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10.1 平方根与立方根
第10章 数的开方
1.平方根
学习目标
1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.
2. 会求某些数的平方根、算术平方根.
3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.
思考1：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
应取 5 dm，
因为 52 = 25.
正方形的面积 1 9 16 25 36
边长
1
3
4
5
6
思考2：若正方形的面积如下，请填表：
你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？
都是已知一个正数的平方，求这个正数.
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
5 的平方等于 25，所以 5 是 25 的一个平方根.
25 的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于 25？
概念
举例
平方根
1
又因为 ( -5 )2 = 25，
所以 -5 也是 25 的一个平方根.
这就是说，5 与 -5 都是 25 的平方根.
求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
例1 求100 的平方根.
解：因为 102 = 100，(－10)2 = 100，除了 10 和
－10 以外，任何数的平方都不等于100，
典例精析
也可以说，100 的平方根是 ±10.
所以 100 的平方根是 10 和 －10.
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3. -4 有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
通过这些题目的解答，回答下列问题，看看你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，
所以负数没有平方根.
想一想
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0 的平方根还是 0.
3. 负数没有平方根.
要点归纳
平方根的性质：
概念
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根叫做 a 的算术平方根. 特别的，0 的算术平方根是 0.
算术平方根
2
根号
被开方数
（a 是非负数，a≥0）
特殊：0 的算术平方根是 0. 记作 .
a (a≥0) 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，另一个平方根是它的相反数，即 ，因此正数 a 的平方根可以记作 ，其中 a 叫做被开方数.
记法
知识要点
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
x x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
这是什么运算
？
平方运算
x2 x
问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？
开平方运算
3
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
平方与开平方有什么关系？
平方与开平方互为逆运算
思考：
例2 将下列各数开平方：
（1）49； （2） .
解：(1) 由于 72 = 49， = 7 ，
因此 49 的平方根为 ± = ±7.
典例精析
(2) ______________________________
__________________________________.
由于 = ， = ，
因此 的平方根为 ± = ±.
仿照小题(1)
的解答过程，写出小题(2)的解答.
计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入： .
问题2：将 2 025 开平方运算的结果是多少？如何计算呢？
对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.
被开方数
EXE
例3 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529 ； （2）44.81（精确到 0.01）．
说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.
用计算器求算术平方根
3
解：(1) 本小题的按键顺序是：
显示结果为 23，所以 529 的算术平方根为 = 23.
5
2
9
EXE
，
显示结果为 6.694 027 188 ，要求精确到 0.01，可得 ≈ 6.69.
(2) 本小题的按键顺序是：
4
4
·
EXE
，
8
1
（1）529 ； （2）44.81（精确到 0.01）．
平方根
平方根的概念和性质
用计算器求一个数的算术平方根
算术平方根的概念和性质
1.填一填
（1）9 的算术平方根是 ；
（2）0.01 的算术平方是 ；
（3）8 100的算术平方是 ；
（4）10 的算术平方根是 ；
（5）的算式平方根是 ；
（6）(-4)2 的算术平方根是 .
3
0.1
90
4
2.判断
（1）5 是 25 的算术平方根；
（2）-6 是 36 的算术平方根；
（3）0 的算术平方根是 0；
（4）0.01 是 0.1 的算术平方根；
（5）-5 是 -25 的算术平方根.
正数的算术平方根是____数，0 的算术平方根
是____，算术平方根等于它本身的数是 ；
0，1
0
正
5.判断 在哪两个整数之间？
4.填空：
3.你知道下列各式中字母 x 的取值范围吗？
因为 <<，
所以4<<5，所以 在 4 和 5 之间.

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