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浙江省金华市金东区2023-2024学年浙教版八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·金东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
2．（2024八下·金东期末）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．2
3．（2024八下·金东期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如下图是古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
4．（2024八下·金东期末）将一元二次方程配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·金东期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用下图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（　　）.
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
6．（2024八下·金东期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
7．（2024八下·金东期末）一组数据为，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？设矩形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
9．（2024八下·金东期末）学习了“三角形中位线定理”后，在“中，D，E分别是边，上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论，其中正确的是（　　）.
①若D是的中点，，则E是的中点.
②若D是的中点，，则E是的中点.
③若，，则D，E分别是，的中点.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（　　）.
A．或 B．
C．或 D．或
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·金东期末）化简：　 　．
12．（2024八下·金东期末）若一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，则a的值为　 　.
13．（2024八下·金东期末）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
14．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
15．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　.
16．（2024八下·金东期末）如图，过内的点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H.连结AF，AG，FG.已知与的面积分别为m，n.
（1）若点P是的对称中心，则　 　；
（2）的面积为　 　（用含m、n的代数式表示）.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024八下·金东期末）计算：.
18．（2024八下·金东期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
19．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形.
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上.
20．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC.
（1）求证：.
（2）若，，求的度数.
21．（2024八下·金东期末）（为了进一步加强中小学生对民族文化的认同感，光明中学组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86.
【整理数据】：
年级
七年级 2 m 4 1
八年级 1 3 5 1
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 80 a 81 71.6
八年级 80 85 b 59.8
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数.
（3）你认为七年级与八年级哪个年级成绩更优秀？请说明理由.
22．（2024八下·金东期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月可以多售出5件.
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润.
23．（2024八下·金东期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）.
（1）求m的值和一次函数的解析式.
（2）求点C的坐标.
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长.
24．（2024八下·金东期末）如下图，在矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线AP的对称（点C，D的对称点分别为，）.
（1）如下图，当点在AB的延长线上时，连结，求的长.
（2）如下图，当点P与点C重合时，连结，、交AB分别于点E、F.
①求证：；
②求EF的长.
（3）当直线经过点B时，求CP的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是中心对称图形，其余均不为中心对称图形，
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形），进而对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∴x的值可以是2，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解。
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵正八边形的内角和为：
（8-2）×180°
=6×180°
=1080°，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080°，
故答案为：A．
【分析】根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可。
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将一元二次方程配方得
，即，
故答案为：B
【分析】根据配方法解一元二次方程结合题意配方即可求解。
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形，
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定即可解决问题。
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行，
故答案为：A．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证；根据命题“同旁内角互补，两直线平行”，可先假设“两直线不平行”可求解．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据的平均数为：，
新数据的平均数为：，
∴平均数没有发生变化，此选项不符合题意；
B、原数据的众数为：，
新数据的众数为：，
∴众数没有发生变化，此选项不符合题意；
C、原数据的中位数为：，
新数据的中位数为：，
∴中位数没有发生变化，此选项不符合题意；
D、原数据的方差为：，
新数据的方差为：，
2≠1.6，
∴发生变化的是方差，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据平均数的计算公式求出新旧数据的平均数，比较大小可判断求解；
B、根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意求出新旧数据的众数，比较大小可判断求解；
C、根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意求出新旧数据的中位数，比较大小可判断求解；
D、根据方差的定义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”并结合题意求出新旧数据的方差，比较大小可判断求解.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，由题意得，
故答案为：A
【分析】设矩形门宽为x尺，根据“它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①取BC的中点F，连接DF，
∵D为AB的中点，F为BC的中点
∴DF||AC，AC=2DF
又∵DE⊥BC
∴DECF为平行四边形
∴DF=EC
∵AC=2DF=EC+AE=DF+AE
∴EC=AE
∴E是AC的中点，故①正确；
②如图，G为AC的中点，此时DG=BC，同时在AG上可能找到点E，使 ，E明显不是AC的中点，故②错误；
③延长ED至点F，使DF=DE，连接BF
∴EF=2DE
∵DE=BC
∴BC=2DE
∴EF=BC
又∵DE||BC
∴BCEF为平行四边形
∴BF=CE，BF||CE
∴∠F=∠DEA
又∵∠BDF=∠ADE
∴△DBF≌△DAE(ASA)
∴AD=BD，BF=AE
∴AE=CE
故D、E分别为AB、AC的中点，故③正确；
综上所述，①③正确；
故答案：B.
【分析】对于①，取BC的中点，得中位线DF，AC=2DF，同时得平行四边形DECF，得DF=EC，即可证明E为AC的中点；对于②，除AC的中点外，还能找到点使DE=BC；对于③倍长ED，可构造平行四lp形BCEF，同时可证△DBF≌△DAE(ASA)，证明平行四边形的性质和全等三角形的性质，可得D、E分别为AB、AC的中点.
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
11．【答案】．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式，故答案为：．
【分析】按照二次根式的性质“及”进行化简即可.
12．【答案】3
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
解得；
故答案为：3
【分析】根据平均数的公式结合题意即可得到，进而即可得到a.
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据、都在反比例函数的图象上，可得，，把已知代入计算即可求解.
14．【答案】-9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据新定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式即可求出k.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；图形的剪拼
【解析】【解答】 解：设AB=b，则图1和图2中有关的线段长度如图所标注
∵矩形的面积与正方形的面积相等，
∴b（2+b）=4，
整理得，b2+2b-4=0，
解得：b=1±（负值舍去），
b=，
∴AB=，
故答案为：．
【分析】设AB的长度为b，然后根据图形的分与拼中的规律很容易用b表示图1及图2中各线段的长度，最后根据图1与图2的面积相等列方程即可解决。
16．【答案】（1）
（2）2m+n
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，点P是 ABCD的对称中心，连接AC、BD．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD．
∴AB∥FH∥CD，AD∥EG∥BC．
∴四边形AEPH为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形CFPG为平行四边形，四边形AEGD为平行四边形．
设四边形ABCD的面积为S，
∴S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG．
∵点P是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，
∴S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接BD，
由平行四边形的性质，点P在BD上．
由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形．
∵S△ABD=S△BEP+S AEPH+S△DHP=S△BCD=S△BPF+S CFPG+S△DPG，
又S△BEP=S△BFP，S△DHP=S△DPG，
∴S AEPH=S CFPG=n.
∵S ABCD=S△AFG+S△ABF+S△CFG+S△ADG，
又S△AFG=m，S△ABF=S ABFH，S△CFG=S CFPG=n，S△ADG=S AEGD，
∴S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD）．
又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，
∴S ABCD=m+n+S ABCD．
∴S ABCD=m+n.
∴S ABCD=2m+n.
故答案为：2m+n.
【分析】（1）依据题意，连接AC、BD，根据平行四边形的判定及性质得出四边形AEPH为平行四边形，再根据中心对称的性质设四边形ABCD的面积为S，可得S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG，又点P是平行四边形ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质及中心对称图形的性质得S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，则S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，从而即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质及判定可得由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，根据平行四边形的性质得S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD），结合图形可得又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，从而即可得出S ABCD=m+n，此题得解了.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简绝对值、进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．【答案】解：①当，，
∴，
∴
解得：；
②，；
∴
∴
解得：；
③，．
，原方程无解．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解.
19．【答案】解：如图，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】 利用方格纸的特点及平行四边形的对边平行且相等、菱形的四边相等、矩形的四个角都是直角，分别按题目要求作出图形即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
（2）解：设 ，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BCE=∠BAE=，
由 得 ，
解得
即
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）根据菱形性质得BA=BC，∠ABD=∠CBD，进而可依据“SAS”判定△ABE和△CBE全等，然后根据全等三角形的对应边相等可得出结论；
（2）由全等三角形的对应角相等得∠BCE=∠BAE，根据三角形外角性质得∠APC=∠ABC+∠BAP=45°+，根据（1）的结论及已知推出EC=PC，由等边对等角得，在△PEC中，根据三角形的内角和定理建立方程可求出的度数，从而此题得解.
21．【答案】（1）3；83；84.5
（2）解：
该校参加竞赛的八年级 320 名学生中， 竞赛成绩为“优秀”的人数是 192 人.
（3）解：八年级成绩更优秀
选择以下一个角度说明理由即可.
从众数来看： 因为 ， 所以八年级成绩更优秀；
从中位数来看， 七年级81 分处在年级中间水平； 从八年级来看， 81 分处在年级后半段， 所以八年级成绩更优秀；
从方差来看， 平均数相同的情况下， 八年级成绩更稳定， 所以八年级成绩更优秀.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得七年级成绩在的有75，79，79，
，
七年级成绩出现次数最多的是83，
，
八年级的中位数为第5位和第6位学生成绩的平均数，即，
故答案为：3；83；84.5.
【分析】（1）根据七年级数据即可得到m，再根据众数的定义（出现次数最多的数）可得到a，再根据中位数的定义的b，即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据众数、中位数、方差的定义结合题意进行数据分析即可求解。
22．【答案】（1）解： (元)
答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800 元.
（2）解： 由题意， 得 ，
即 ，
解得 ，
要更有利于减少库存，
.
答： 每件商品应降价 60 元
（3）解：由题意， 得 ，
解得 (舍)
月 60 件， 每件利润 80 元； 2 月 90 件， 每件利润 74 元； 3 月 135 件， 每件利润 65 元
总利润为： 元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
23．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k1=-2×（-2）=1×m，
解得：m=4，
∴A（1，4）
将点A（1，4）、B的坐标代入函数y2=k2x+b表达式得：，
解得
∴一次函数的表达式为：y2=2x+2；
（2）解：过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，
∵∠GBA+∠CBH=90°，∠CBH+∠HBC=90°，
∴∠GAB=∠HBC，
∵∠BGA=∠CHB=90°，AB=CB，
∴△BGA≌△CHB（AAS），
∴CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，
则点C（4，-5）；
（3）解：连结 MA、MC，如图， 过点M作 AD、AB的垂线， 垂足为E、F， 由题知ME=MF，可得MA平分
四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
点M在AC上
设直线AC为y=kx+n，
将A、C两点坐标分别代入得，
解得
∴直线AC为
解方程组
得
点M坐标为 ，
重叠正方形的边长为 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上任意两点的横纵坐标得乘积都相等可得k1=-2×（-2）=1×m，求解算出m的值，从而得到点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，由同角的余角相等得∠GAB=∠HBC，从而由AAS证明△BGA≌△CHB，得CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，即可求解；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后联立直线AC与反比例函数的解析式，求解得出点M的坐标，进而根据两点间的距离公式算出MC即可.
24．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
∴，
∵△ACD、△AC'D'关于直线AP对称，
∴AC=AC'=5，BC'=AC'-AB=1，
在Rt△BCC'中，
∴CC'的长为；
（2）解：①证明：∵△ACD、△AC'D关于直线AP对称，
∴AD=AD'，CD=CD'，∠ACD=∠ACE，∠ADC=∠AD'C=90°，
∴∠AD'F=∠ADF，
∵∠AD'F+∠FD'E=90°，∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠FD'E，
∵∠AFD=∠D'FE，
∴∠D'FE=∠ED'F；
②由 ， 得
设 ， 则 ，
由 ， 得 解得
（3）解：当点P在CD上时， 如图， 点B在C'D'的延长线上
由线段AD与线段AD'关于AP对称， 得
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BP=AB=4，
当点P在BC上时， 如图， 点B在C'D'上
由题意，
设 ， 则
由 得 ，
解得
综上， 的长为 或 .
【知识点】轴对称的性质；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）由对称，得AC=AC'=5，BC'=AC'-AB=1，再用勾股定理即可求出CC'的长；
（2）①由对称性质得AD=AD'，CD=CD'，∠ACD=∠ACE，∠ADC=∠AD'C=90°，由等边对等角得∠AD'F=∠ADF，由等角的余角相等得∠AFD=∠FD'E，再结合对顶角相等得∠D'FE=∠ED'F；
②由等角对等边得EF=ED'，由矩形性质及折叠性质得从而由AAS判断出△AD'E≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得ED'=EB，AE=CE，设BE=x，则CE=AE=4-x，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而即可得出EF的长；
（3）分类讨论：①当点P在CD上时， 如图， 点B在C'D'的延长线上，由轴对称的性质及平行线性质可推出∠2=∠3，由等角对等边得BP=AB=4，然后在Rt△BCP中，利用勾股定理可算出PC的长；②当点P在BC上时， 如图， 点B在C'D'上，设PC=x，根据勾股定理算出BD'的长，从而可算出BC'的长，再在Rt△BCP中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，综上即可得出答案.
1 / 1浙江省金华市金东区2023-2024学年浙教版八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·金东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意得是中心对称图形，其余均不为中心对称图形，
故答案为：C
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形），进而对选项逐一判断即可求解。
2．（2024八下·金东期末）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∴x的值可以是2，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解。
3．（2024八下·金东期末）中国古代建筑具有悠久的历史传统，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如下图是古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】 解：∵正八边形的内角和为：
（8-2）×180°
=6×180°
=1080°，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080°，
故答案为：A．
【分析】根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可。
4．（2024八下·金东期末）将一元二次方程配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将一元二次方程配方得
，即，
故答案为：B
【分析】根据配方法解一元二次方程结合题意配方即可求解。
5．（2024八下·金东期末）学习了特殊平行四边形之后，小颖同学用下图所示的方式表示了特殊四边形的关系，则图中的“M”表示（　　）.
A．四边形 B．平行四边形
C．正方形 D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：M表示既是矩形又是菱形，从而是正方形，
故答案为：C．
【分析】利用特殊四边形的判定即可解决问题。
6．（2024八下·金东期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补
C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行，
故答案为：A．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证；根据命题“同旁内角互补，两直线平行”，可先假设“两直线不平行”可求解．
7．（2024八下·金东期末）一组数据为，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、原数据的平均数为：，
新数据的平均数为：，
∴平均数没有发生变化，此选项不符合题意；
B、原数据的众数为：，
新数据的众数为：，
∴众数没有发生变化，此选项不符合题意；
C、原数据的中位数为：，
新数据的中位数为：，
∴中位数没有发生变化，此选项不符合题意；
D、原数据的方差为：，
新数据的方差为：，
2≠1.6，
∴发生变化的是方差，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据平均数的计算公式求出新旧数据的平均数，比较大小可判断求解；
B、根据众数的定义"众数是指一组数据中出现次数最多的数"并结合题意求出新旧数据的众数，比较大小可判断求解；
C、根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合题意求出新旧数据的中位数，比较大小可判断求解；
D、根据方差的定义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”并结合题意求出新旧数据的方差，比较大小可判断求解.
8．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈=10尺，1尺=10寸）？设矩形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，由题意得，
故答案为：A
【分析】设矩形门宽为x尺，根据“它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
9．（2024八下·金东期末）学习了“三角形中位线定理”后，在“中，D，E分别是边，上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论，其中正确的是（　　）.
①若D是的中点，，则E是的中点.
②若D是的中点，，则E是的中点.
③若，，则D，E分别是，的中点.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①取BC的中点F，连接DF，
∵D为AB的中点，F为BC的中点
∴DF||AC，AC=2DF
又∵DE⊥BC
∴DECF为平行四边形
∴DF=EC
∵AC=2DF=EC+AE=DF+AE
∴EC=AE
∴E是AC的中点，故①正确；
②如图，G为AC的中点，此时DG=BC，同时在AG上可能找到点E，使 ，E明显不是AC的中点，故②错误；
③延长ED至点F，使DF=DE，连接BF
∴EF=2DE
∵DE=BC
∴BC=2DE
∴EF=BC
又∵DE||BC
∴BCEF为平行四边形
∴BF=CE，BF||CE
∴∠F=∠DEA
又∵∠BDF=∠ADE
∴△DBF≌△DAE(ASA)
∴AD=BD，BF=AE
∴AE=CE
故D、E分别为AB、AC的中点，故③正确；
综上所述，①③正确；
故答案：B.
【分析】对于①，取BC的中点，得中位线DF，AC=2DF，同时得平行四边形DECF，得DF=EC，即可证明E为AC的中点；对于②，除AC的中点外，还能找到点使DE=BC；对于③倍长ED，可构造平行四lp形BCEF，同时可证△DBF≌△DAE(ASA)，证明平行四边形的性质和全等三角形的性质，可得D、E分别为AB、AC的中点.
10．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（　　）.
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·金东期末）化简：　 　．
【答案】．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式，故答案为：．
【分析】按照二次根式的性质“及”进行化简即可.
12．（2024八下·金东期末）若一组数据2，4，5，1，a的平均数为a，则a的值为　 　.
【答案】3
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
解得；
故答案为：3
【分析】根据平均数的公式结合题意即可得到，进而即可得到a.
13．（2024八下·金东期末）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据、都在反比例函数的图象上，可得，，把已知代入计算即可求解.
14．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
【答案】-9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据新定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式即可求出k.
15．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；图形的剪拼
【解析】【解答】 解：设AB=b，则图1和图2中有关的线段长度如图所标注
∵矩形的面积与正方形的面积相等，
∴b（2+b）=4，
整理得，b2+2b-4=0，
解得：b=1±（负值舍去），
b=，
∴AB=，
故答案为：．
【分析】设AB的长度为b，然后根据图形的分与拼中的规律很容易用b表示图1及图2中各线段的长度，最后根据图1与图2的面积相等列方程即可解决。
16．（2024八下·金东期末）如图，过内的点P作各边的平行线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H.连结AF，AG，FG.已知与的面积分别为m，n.
（1）若点P是的对称中心，则　 　；
（2）的面积为　 　（用含m、n的代数式表示）.
【答案】（1）
（2）2m+n
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，点P是 ABCD的对称中心，连接AC、BD．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD．
∴AB∥FH∥CD，AD∥EG∥BC．
∴四边形AEPH为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形CFPG为平行四边形，四边形AEGD为平行四边形．
设四边形ABCD的面积为S，
∴S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG．
∵点P是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，
∴S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接BD，
由平行四边形的性质，点P在BD上．
由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形．
∵S△ABD=S△BEP+S AEPH+S△DHP=S△BCD=S△BPF+S CFPG+S△DPG，
又S△BEP=S△BFP，S△DHP=S△DPG，
∴S AEPH=S CFPG=n.
∵S ABCD=S△AFG+S△ABF+S△CFG+S△ADG，
又S△AFG=m，S△ABF=S ABFH，S△CFG=S CFPG=n，S△ADG=S AEGD，
∴S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD）．
又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，
∴S ABCD=m+n+S ABCD．
∴S ABCD=m+n.
∴S ABCD=2m+n.
故答案为：2m+n.
【分析】（1）依据题意，连接AC、BD，根据平行四边形的判定及性质得出四边形AEPH为平行四边形，再根据中心对称的性质设四边形ABCD的面积为S，可得S△AFG=m=S ABCD-S△ABF-S△CFG-S△ADG，又点P是平行四边形ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质及中心对称图形的性质得S AEPH=S ABCD=S，S△ABF=S ABFH=S，S△CFG=S CFPG=S，S△ADG=S AEGD=S，则S AEPH=n=S，S△AFG=m=S-S-S-S=S，从而即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质及判定可得由题意得，四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，根据平行四边形的性质得S ABCD=m+S ABFH+n+S AEGD=m+n+（S ABFH+S AEGD），结合图形可得又S ABFH+S AEGD=S BEPF+S AEPH+S AEPH+S DHPG=S BEPF+S AEPH+S CFPG+S DHPG=S ABCD，从而即可得出S ABCD=m+n，此题得解了.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024八下·金东期末）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简绝对值、进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．（2024八下·金东期末）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．
【答案】解：①当，，
∴，
∴
解得：；
②，；
∴
∴
解得：；
③，．
，原方程无解．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解.
19．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形.
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上.
【答案】解：如图，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】 利用方格纸的特点及平行四边形的对边平行且相等、菱形的四边相等、矩形的四个角都是直角，分别按题目要求作出图形即可.
20．（2024八下·金东期末）如下图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC.
（1）求证：.
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
（2）解：设 ，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BCE=∠BAE=，
由 得 ，
解得
即
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）根据菱形性质得BA=BC，∠ABD=∠CBD，进而可依据“SAS”判定△ABE和△CBE全等，然后根据全等三角形的对应边相等可得出结论；
（2）由全等三角形的对应角相等得∠BCE=∠BAE，根据三角形外角性质得∠APC=∠ABC+∠BAP=45°+，根据（1）的结论及已知推出EC=PC，由等边对等角得，在△PEC中，根据三角形的内角和定理建立方程可求出的度数，从而此题得解.
21．（2024八下·金东期末）（为了进一步加强中小学生对民族文化的认同感，光明中学组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86.
【整理数据】：
年级
七年级 2 m 4 1
八年级 1 3 5 1
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 80 a 81 71.6
八年级 80 85 b 59.8
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数.
（3）你认为七年级与八年级哪个年级成绩更优秀？请说明理由.
【答案】（1）3；83；84.5
（2）解：
该校参加竞赛的八年级 320 名学生中， 竞赛成绩为“优秀”的人数是 192 人.
（3）解：八年级成绩更优秀
选择以下一个角度说明理由即可.
从众数来看： 因为 ， 所以八年级成绩更优秀；
从中位数来看， 七年级81 分处在年级中间水平； 从八年级来看， 81 分处在年级后半段， 所以八年级成绩更优秀；
从方差来看， 平均数相同的情况下， 八年级成绩更稳定， 所以八年级成绩更优秀.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得七年级成绩在的有75，79，79，
，
七年级成绩出现次数最多的是83，
，
八年级的中位数为第5位和第6位学生成绩的平均数，即，
故答案为：3；83；84.5.
【分析】（1）根据七年级数据即可得到m，再根据众数的定义（出现次数最多的数）可得到a，再根据中位数的定义的b，即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据众数、中位数、方差的定义结合题意进行数据分析即可求解。
22．（2024八下·金东期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月可以多售出5件.
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润.
【答案】（1）解： (元)
答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800 元.
（2）解： 由题意， 得 ，
即 ，
解得 ，
要更有利于减少库存，
.
答： 每件商品应降价 60 元
（3）解：由题意， 得 ，
解得 (舍)
月 60 件， 每件利润 80 元； 2 月 90 件， 每件利润 74 元； 3 月 135 件， 每件利润 65 元
总利润为： 元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
23．（2024八下·金东期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以AB为边作正方形ABCD（点A、B、C、D逆时针排列）.
（1）求m的值和一次函数的解析式.
（2）求点C的坐标.
（3）将正方形ABCD平移得到正方形MNPQ，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长.
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k1=-2×（-2）=1×m，
解得：m=4，
∴A（1，4）
将点A（1，4）、B的坐标代入函数y2=k2x+b表达式得：，
解得
∴一次函数的表达式为：y2=2x+2；
（2）解：过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，
∵∠GBA+∠CBH=90°，∠CBH+∠HBC=90°，
∴∠GAB=∠HBC，
∵∠BGA=∠CHB=90°，AB=CB，
∴△BGA≌△CHB（AAS），
∴CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，
则点C（4，-5）；
（3）解：连结 MA、MC，如图， 过点M作 AD、AB的垂线， 垂足为E、F， 由题知ME=MF，可得MA平分
四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
点M在AC上
设直线AC为y=kx+n，
将A、C两点坐标分别代入得，
解得
∴直线AC为
解方程组
得
点M坐标为 ，
重叠正方形的边长为 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上任意两点的横纵坐标得乘积都相等可得k1=-2×（-2）=1×m，求解算出m的值，从而得到点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）过点B作y轴的平行线交过点A和x轴的平行线于点G，交故点C和x轴的平行线于点H，由同角的余角相等得∠GAB=∠HBC，从而由AAS证明△BGA≌△CHB，得CH=GB=4-（-2）=6，BH=GA=1-（-2）=3，即可求解；
（3）当正方形MNPQ与正方形ABCD的重叠部分为正方形时，则点M在AC上，利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后联立直线AC与反比例函数的解析式，求解得出点M的坐标，进而根据两点间的距离公式算出MC即可.
24．（2024八下·金东期末）如下图，在矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线AP的对称（点C，D的对称点分别为，）.
（1）如下图，当点在AB的延长线上时，连结，求的长.
（2）如下图，当点P与点C重合时，连结，、交AB分别于点E、F.
①求证：；
②求EF的长.
（3）当直线经过点B时，求CP的长.
【答案】（1）解：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
∴，
∵△ACD、△AC'D'关于直线AP对称，
∴AC=AC'=5，BC'=AC'-AB=1，
在Rt△BCC'中，
∴CC'的长为；
（2）解：①证明：∵△ACD、△AC'D关于直线AP对称，
∴AD=AD'，CD=CD'，∠ACD=∠ACE，∠ADC=∠AD'C=90°，
∴∠AD'F=∠ADF，
∵∠AD'F+∠FD'E=90°，∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠FD'E，
∵∠AFD=∠D'FE，
∴∠D'FE=∠ED'F；
②由 ， 得
设 ， 则 ，
由 ， 得 解得
（3）解：当点P在CD上时， 如图， 点B在C'D'的延长线上
由线段AD与线段AD'关于AP对称， 得
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BP=AB=4，
当点P在BC上时， 如图， 点B在C'D'上
由题意，
设 ， 则
由 得 ，
解得
综上， 的长为 或 .
【知识点】轴对称的性质；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）由对称，得AC=AC'=5，BC'=AC'-AB=1，再用勾股定理即可求出CC'的长；
（2）①由对称性质得AD=AD'，CD=CD'，∠ACD=∠ACE，∠ADC=∠AD'C=90°，由等边对等角得∠AD'F=∠ADF，由等角的余角相等得∠AFD=∠FD'E，再结合对顶角相等得∠D'FE=∠ED'F；
②由等角对等边得EF=ED'，由矩形性质及折叠性质得从而由AAS判断出△AD'E≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得ED'=EB，AE=CE，设BE=x，则CE=AE=4-x，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而即可得出EF的长；
（3）分类讨论：①当点P在CD上时， 如图， 点B在C'D'的延长线上，由轴对称的性质及平行线性质可推出∠2=∠3，由等角对等边得BP=AB=4，然后在Rt△BCP中，利用勾股定理可算出PC的长；②当点P在BC上时， 如图， 点B在C'D'上，设PC=x，根据勾股定理算出BD'的长，从而可算出BC'的长，再在Rt△BCP中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，综上即可得出答案.
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