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1.1 锐角的三角函数
第一章 直角三角形的边角关系
第1课时 正切与坡度
智者乐水，仁者乐山
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思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
陡
陡意味着倾斜程度大！
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
正切的定义
一
相关概念
问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
乙
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
3m
6m
D
E
F
C
2m
B
4m
A
问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
C2
B2
B1
合作探究2
两个直角三角形相似
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
想一想
相等
相似三角形的对应边成比例
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
tanA=
归纳总结
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______，tan B =______．
练一练
互余两锐角的正切值互为倒数.
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
3.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
=
=
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度、坡角
二
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
100m
60m
┌
α
概念学习
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
B
方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
B
C
A
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= ,
AC=( ).
1.完成下列填空：
当堂练习
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）
A. B.
C. D.
D
这个图呢？
3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为
，则 =__________.
M
记得构造直角三角形哦！
4.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
4k
┌
A
C
B
15
3k
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO 的面积为S.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
M
能力提升
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
M
解：
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
∵
课堂小结
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系

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