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(共25张PPT)
4.解直角三角形
第一章
直角三角形的边角关系
PART.01
┌
┌
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450
450
1
2
1
1
三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
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知识回顾
问题：如图，人要想完全攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°。现有一个长6m的梯子，问：
(1)使用这个梯子最高可以攀上多高的墙(精确到0.1m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？
上述问题可以抽象成以下直角三角形的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知∠A=75°，斜边AB=6，求BC的长;
(2)已知AC=2.4，斜边AB=6，求∠A的度数.
A
B
C
引入新课
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和
两个角，由已知两个元素(至少一个是边)，求出直角三角形的其他所
有元素的过程，称为解直角三角形。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知∠A=75°，斜边AB=6，求BC的长;
(2)已知AC=2.4，斜边AB=6，求∠A的度数.
A
B
C
新课导入
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
直角三角形中的6个元素的关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c。
a2+b2=c2(勾股定理)；
tanA=
a
b
a
b
tanB=
sinA=
a
c
cosA=
b
c
sinB=
b
c
cosB=
a
c
以上是Rt△ABC中，∠A、∠B、a、b、c 六个元素的关系
新课讲解
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
例题解析
A
C
B
A
C
B
课堂练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形。
新课讲解
例
典例分析
1. 根据下列所给的条件解直角三角形，不能求解的是（ ）
①已知一直角边及其对角；
②已知两锐角；
③已知两直角边；
④已知斜边和一锐角；
⑤已知一直角边和斜边 .
A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
新课讲解
典例分析
紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答 .
分析：
①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解 .
解：
C
答案：
新课讲解
例
典例分析
2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
分析：求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.
新课讲解
典例分析
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
新课讲解
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
D
新课讲解
练一练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
新课讲解
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
类型2 已知一边及一锐角解直角三角形
新课讲解
例
3. 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c， 且b = 30, ∠B = 25°求这个三角形的其他
元素（边长精确到1).
解： 在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25°
∴∠A=65°.
∵
∴
∵
∴
新课讲解
例
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
新课讲解
2. 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于(　　)
A.
B.
C．6
D.
B
D
拓展与延伸
在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝
∴tan A
解：
课堂小结
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和两个角，由已知两个元素(至少一个是边)，求出直角三角形的其他所有元素的过程，称为解直角三角形。
课堂小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
知识梳理
1.Rt△中 叫做解直角三形 ；
求未知元素
2.Rt△中 求另一边用勾股定理.
已知两条边
3.Rt△中 求一个锐角的一种三角 函数值，即可以求得这个角。
已知两条边
4.Rt△中 （即已知该锐角的 三角函数值）可求另外两边
已知一条边，一个锐角

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