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10.2 实 数
第10章 数的开方
1.了解实数的意义，能按要求对实数进行分类.(重点)
2.了解实数范围内相关概念的意义.(重点)
3.了解实数与数轴上点的一一对应的关系.能用数轴上的点表示无理数.(难点)
学习目标
（1）用计算器求 ；
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274···
用计算机计算，你可能会大吃一惊：
那么， 是怎样的数呢？
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：
请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论.
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于 2，也就是说， 不是一个有理数.
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.
类似地， 、圆周率 等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.
定义：无限不循环的小数叫做无理数.
无理数的概念
1
例1 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：
无理数是：
解：
典例精析
1.圆周率 及一些含有 的数
2.开方开不尽的数，如：
3.有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
无理数的特征：
注意：带根号的数不一定是无理数
判定一个数是不是无理数：
(1)看它是不是无限不循环小数；
(2)所有的有理数都能写成分数形式，无理数则不能.
归纳总结
具体从以下几方面来判断：
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) π 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为 0）的积、商一定是无理数.
有理数和无理数统称为实数.
按概念分类：
无理数：
无限不循环小数
有理数：可以写成
有限小数或无限循环小数
实 数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果；
有规律但不循环的无限小数；
……
化简后含有 π 的数；
实数的概念及分类
2
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
0
正实数
1
负实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
=？
1
1
将两个边长为 1 的正方形剪拼成一个大正方形.
你能在数轴上找到表示 的点吗？
a
探究：
实数与数轴上点的关系
3
0
1
-1
在数轴上找表示 的点
数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.
即：实数与数轴上的点一一对应.
归纳总结
例2 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.
（用“＜”号连接）
解: 如图所示.
－2
1.5
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
例3 试比较 与 π 的大小关系.
解：用计算器求得
而
这样，容易判断
实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行.
例4 计算：－. (结果精确到0.01)
解 ≈0.1671.414 = 1.247，于是
取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位.
－
1.571－1.247
= 0.324
0.32
还有其他的方法吗？
例4 计算：－. (结果精确到0.01)
分析：我们也可以先将原式化简，再计算.
由于 ，所以
原式 = － = － + .
由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应
一、判断
1.实数不是有理数就是无理数.（ ）
2.无理数都是无限不循环小数.（ ）
3.无理数都是无限小数.（ ）
4.带根号的数都是无理数.（ ）
×
5.无理数一定都带根号.（ ）
6.两个无理数之积不一定是无理数.（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数.（ ）
8.数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）
×
×
2. 的相反数是 　，绝对值是 .　　　
3.绝对值等于 的数是 ， 的平方是 .
二、填空与选择
1.正实数的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 　 .
它本身
0
它的相反数
4.比较大小：－7 .　
＜
5.一个数的绝对值是 ，则这个数是 .
6.（金华·中考）在 －3，－ ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）
A. －3 B.－ C. －1 D. 0
【解析】因为－3，－ ，－1为负数，都小于 0，所以 0 最大.
答案：D
D
7.如图，在数轴上点 A 和点 B 之间的整数是 ．
【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3，在 与 之间
的整数是 2.
答案：2
A
B
2

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