，，
由折叠得，，，
，，
，
，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
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