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小结与复习
第10章 数的开方
一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质
概 念 表示 主要性质
平方根
算术 平方根
立方根
若 ，则 x 叫做 a 的平方根.
正数有两个平方根，互为相反数
0 的平方根是 0.负数没有平方根.
若 则x 的非负数值叫做 a 的算术平方根.
非负性：当 a≥0 时， ≥0.
若 ，则 x叫做的立方根.
正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0 的立方根是 0.
联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有；(3)0 的平方根、算术平方根均为 　.
平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ；
(3)0 的平方根和立方根都是 0.　
非负数
0
逆
二、开平方与开立方
求一个非负数 a 的　 　的运算，叫做开平方.
其中 a 叫做　 　.
求一个数 a 的　 　的运算，叫做开立方．其中 a 叫做　 　.
开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算.
平方根
被开方数
立方根
被开方数
平方
立方
[点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；
(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．
1. 用计算器求一个正数的算术平方根
三、用计算器求算术平方根、立方根
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数 a 的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 .
SHIFT
a
=
a
=
用计算器求一个正数 a 的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 .
四、实数
1.实数的分类
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数
……
化简后含有 的数
按概念分：
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
0
正实数
负实数
2. 实数与数轴
(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.
3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用.
考点一 平方根、算术平方根及立方根
例1 已知一个正数的两个平方根分别是 a + 3 和 2a - 18，求这个正数.
【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于 a 的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.
解：根据平方根的性质，有 a + 3 + 2a - 18 = 0，解得 a = 5，a + 3 = 8，8 = 64，所以这个正数是 64.
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.
方法总结
2. 的平方根是（ ）
A. 4 B. 2 C. ±2 D. ±4
1.下列说法正确的有（ ）
① -64 的立方根是 -4； ② 49 的算术平方根是±7；
③ 的立方根是 ； ④ 的平方根是 .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
C
针对训练
例2 若 a，b 为实数且 + |b - 1| = 0，则(ab)2025 = .
【解析】先根据非负数的性质求出 a，b 的值，再根据乘方的定义求出 (ab)2025 的值.
∵ + |b - 1| = 0，
∴ a + 1 = 0，且 b - 1 = 0.
∴ a = -1 ，b = 1.
∴ (ab)2025 = (-1×1)2025 = (-1)2025 = -1. 故填 -1.
-1
3.若 与 (b - 27)2 互为相反数，则 .
-5
初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0，| a |≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.
方法总结
针对训练
例3 在实数 ， ， 中，分数有 （ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
C
考点二 无理数的识别
【解析】 是分数； 虽然含有分母 2，但它的分子是无理数 ，所以是无理数；同理 也是无理数. 故选 C.
4 .在实数 π， ，0，-1 中，无理数是（ ）
A. π B. C. 0 D. -1
A
针对训练
例4 如图，数轴上的点 A，B 分别对应实数 a，b，下列结论正确的是（ ）
A. a＞b B. | a |＞| b | C. -a＜b D. a + b＜0
b
a
0
B
A
C
【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故 A 不正确；根据点 A，B 与原点的距离知 | a |＜| b |，B 不正确；-a＞0，根据 | a |＜| b |，知-a＜b，C 正确，D不正确.故选 C.
考点三 实数与数轴上的点的关系
5. 若 | a | = -a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧
C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧
B
针对训练
例5 估计 的值在（ ）
A. 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间
C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间
B
考点四 实数的运算与大小比较
【解析】∵4＜6＜9，
∴
因此 的值在 3 到 4 之间. 故选 B.
像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.
方法总结
6. 满足 的整数 x 是 .
8. 规定用符号 [ x ] 表示一个实数 x 的整数部分，例如：[3.14] = 3， = 0. 按此规定 [ ] 的值为 .
7. 比较大小： .
＜
-1，0，1
4
针对训练
例6 计算 .
【解析】对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方.
故填
9.计算 .
针对训练
考点五 本章数学思想和解题方法
分类讨论思想
例7 a 的算术平方根是 3，b 是 16 的平方根，
则 a + b = ．
13 或 5
【解析】a 的算术平方根是 3，可知 a = 9；16 的平方根有两个，为±4.由此可以确定 a，b 的值，然后代入计算即可.当 a = 9，b = 4 时，a + b =13；当 a = 9，b = -4 时，a + b = 5.故答案为 13 或 5.
对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.
方法总结
10.若 a 是 16 的平方根，b 是 -27 的立方根，c 的绝对值为 2，求 a - b + c 的值.
解：由题意可知 a = 4 或 -4，b = -3，c = 2 或 -2.
（1）当 a = 4，b = -3，c = 2 时，a - b + c = 9；
（2）当 a = -4，b = -3，c = 2 时，a - b + c = 1；
（3）当 a = 4，b = -3，c = -2 时，a - b + c = 5；
（4）当 a = -4，b = -3，c = -2 时，a - b + c = -3.
综上所述，a - b + c 的值为 9 或 1 或 5 或 -3.
针对训练
数形结合思想
例8 如图，数轴上 A，B 两点对应的实数分别是 1 和 ，若点 A 关于 B 点的对称点为点 C，则点 C 所对应的实数为 ．
【解析】设点 C 所对应的实数是 x．根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．设点 C 所对应的实数是 x，则有 x - = -1，解得 x = 2 -1．故答案为 2 -1．
数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.
方法总结
11.数轴上 A，B 两点对应的实数分别是 和 2，若点 A 关于点 B 的对称点为点 C，则点 C 所对应的实数为 .
针对训练
平方根
实 数
数的开方
性质
有理数
整数
无理数
立方根
性质
分数
平方根
算术平方根
立方根

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