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浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·路桥期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐项进行判断即可.
2．（2024八下·路桥期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，故选项A错误；
B、，能构成直角三角形，故选项B正确；
C、，不能构成直角三角形，故选项C错误；
D、，不能构成直角三角形，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，逐项判断即可．
3．（2024八下·路桥期末）在中，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到，据此即可求解.
4．（2024八下·路桥期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故A错误；
B、与不是同类二次根式，不能进行减法运算，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐项进行判断即可.
5．（2024八下·路桥期末）要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明为菱形，故A不符合题意；
B、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明为菱形，故B不符合题意；
C、添加，不可以证明是矩形，故C不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明为矩形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.据此逐项进行判断，即可求解.
6．（2024八下·路桥期末）路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（　　）
种类 甲 乙 丙 丁
销售量（件）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：根据统计表格可知，影响该服装经销商决策的统计量是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值，结合表格直接得到答案.
7．（2024八下·路桥期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（　　）
A．点， B．点， C．点， D．点，
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴点到原点的距离为：，点到原点的距离为，
点到原点的距离为，点到原点的距离为，
∴ 这四个点中到原点距离相等的点是点，，
故答案为：A．
【分析】根据坐标系中两点距离公式：对于，，有之间的距离为，据此分别列示求出四点到原点的距离，即可得到答案.
8．（2024八下·路桥期末）如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，先利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，接下来推出四边形为矩形，根据矩形对角线相等的性质即可得出答案．
9．（2024八下·路桥期末）已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(　　)
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线，
∴随的增大而减小，当时，，即直线与轴的交点为，
∵，是直线上的两个点，且，
∴若，则可能大于，也可能小于，
∴当时，，当时，，
∴无法判断的正负，故A、B均不正确；
若，则，此时，故C正确，D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质可知随的增大而减小，同时求出直线与轴的交点为，然后由，以及得的取值范围，据此求出的范围，即可判断各个选项中的说法是否正确．
10．（2024八下·路桥期末）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，．若，，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，的解析式分别为，，，
∴当时，有，，，
∵，，，
∴观察图象得，当时，直线位于的上方，直线位于的上方，
∴，
故答案为：B.
【分析】先求出当时，的值，然后观察图象得当时，直线位于的上方，直线位于的上方，据此得到答案.
11．（2024八下·路桥期末）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为　 　．（写出一个满足条件的即可）
【答案】6（答案不唯一）．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件是“被开方数是非负数”列出不等式，解不等式求出x的范围，进而在x的取值范围内写出一个值即可.
12．（2024八下·路桥期末）为迎接2025年体育中考，甲、乙、丙三位男生参加1000米长跑训练，体育老师根据训练成绩得出他们的成绩的方差分别为，，，则　 　的成绩较稳定．(填“甲”、“乙”或“丙”)
【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，
∴，
∴乙的成绩较稳定，
故答案为：乙．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
13．（2024八下·路桥期末）如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
14．（2024八下·路桥期末）直线与轴交于点，则关于的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线与轴交于点，
∴，
∴的解为，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系可知方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标，据此即可求解.
15．（2024八下·路桥期末）在中，，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴当为直角边时，有；
当为斜边时，有，
故答案为：或．
【分析】先求出，然后分两种情况讨论：当为直角边或斜边时，利用勾股定理即可求出的长.
16．（2024八下·路桥期末）如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为　 　，的长为　 　．
【答案】2；2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵翻折的性质，
∴垂直平分，
设，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到直线的距离为，
∵为正方形对角线的中点，
∴，
∵，
∴是中位线，
∴，
故答案为：2，2．
【分析】在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，由正方形的性质、翻折的性质得，，垂直平分，然后设，则，，从而推出，进而结合垂直平分线的性质得，于是利用勾股定理逆定理证出，得是等腰直角三角形，继而得，利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理得出的长．
17．（2024八下·路桥期末）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的减法法则进行计算；
（2）直接利用平方差公式，结合二次根式的性质进行计算.
（1）解：；
（2）解：．
18．（2024八下·路桥期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米．
（1）求梯子的长；
（2）当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离．
【答案】（1）解：根据题意，得，，，
∴在中，根据勾股定理可得：，
∴梯子的长为米；
（2）解：如图，
根据题意，得，
，
，
，，
∴在中，根据勾股定理可得：，
∴此时梯子的底端到点的距离为2米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，，在中，利用勾股定理可求出梯子的长；
（2）由于梯子滑动后梯子底端变成，于是求梯子的底端到点的距离为的长，根据题意得，，，从而得，在中，进而利用勾股定理可得出的长.
（1）解：米，米，，
根据勾股定理可得：（米）．
梯子的长为米；
（2）如图，由题意可知：米．
米，
米
米，米，，
根据勾股定理可得：（米）
即梯子的底端到点的距离为米．
19．（2024八下·路桥期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
（1）求与之间的函数解析式：
（2）小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？
【答案】（1）解：∵某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，
∴设与之间的函数解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得，
∴当时，有，
∴小张购买这张消费卡实际花费元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）结合（1）中的解析式，求出当时的函数值，即可求解.
（1）解：由题意，设解析式为，把代入得：
．
．
所求函数关系式为．
（2）由题意，结合（1），
令时，．
小张购买这张消费卡实际花费元．
20．（2024八下·路桥期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图．
（1）在图1中，过点作的平行线，使得：
（2）在图2中，找出格点，，画出正方形．
【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，正方形BCEF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，找出点C向下平移4个单位长度后的对应点D，然后连接BD即可；
（2）利用方格纸的特点及正方形的性质“四条边都相等，四个角都是直角”，将点B、C都向下平移4个单位，再向右平移一个单位得到其对应点F、E，然后顺次连接B、F、E、C即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，正方形即为所求
21．（2024八下·路桥期末）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴
∵
∴
∴是直角三角形，且，
∴
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形 ，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的对角线互相平分得出结合勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，从而根据“对角线互相垂直得平行四边形是菱形”即可得出结论；
（2）运用菱形的面积等于两对角线乘积的一半，列式计算即可.
22．（2024八下·路桥期末）为了解某小区居民用水情况，小明同学在八月份调查了，两栋居民楼，并在每栋楼各随机抽取了户居民，得到他们八月份的用水数据（单位：）．根据栋楼的用水量绘制了如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值），其中，栋楼第三组具体数据是：，，，，，，，．，两栋楼的样本数据的平均数和中位数如下表：
平均数 中位数
栋楼用水量（）
栋楼用水量（）
（1）______，______；
（2）若栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有户，请估计栋楼八月份总用水量是多少立方米？
【答案】（1）7，10.5；
（2）解：∵B栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有100户，
∴B栋楼的总户数为100+1+100=201（户），
∵B栋楼的居民平均用水量为10m3，
∴201×10=2010m3，
∴估计B栋楼八月份总用水量是2010m3．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得m=25-3-8-3-4=7，
∵将A楼25户居民用水量从小到大进行排列，则排在第13位的数是10.5，
∴中位数n=10.5，
故答案为：7，10.5.
【分析】（1）将25减去其它组的频数即可求出m的值，根据中位数的定义，即可求出n的值；
（2）先根据中位数的定义可知B栋楼的总户数，然后再用总户数乘以B栋楼居民的平均用水量，即可估计B栋楼八月份总用水量．
（1）解：，
楼户居民用水量从小到大排列，排在第位的数是，即中位数；
故答案为：，；
（2）栋楼的总户数为（户），
，
答：估计栋楼八月份总用水量是．
23．（2024八下·路桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
训练与心率的关系研究
素材 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系．一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分；一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分．
素材 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳．
素材 靶心率为最大心率的(包含两端点)．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险．
解决问题
任务 求与之间的函数解析式；
任务 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率；
任务 小明今年岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为次/分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．(心率结果取整数)
【答案】解：任务1：∵最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系，
∴设与之间的函数解析式为，
∵一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分，一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分，
∴，
解得：，
与之间的函数解析式为：；
任务2：∵，
∴当时，有，
∵靶心率为最大心率的(包含两端点)，
∴，
∴年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率为：～；
任务3：小明的运动有生命危险，理由如下：
∵，
∴当时，有，
∵训练时测得心率为210次/分，
∴204<210，
∴小明的运动有生命危险，
∵204×80%=163.2≈163，
∴小明运动时的心率为163次分，效果最佳．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：直接利用待定系数法进行求解；
任务2：求出当时的值，然后根据“靶心率为最大心率的～(包含两端点)”列式表示即可；
任务3：求出当时的值，然后根据“ 运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险“可判断小明的运动有生命危险，接下来根据”靶心率为最大心率的～(包含两端点)“可求出最佳运动的心率.
24．（2024八下·路桥期末）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：．
小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
【答案】（1）小应的证明：作于点，交的延长线于点，
由四边形是平行四边形，容易证得（），
得到，，
设，，，
在和中，，
在中，，
，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，
∵，
∴，
∵，是斜边的三等分点，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
由 ，有，
∴，
解得：（负值舍去），
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先结合平行四边形的性质，证出，得到，，然后设，，，利用勾股定理得的值，从而得的值，进而求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据（1）的结论，代入数据，即可求解；
（3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，根据三等分点可设，则，根据（1）的结论得出，，然后利用勾股定理可得，解方程，即可求解．
1 / 1浙江省台州市路桥区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·路桥期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·路桥期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，，
3．（2024八下·路桥期末）在中，，则(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·路桥期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·路桥期末）要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·路桥期末）路桥区某服装经销商对甲、乙、丙、丁四种服装（利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种服装的进货数量，影响该服装经销商决策的统计量是（　　）
种类 甲 乙 丙 丁
销售量（件）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（2024八下·路桥期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（　　）
A．点， B．点， C．点， D．点，
8．（2024八下·路桥期末）如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6.5
9．（2024八下·路桥期末）已知，是直线上的两个点，且，下列说法正确的是(　　)
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024八下·路桥期末）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，．若，，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·路桥期末）若式子在实数范围内有意义，则x的值可以为　 　．（写出一个满足条件的即可）
12．（2024八下·路桥期末）为迎接2025年体育中考，甲、乙、丙三位男生参加1000米长跑训练，体育老师根据训练成绩得出他们的成绩的方差分别为，，，则　 　的成绩较稳定．(填“甲”、“乙”或“丙”)
13．（2024八下·路桥期末）如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
14．（2024八下·路桥期末）直线与轴交于点，则关于的方程的解为　 　．
15．（2024八下·路桥期末）在中，，则的长为　 　．
16．（2024八下·路桥期末）如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为　 　，的长为　 　．
17．（2024八下·路桥期末）计算：
（1）；
（2）
18．（2024八下·路桥期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米．
（1）求梯子的长；
（2）当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离．
19．（2024八下·路桥期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
（1）求与之间的函数解析式：
（2）小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？
20．（2024八下·路桥期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图．
（1）在图1中，过点作的平行线，使得：
（2）在图2中，找出格点，，画出正方形．
21．（2024八下·路桥期末）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
22．（2024八下·路桥期末）为了解某小区居民用水情况，小明同学在八月份调查了，两栋居民楼，并在每栋楼各随机抽取了户居民，得到他们八月份的用水数据（单位：）．根据栋楼的用水量绘制了如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值），其中，栋楼第三组具体数据是：，，，，，，，．，两栋楼的样本数据的平均数和中位数如下表：
平均数 中位数
栋楼用水量（）
栋楼用水量（）
（1）______，______；
（2）若栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有户，请估计栋楼八月份总用水量是多少立方米？
23．（2024八下·路桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
训练与心率的关系研究
素材 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系．一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分；一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分．
素材 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳．
素材 靶心率为最大心率的(包含两端点)．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险．
解决问题
任务 求与之间的函数解析式；
任务 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率；
任务 小明今年岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为次/分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．(心率结果取整数)
24．（2024八下·路桥期末）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：．
小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，故选项A错误；
B、，能构成直角三角形，故选项B正确；
C、，不能构成直角三角形，故选项C错误；
D、，不能构成直角三角形，故选项D错误.
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，逐项判断即可．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故A错误；
B、与不是同类二次根式，不能进行减法运算，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐项进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明为菱形，故A不符合题意；
B、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明为菱形，故B不符合题意；
C、添加，不可以证明是矩形，故C不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明为矩形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.据此逐项进行判断，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：根据统计表格可知，影响该服装经销商决策的统计量是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值，结合表格直接得到答案.
7．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴点到原点的距离为：，点到原点的距离为，
点到原点的距离为，点到原点的距离为，
∴ 这四个点中到原点距离相等的点是点，，
故答案为：A．
【分析】根据坐标系中两点距离公式：对于，，有之间的距离为，据此分别列示求出四点到原点的距离，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，先利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，接下来推出四边形为矩形，根据矩形对角线相等的性质即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线，
∴随的增大而减小，当时，，即直线与轴的交点为，
∵，是直线上的两个点，且，
∴若，则可能大于，也可能小于，
∴当时，，当时，，
∴无法判断的正负，故A、B均不正确；
若，则，此时，故C正确，D不正确；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质可知随的增大而减小，同时求出直线与轴的交点为，然后由，以及得的取值范围，据此求出的范围，即可判断各个选项中的说法是否正确．
10．【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，的解析式分别为，，，
∴当时，有，，，
∵，，，
∴观察图象得，当时，直线位于的上方，直线位于的上方，
∴，
故答案为：B.
【分析】先求出当时，的值，然后观察图象得当时，直线位于的上方，直线位于的上方，据此得到答案.
11．【答案】6（答案不唯一）．
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
则的值可以是6，
故答案为：6（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件是“被开方数是非负数”列出不等式，解不等式求出x的范围，进而在x的取值范围内写出一个值即可.
12．【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，
∴，
∴乙的成绩较稳定，
故答案为：乙．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
13．【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线与轴交于点，
∴，
∴的解为，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系可知方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标，据此即可求解.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴当为直角边时，有；
当为斜边时，有，
故答案为：或．
【分析】先求出，然后分两种情况讨论：当为直角边或斜边时，利用勾股定理即可求出的长.
16．【答案】2；2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵翻折的性质，
∴垂直平分，
设，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到直线的距离为，
∵为正方形对角线的中点，
∴，
∵，
∴是中位线，
∴，
故答案为：2，2．
【分析】在上截取一点，使，过点作交的延长线于点，连接，由正方形的性质、翻折的性质得，，垂直平分，然后设，则，，从而推出，进而结合垂直平分线的性质得，于是利用勾股定理逆定理证出，得是等腰直角三角形，继而得，利用勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理得出的长．
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的减法法则进行计算；
（2）直接利用平方差公式，结合二次根式的性质进行计算.
（1）解：；
（2）解：．
18．【答案】（1）解：根据题意，得，，，
∴在中，根据勾股定理可得：，
∴梯子的长为米；
（2）解：如图，
根据题意，得，
，
，
，，
∴在中，根据勾股定理可得：，
∴此时梯子的底端到点的距离为2米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，，在中，利用勾股定理可求出梯子的长；
（2）由于梯子滑动后梯子底端变成，于是求梯子的底端到点的距离为的长，根据题意得，，，从而得，在中，进而利用勾股定理可得出的长.
（1）解：米，米，，
根据勾股定理可得：（米）．
梯子的长为米；
（2）如图，由题意可知：米．
米，
米
米，米，，
根据勾股定理可得：（米）
即梯子的底端到点的距离为米．
19．【答案】（1）解：∵某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，
∴设与之间的函数解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得，
∴当时，有，
∴小张购买这张消费卡实际花费元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）结合（1）中的解析式，求出当时的函数值，即可求解.
（1）解：由题意，设解析式为，把代入得：
．
．
所求函数关系式为．
（2）由题意，结合（1），
令时，．
小张购买这张消费卡实际花费元．
20．【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，正方形BCEF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，找出点C向下平移4个单位长度后的对应点D，然后连接BD即可；
（2）利用方格纸的特点及正方形的性质“四条边都相等，四个角都是直角”，将点B、C都向下平移4个单位，再向右平移一个单位得到其对应点F、E，然后顺次连接B、F、E、C即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，正方形即为所求
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴
∵
∴
∴是直角三角形，且，
∴
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形 ，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的对角线互相平分得出结合勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，从而根据“对角线互相垂直得平行四边形是菱形”即可得出结论；
（2）运用菱形的面积等于两对角线乘积的一半，列式计算即可.
22．【答案】（1）7，10.5；
（2）解：∵B栋楼的总户数是一个奇数，八月份用水量小于中位数的有100户，
∴B栋楼的总户数为100+1+100=201（户），
∵B栋楼的居民平均用水量为10m3，
∴201×10=2010m3，
∴估计B栋楼八月份总用水量是2010m3．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得m=25-3-8-3-4=7，
∵将A楼25户居民用水量从小到大进行排列，则排在第13位的数是10.5，
∴中位数n=10.5，
故答案为：7，10.5.
【分析】（1）将25减去其它组的频数即可求出m的值，根据中位数的定义，即可求出n的值；
（2）先根据中位数的定义可知B栋楼的总户数，然后再用总户数乘以B栋楼居民的平均用水量，即可估计B栋楼八月份总用水量．
（1）解：，
楼户居民用水量从小到大排列，排在第位的数是，即中位数；
故答案为：，；
（2）栋楼的总户数为（户），
，
答：估计栋楼八月份总用水量是．
23．【答案】解：任务1：∵最大心率(次/分)与年龄(岁)之间满足一次函数关系，
∴设与之间的函数解析式为，
∵一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分，一个年龄为岁的人，他的最大心率为次/分，
∴，
解得：，
与之间的函数解析式为：；
任务2：∵，
∴当时，有，
∵靶心率为最大心率的(包含两端点)，
∴，
∴年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率为：～；
任务3：小明的运动有生命危险，理由如下：
∵，
∴当时，有，
∵训练时测得心率为210次/分，
∴204<210，
∴小明的运动有生命危险，
∵204×80%=163.2≈163，
∴小明运动时的心率为163次分，效果最佳．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：直接利用待定系数法进行求解；
任务2：求出当时的值，然后根据“靶心率为最大心率的～(包含两端点)”列式表示即可；
任务3：求出当时的值，然后根据“ 运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险“可判断小明的运动有生命危险，接下来根据”靶心率为最大心率的～(包含两端点)“可求出最佳运动的心率.
24．【答案】（1）小应的证明：作于点，交的延长线于点，
由四边形是平行四边形，容易证得（），
得到，，
设，，，
在和中，，
在中，，
，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，
∵，
∴，
∵，是斜边的三等分点，
∴，
设，则，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
由 ，有，
∴，
解得：（负值舍去），
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先结合平行四边形的性质，证出，得到，，然后设，，，利用勾股定理得的值，从而得的值，进而求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据（1）的结论，代入数据，即可求解；
（3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接，根据三等分点可设，则，根据（1）的结论得出，，然后利用勾股定理可得，解方程，即可求解．
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