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浙江省金华市浦江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·浦江期末） 下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·浦江期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·浦江期末）将函数的图象向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·浦江期末）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·浦江期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
9 8 9 8
1.6 0.8 0.8 3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024八下·浦江期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x＋2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2
C．（x＋2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
7．（2024八下·浦江期末）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等
8．（2024八下·浦江期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·浦江期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024八下·浦江期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点在边上，若已知三角形的周长，则可以求出下列哪个数据（　　）．
A．三角形的周长 B．三角形的周长
C．三角形的面积 D．正方形的面积
11．（2024八下·浦江期末）二次根式有意义的条件是　 　．
12．（2024八下·浦江期末）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　 　．
13．（2024八下·浦江期末）如果一组数据的方差是5，则另一组数据的方差是　 　．
14．（2024八下·浦江期末）已知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是　 　．
15．（2024八下·浦江期末）如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则　 　．
16．（2024八下·浦江期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则　 　．
17．（2024八下·浦江期末）计算
（1）
（2）
18．（2024八下·浦江期末）解方程
（1）
（2）
19．（2024八下·浦江期末）为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
20．（2024八下·浦江期末）在四边形中，，对角线交于点平分，过C作，交延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
21．（2024八下·浦江期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
22．（2024八下·浦江期末）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低元，请用含的代数式表示月销售量（台）与每月所获得的利润（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？
23．（2024八下·浦江期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系．
（2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹．
（3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：．
24．（2024八下·浦江期末）在矩形中，，与相交于点，点分别是边上的动点，且线段经过点．
（1）如图，求证：．
（2）如图，将矩形沿折叠，点分别是点与点的对应点．
①若，求的长度．
②连接，直接写出面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵=4，∴不是最简二次根式，故A不符合；
∵，∴不是最简二次根式，故B不符合；
∵，∴不是最简二次根式，故B不符合；
是最简二次根式，故D符合.
故答案为：D.
【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合；
是二元二次方程，不是一元二次方程，故B不符合；
分母中含有字母不是整式方程，就不是一元二次方程，故C不符合；
是一元二次方程，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据四个选项所给的方程，逐一识别是哪一类方程，找出属于一元二次方程即可.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵的图象向右平移1个单位长度，
∴，
故选：A．
【分析】
函数的平移规律，左加右减，上加下减.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸作品既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、此选项中的剪纸作品是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、此选项中的剪纸作品不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、此选项中的剪纸作品不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或丙运动员，
因为丙运动员成绩的方差小于甲运动员的，
所以丙运动员的成绩波动小，更稳定，
所以应该选择丙运动员，
故选：C．
【分析】
先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或丙运动员，由于方差越小说明数据波动越小，数据越稳定，可选择方差值较小的即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故答案为：D.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项的系数为1，利用配方法解方程的时候，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
C．对角线与一边夹角为的矩形是正方形，故C正确，不符合题意；
D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】
对角线相等的平行四边形是矩形．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行公理
【解析】【解答】解：过作于，
四边形是菱形，
，，，，平分，
，
于，PM⊥CD，AC平分∠BCD
，
，，，
、、共线，
，
菱形的面积，
，
．
的值为．
故答案为：C.
【分析】过P作PM⊥CD于点M，由菱形对边平行，对角线垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得CD∥AB，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD=3，AC平分∠BCD，由勾股定理算出AB；由角平分线上的点到角两边的距离相等推出PF=PM，由平行线的性质得到P、E、M共线，因此PE+PF=PE+PM=EM，由等面积法结合菱形的面积公式建立方程求出EM，从而即可得到答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为：，且开口向下，
∴距离对称轴越近，函数值越大，
，
A.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C.若，所以不一定成立，故选项错，不符合题意；
D．若，则一定成立，故选项正确误，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二次函数的解析式可确定其对称轴和开口方向，再根据抛物线上的点到对称轴的距离可判断这四个点的位置关系，即各点对应在函数值的大小关系，再逐一验证即可.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：作于N，连接，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当三角形的周长已知时可求得正方形的边长，进而求得正方形的面积，即D选项符合题意；
由于折叠无法得到E、F的确定位置，从而无法确定G、H的位置，即无法确定三角形的周长、三角形的周长、三角形的面积，即A、B、C选项不符合题意．
故选D．
【分析】
如图：作于N，连接，根据折叠的性质、正方形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质可证明与全等，则可得，同理可得，进而得到的周长等于，即可判定D选项正确；再根据折叠无法确定G、H的具体位置可判定A、B、C选项的正误．
11．【答案】x≥﹣
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件得，进而可求解．
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
13．【答案】5
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，…，的方差是5，
∴，，…，的方差不变，还是5；
故答案为：5．
【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数与x轴有两个不同的交点，可得，再求解即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长交的延长线于点，交于点，
依题意，是的中点，则，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
延长交的延长线于点，交于点，由于N是AB中点，则可证明，则，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解．
16．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，设，则，，如图，
则，，，
由得
，
整理，得，又，
解得；
同理，如图，
由得
，
整理，得，又，
∴，
综上，满足条件的k值为或，
故答案为：或．
【分析】
设，则，，则由反比例函数比例系数k的几何意义知等于等于，等于6，可用含的代数式表示，再进行分类讨论，即当原点在外或在内时，分别利用图形之间的面积关系建立关于的一元二次方程并解方程即可，另由于，保留负数解即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先化简二次根式，再利用减法合并同类二次根式即可；
（2）先按照运算顺序分别计算二次根式的乘除法，注意灵活利用平方差公式，再进一步计算即可．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的左边是完全平方式，右边是个非负数时，利用直接开平方解方程即可；
（2）当一元二次方程的二次项系数为1时，可利用配方法求解，其一般步骤是先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，再直接开平方即可．
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）7.5，8，1.4
（2）答：甲说的不对，理由如下：∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）答：八年级的阅读情况较好，理由如下：∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
【分析】
（1）求中位数时，先按照从小到大的顺序对一组数据进行排序，再取最中间一个数据或两个数据的平均值即可；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；方差指的每个数据与平均值差的完全平方和的平均值；
（2）对照两个年级的中位数进行判断即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
（2）甲说的不对，理由如下：
∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）八年级的阅读情况较好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
20．【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边，，再由角平分线的定义推出，进而得到，根据菱形的判定定理可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得到，进而证明，可证四边形是平行四边形，得到，再由菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可。
21．【答案】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）8；
（3）-2＜x＜0或x＞6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图象与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图象在反比例函数图象上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式；再利用待定系数法联立二元一次方程组求得一次函数的解析式即可；
（2）先求出一次函数图象与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）观察图象上直线在双曲线上方时对应的自变量x的取值范围即可．
22．【答案】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，则售价降低x元时，就可多售出5x台，进而由每月的实际销售数量=300+因为降价而多销售的数量即可得出y关于x的函数关系式；根据月销售利润每台的利润月销售量即可得出w与x的函数解析式；
（2）根据“ 这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务 ”，列出不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，然后将（1）所得的w关于x的函数解析式配成顶点式，进而根据二次函数的增减性结合x的取值范围即可求解得出答案.
（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
23．【答案】（1）相等；
（2）解：如图所示
（3）证明：如图，取的中点，连接，，
是的中点，是的中点
∴
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离
（2）如图（作法不唯一）
【分析】
（1）由于平行线间的距离，因此两三角形同底等高，面积相等；
（2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求；
（3）如图，取的中点，连接，，，由三角形中位线定理可得DN//BC，则；同理，故结论成立．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由折叠可得，∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵由折叠可得，
∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，
则，即点三点共线时，最大，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴边上的最大高为，
∴面积的最大值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四点共圆模型
【解析】【分析】（）借助矩形的性质可证明即可；
（）①由折叠的性质结合垂直的概念可得，即为等腰直角三角形，则等于等于等于，即得等于等于，又由（）可得等于等于，即，则可求；
②由折叠的性质可知点都在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，可得，即点三点共线时，最大，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由折叠可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵由折叠可得，
∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，
则，即点三点共线时，最大，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴边上的最大高为，
∴面积的最大值为．
1 / 1浙江省金华市浦江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·浦江期末） 下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵=4，∴不是最简二次根式，故A不符合；
∵，∴不是最简二次根式，故B不符合；
∵，∴不是最简二次根式，故B不符合；
是最简二次根式，故D符合.
故答案为：D.
【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八下·浦江期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合；
是二元二次方程，不是一元二次方程，故B不符合；
分母中含有字母不是整式方程，就不是一元二次方程，故C不符合；
是一元二次方程，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据四个选项所给的方程，逐一识别是哪一类方程，找出属于一元二次方程即可.
3．（2024八下·浦江期末）将函数的图象向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵的图象向右平移1个单位长度，
∴，
故选：A．
【分析】
函数的平移规律，左加右减，上加下减.
4．（2024八下·浦江期末）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸作品既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、此选项中的剪纸作品是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、此选项中的剪纸作品不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、此选项中的剪纸作品不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．（2024八下·浦江期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
9 8 9 8
1.6 0.8 0.8 3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或丙运动员，
因为丙运动员成绩的方差小于甲运动员的，
所以丙运动员的成绩波动小，更稳定，
所以应该选择丙运动员，
故选：C．
【分析】
先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或丙运动员，由于方差越小说明数据波动越小，数据越稳定，可选择方差值较小的即可．
6．（2024八下·浦江期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x＋2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2
C．（x＋2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故答案为：D.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项的系数为1，利用配方法解方程的时候，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．（2024八下·浦江期末）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
C．对角线与一边夹角为的矩形是正方形，故C正确，不符合题意；
D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】
对角线相等的平行四边形是矩形．
8．（2024八下·浦江期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行公理
【解析】【解答】解：过作于，
四边形是菱形，
，，，，平分，
，
于，PM⊥CD，AC平分∠BCD
，
，，，
、、共线，
，
菱形的面积，
，
．
的值为．
故答案为：C.
【分析】过P作PM⊥CD于点M，由菱形对边平行，对角线垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得CD∥AB，AC⊥BD，OA=AC=4，OB=BD=3，AC平分∠BCD，由勾股定理算出AB；由角平分线上的点到角两边的距离相等推出PF=PM，由平行线的性质得到P、E、M共线，因此PE+PF=PE+PM=EM，由等面积法结合菱形的面积公式建立方程求出EM，从而即可得到答案.
9．（2024八下·浦江期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为：，且开口向下，
∴距离对称轴越近，函数值越大，
，
A.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C.若，所以不一定成立，故选项错，不符合题意；
D．若，则一定成立，故选项正确误，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据二次函数的解析式可确定其对称轴和开口方向，再根据抛物线上的点到对称轴的距离可判断这四个点的位置关系，即各点对应在函数值的大小关系，再逐一验证即可.
10．（2024八下·浦江期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点在边上，若已知三角形的周长，则可以求出下列哪个数据（　　）．
A．三角形的周长 B．三角形的周长
C．三角形的面积 D．正方形的面积
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：作于N，连接，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当三角形的周长已知时可求得正方形的边长，进而求得正方形的面积，即D选项符合题意；
由于折叠无法得到E、F的确定位置，从而无法确定G、H的位置，即无法确定三角形的周长、三角形的周长、三角形的面积，即A、B、C选项不符合题意．
故选D．
【分析】
如图：作于N，连接，根据折叠的性质、正方形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质可证明与全等，则可得，同理可得，进而得到的周长等于，即可判定D选项正确；再根据折叠无法确定G、H的具体位置可判定A、B、C选项的正误．
11．（2024八下·浦江期末）二次根式有意义的条件是　 　．
【答案】x≥﹣
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件得，进而可求解．
12．（2024八下·浦江期末）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
13．（2024八下·浦江期末）如果一组数据的方差是5，则另一组数据的方差是　 　．
【答案】5
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，…，的方差是5，
∴，，…，的方差不变，还是5；
故答案为：5．
【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，即可得出答案．
14．（2024八下·浦江期末）已知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数与x轴有两个不同的交点，可得，再求解即可．
15．（2024八下·浦江期末）如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长交的延长线于点，交于点，
依题意，是的中点，则，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
延长交的延长线于点，交于点，由于N是AB中点，则可证明，则，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解．
16．（2024八下·浦江期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则　 　．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，设，则，，如图，
则，，，
由得
，
整理，得，又，
解得；
同理，如图，
由得
，
整理，得，又，
∴，
综上，满足条件的k值为或，
故答案为：或．
【分析】
设，则，，则由反比例函数比例系数k的几何意义知等于等于，等于6，可用含的代数式表示，再进行分类讨论，即当原点在外或在内时，分别利用图形之间的面积关系建立关于的一元二次方程并解方程即可，另由于，保留负数解即可．
17．（2024八下·浦江期末）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先化简二次根式，再利用减法合并同类二次根式即可；
（2）先按照运算顺序分别计算二次根式的乘除法，注意灵活利用平方差公式，再进一步计算即可．
（1）解：
（2）解：
18．（2024八下·浦江期末）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）当一元二次方程的左边是完全平方式，右边是个非负数时，利用直接开平方解方程即可；
（2）当一元二次方程的二次项系数为1时，可利用配方法求解，其一般步骤是先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，再直接开平方即可．
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
19．（2024八下·浦江期末）为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
【答案】（1）7.5，8，1.4
（2）答：甲说的不对，理由如下：∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）答：八年级的阅读情况较好，理由如下：∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
【分析】
（1）求中位数时，先按照从小到大的顺序对一组数据进行排序，再取最中间一个数据或两个数据的平均值即可；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；方差指的每个数据与平均值差的完全平方和的平均值；
（2）对照两个年级的中位数进行判断即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
（2）甲说的不对，理由如下：
∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）八年级的阅读情况较好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
20．（2024八下·浦江期末）在四边形中，，对角线交于点平分，过C作，交延长线于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边，，再由角平分线的定义推出，进而得到，根据菱形的判定定理可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得到，进而证明，可证四边形是平行四边形，得到，再由菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可。
21．（2024八下·浦江期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）8；
（3）-2＜x＜0或x＞6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图象与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图象在反比例函数图象上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式；再利用待定系数法联立二元一次方程组求得一次函数的解析式即可；
（2）先求出一次函数图象与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）观察图象上直线在双曲线上方时对应的自变量x的取值范围即可．
22．（2024八下·浦江期末）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）设售价降低元，请用含的代数式表示月销售量（台）与每月所获得的利润（元）．
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，则售价降低x元时，就可多售出5x台，进而由每月的实际销售数量=300+因为降价而多销售的数量即可得出y关于x的函数关系式；根据月销售利润每台的利润月销售量即可得出w与x的函数解析式；
（2）根据“ 这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务 ”，列出不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，然后将（1）所得的w关于x的函数解析式配成顶点式，进而根据二次函数的增减性结合x的取值范围即可求解得出答案.
（1）解：根据题意得：，
；
（2）解：由题意得，，
解得：，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
∴当时，，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
23．（2024八下·浦江期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系．
（2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹．
（3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：．
【答案】（1）相等；
（2）解：如图所示
（3）证明：如图，取的中点，连接，，
是的中点，是的中点
∴
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离
（2）如图（作法不唯一）
【分析】
（1）由于平行线间的距离，因此两三角形同底等高，面积相等；
（2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求；
（3）如图，取的中点，连接，，，由三角形中位线定理可得DN//BC，则；同理，故结论成立．
24．（2024八下·浦江期末）在矩形中，，与相交于点，点分别是边上的动点，且线段经过点．
（1）如图，求证：．
（2）如图，将矩形沿折叠，点分别是点与点的对应点．
①若，求的长度．
②连接，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由折叠可得，∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵由折叠可得，
∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，
则，即点三点共线时，最大，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴边上的最大高为，
∴面积的最大值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四点共圆模型
【解析】【分析】（）借助矩形的性质可证明即可；
（）①由折叠的性质结合垂直的概念可得，即为等腰直角三角形，则等于等于等于，即得等于等于，又由（）可得等于等于，即，则可求；
②由折叠的性质可知点都在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，可得，即点三点共线时，最大，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①由折叠可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵由折叠可得，
∴点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，过点作于，连接，过点作于，
则，即点三点共线时，最大，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴边上的最大高为，
∴面积的最大值为．
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