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浙江省台州市三门县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·三门期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八下·三门期末）下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可判断A选项；如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断B、C、D三个选项.
3．（2024八下·三门期末）在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
又∵∠D=120°，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠A的度数.
4．（2024八下·三门期末）下列式子计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不等于，故本选不符合题意；
B、不等于，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B、D选项；根据二次根式的乘法法则“”进行计算后再根据二次根式的性质化简后可判断C选项.
5．（2024八下·三门期末）一次函数上有两点，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴y随x增大而增大，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，根据一次函数的增减性，结合题意比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
6．（2024八下·三门期末）水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（　　）．
A． B．
C． D．它们的大小关系不确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果，
∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，
∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即，
故答案为：B．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小，而根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案．
7．（2024八下·三门期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故答案为：B．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形EFGH是平行四边形，据此可判断甲说法正确；根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，据此可得答案．
8．（2024八下·三门期末）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题干给出的图象判断出k、b的正负，进而再根据k、b的正负判断出y=bx+k所经过的象限，得到其大致图象.
9．（2024八下·三门期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等图形的概念；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，如图所示：
根据轴对称可知：，，，，
∵矩形中，
∴，
∵三个全等菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，由轴对称的性质得出∠ECN=∠FCM，CN=CM=MN，AG=AH=GH，由全等菱形性质得BF=CF，∠QAB=QBA，∠AFC=∠AFB，由周角定义可推出∠AFC=∠AFB=135°，由二直线平行，同旁内角互补得∠FAQ=45°，根据菱形每条对角线平分一组对角得∠BAQ=∠ABQ=22.5°，由平角定义推出∠GAK=∠HAQ=22.5°，然胡可证出∠BAH=∠ABH=45°，由等角对等边得AH=BH，由等腰直角三角形的性质、平角定义可推出∠PCB=∠CBP=22.5°，由等角对等边得CP=BP，设CM=AH=BH=a，BM=PM=x，则BP=CP=a-x，由等腰直角三角形的性质得，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可．
10．（2024八下·三门期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【知识点】分段函数；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 当时，则；
当时，则；
如图：
∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得，故①是错误的；
结合图象，当时，y随着x的增大而减小，
当时，y随着x的增大而增大，故②是错误的，③是正确的；
结合图象，函数有最小值，故④是正确的.
故答案为：D．
【分析】此题函数解析式含有绝对值符号，需要分当时与当，两种情况分别根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简整理成一般形式，发现该函数是分段函数，然后利用描点法分别画出函数图象，运用数形结合思想判断出函数的增减性及最值，即可逐一判断得出答案.
11．（2024八下·三门期末）当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
12．（2024八下·三门期末）某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
　 专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是　 　．
【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
甲的成绩为：
乙的成绩为：
丙的成绩为：
∵，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，据此分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可.
13．（2024八下·三门期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．（2024八下·三门期末）直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　．
【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，
斜边上的中线长为；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
斜边上的中线长为，
综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4．
【分析】此题没有明确告知长度为6和8的边长是直角边还是斜边，故需要分类讨论：①6和8都为直角边，根据勾股定理算出斜边的长；②8为斜边，6为直角边，分别利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．
15．（2024八下·三门期末）若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线过点，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点将点A（2，3）代入y=kx+b得出3k+b=2，把3k+b=2代入方程kx+2k+b=2，整理得出，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，再结合，得出，求出x的值即可．
16．（2024八下·三门期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小：　 　；
（2）若，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
17．（2024八下·三门期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质“”化简二次根式，最后计算加法即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，同时根据二次根式化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024八下·三门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
19．（2024八下·三门期末）如图，一次函数的图象过点，．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
（2）解：关于x的不等式的解集.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：观察图象可知：时，.
【分析】（1）将A、B两点代入一次函数y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象看该一次函数的函数值y随x的增大而减小，求关于x的不等式kx+b≤-2的解集，就是求射线AB上自变量x的取值范围，据此求解即可.
（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
故答案为：．
（2）解：观察图像可知：时，，
故答案为：．
20．（2024八下·三门期末）如图，在正方形中，以B为圆心，长为半径画圆弧，与的延长线相交于点E，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
由题意可得，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，，
∴AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形的每条对角线平分一组对角可得，再根据等边对等角及三角形的内角和定理求得，然后根据角的和差即可解答；
（2）由正方形四边相等，四个角都是直角得AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，然后利用勾股定理算出BD的长，再根据题意可知，最后再运用勾股定理求解即可．
（1）解：∵正方形，
∴，
由题意可得，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵正方形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（2024八下·三门期末）某校为了解七年级学生暑期体育锻炼情况，进行了两次跳绳水平测试（安排在学生就读七年级第二学期结束前与八年级第一学期开学初），每次测试成绩满分均为10分（分值为整数）．随机抽取了15名学生的两次成绩，数据整理如图（单位：分）：
（1）学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是__________分；
（2）图中有两个点重叠了，所以只显示了14个点，查原始数据发现有5个学生的两次成绩不变，且第二次成绩中有2个学生满分．请你在图中圈出这个重叠的点；
（3）根据统计图提供的信息，请你对该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况进行评价．
【答案】（1）4
（2）解：∵第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标为10的点只有一个
∴这个重合的点应该是，如图
（3）解：如图
直线l表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，
从图可得直线l右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成绩差于第一次，
所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降．
【知识点】趋势图
【解析】【解答】（1）解：∵统计图可以看出横坐标为3的点只有一个，其纵坐标为4，
∴学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是4分．
故答案为：4；
【分析】（1）根据图象直接解答；
（2）根据第二次成绩中有2个学生满分，由图象可得图中纵坐标为10的点只有一个，从而即可得出答案；
（3）画出第一象限角的角平分线l，直线l的点表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，观察点的分布情况即可作出评价.
（1）解：∵统计图可以看出横坐标为3的点只有一个，其纵坐标为4，
∴学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是4分．
故答案为：4
（2）解：∵第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标为10的点只有一个
∴这个重合的点应该是，如图
（3）解：如图
直线l表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，
从图可得直线l右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成绩差于第一次，
所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降．
22．（2024八下·三门期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
【答案】（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，当时，，
∵四边形是菱形，
∴，AC⊥BD，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）大于等于，小于等于．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
【分析】（1）结合x代表的是AC的长度，y代表的是BD的长，即可得出答案；
（2）连接BD交AC于O，当AC=18cm时，BD=24cm，由菱形的对角线互相平分得OA=AC=9cm，OB=BD=12cm，则由勾股定理算出AB=15cm，由于菱形的边长不变即AB=15cm是一个定值，当AC=xcm时，则，由勾股定理得表示出OB，然后根据y=2OB得出y关于x的函数解析式；
（3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案．
（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，
当时，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
23．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
24．（2024八下·三门期末）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，求证：四边形是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：由题意得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）线段之间的数量关系为．
证明：连接，如图所示：
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴线段之间的数量关系为．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质求出，，再利用AAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据菱形的性质证明求解即可；
（3）利用SAS证明，再利用勾股定理求出，最后证明求解即可。
（1）证明：由题意得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（3）线段之间的数量关系为．
证明：连接，如图所示：
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴线段之间的数量关系为．
1 / 1浙江省台州市三门县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·三门期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·三门期末）下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6
3．（2024八下·三门期末）在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·三门期末）下列式子计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·三门期末）一次函数上有两点，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
6．（2024八下·三门期末）水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（　　）．
A． B．
C． D．它们的大小关系不确定
7．（2024八下·三门期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
8．（2024八下·三门期末）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·三门期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·三门期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
11．（2024八下·三门期末）当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
12．（2024八下·三门期末）某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
　 专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是　 　．
13．（2024八下·三门期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
14．（2024八下·三门期末）直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　．
15．（2024八下·三门期末）若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为　 　．
16．（2024八下·三门期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小：　 　；
（2）若，则的值为　 　．
17．（2024八下·三门期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·三门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
19．（2024八下·三门期末）如图，一次函数的图象过点，．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
20．（2024八下·三门期末）如图，在正方形中，以B为圆心，长为半径画圆弧，与的延长线相交于点E，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
21．（2024八下·三门期末）某校为了解七年级学生暑期体育锻炼情况，进行了两次跳绳水平测试（安排在学生就读七年级第二学期结束前与八年级第一学期开学初），每次测试成绩满分均为10分（分值为整数）．随机抽取了15名学生的两次成绩，数据整理如图（单位：分）：
（1）学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是__________分；
（2）图中有两个点重叠了，所以只显示了14个点，查原始数据发现有5个学生的两次成绩不变，且第二次成绩中有2个学生满分．请你在图中圈出这个重叠的点；
（3）根据统计图提供的信息，请你对该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况进行评价．
22．（2024八下·三门期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
23．（2024八下·三门期末）根据以下素材，探索完成任务．
有趣的迭代函数
素材 已知一次函数和（是常数，），我们称是的迭代函数．如函数的迭代函数是，即．
素材 当时，函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，我们称点是这个函数的迭代点．
问题解决
任务 直接写出函数的迭代函数及这个函数迭代点的坐标．
任务 求证：对于任意（是常数，）的迭代函数，随的增大而增大．
任务 若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
24．（2024八下·三门期末）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，求证：四边形是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，请写出线段之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可判断A选项；如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断B、C、D三个选项.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，
又∵∠D=120°，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠A的度数.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不等于，故本选不符合题意；
B、不等于，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B、D选项；根据二次根式的乘法法则“”进行计算后再根据二次根式的性质化简后可判断C选项.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴y随x增大而增大，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，根据一次函数的增减性，结合题意比较两点横坐标的大小即可判断出对应函数值的大小.
6．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果，
∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，
∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即，
故答案为：B．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小，而根据题意可得顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，据此可得答案．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故答案为：B．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形EFGH是平行四边形，据此可判断甲说法正确；根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，据此可得答案．
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；据此结合题干给出的图象判断出k、b的正负，进而再根据k、b的正负判断出y=bx+k所经过的象限，得到其大致图象.
9．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，如图所示：
根据轴对称可知：，，，，
∵矩形中，
∴，
∵三个全等菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，由轴对称的性质得出∠ECN=∠FCM，CN=CM=MN，AG=AH=GH，由全等菱形性质得BF=CF，∠QAB=QBA，∠AFC=∠AFB，由周角定义可推出∠AFC=∠AFB=135°，由二直线平行，同旁内角互补得∠FAQ=45°，根据菱形每条对角线平分一组对角得∠BAQ=∠ABQ=22.5°，由平角定义推出∠GAK=∠HAQ=22.5°，然胡可证出∠BAH=∠ABH=45°，由等角对等边得AH=BH，由等腰直角三角形的性质、平角定义可推出∠PCB=∠CBP=22.5°，由等角对等边得CP=BP，设CM=AH=BH=a，BM=PM=x，则BP=CP=a-x，由等腰直角三角形的性质得，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可．
10．【答案】D
【知识点】分段函数；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 当时，则；
当时，则；
如图：
∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得，故①是错误的；
结合图象，当时，y随着x的增大而减小，
当时，y随着x的增大而增大，故②是错误的，③是正确的；
结合图象，函数有最小值，故④是正确的.
故答案为：D．
【分析】此题函数解析式含有绝对值符号，需要分当时与当，两种情况分别根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简整理成一般形式，发现该函数是分段函数，然后利用描点法分别画出函数图象，运用数形结合思想判断出函数的增减性及最值，即可逐一判断得出答案.
11．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
12．【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
甲的成绩为：
乙的成绩为：
丙的成绩为：
∵，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
【分析】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总和，再利用总和除以权重的总和即可得到该数组的加权平均数，据此分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，
斜边上的中线长为；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
斜边上的中线长为，
综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4．
【分析】此题没有明确告知长度为6和8的边长是直角边还是斜边，故需要分类讨论：①6和8都为直角边，根据勾股定理算出斜边的长；②8为斜边，6为直角边，分别利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．
15．【答案】
【知识点】解一元一次方程；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线过点，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点将点A（2，3）代入y=kx+b得出3k+b=2，把3k+b=2代入方程kx+2k+b=2，整理得出，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，再结合，得出，求出x的值即可．
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质“”化简二次根式，最后计算加法即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，同时根据二次根式化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
19．【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
（2）解：关于x的不等式的解集.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：观察图象可知：时，.
【分析】（1）将A、B两点代入一次函数y=kx+b可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）从图象看该一次函数的函数值y随x的增大而减小，求关于x的不等式kx+b≤-2的解集，就是求射线AB上自变量x的取值范围，据此求解即可.
（1）解：∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
故答案为：．
（2）解：观察图像可知：时，，
故答案为：．
20．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，
由题意可得，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，，
∴AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形的每条对角线平分一组对角可得，再根据等边对等角及三角形的内角和定理求得，然后根据角的和差即可解答；
（2）由正方形四边相等，四个角都是直角得AB=AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，然后利用勾股定理算出BD的长，再根据题意可知，最后再运用勾股定理求解即可．
（1）解：∵正方形，
∴，
由题意可得，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵正方形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）4
（2）解：∵第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标为10的点只有一个
∴这个重合的点应该是，如图
（3）解：如图
直线l表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，
从图可得直线l右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成绩差于第一次，
所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降．
【知识点】趋势图
【解析】【解答】（1）解：∵统计图可以看出横坐标为3的点只有一个，其纵坐标为4，
∴学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是4分．
故答案为：4；
【分析】（1）根据图象直接解答；
（2）根据第二次成绩中有2个学生满分，由图象可得图中纵坐标为10的点只有一个，从而即可得出答案；
（3）画出第一象限角的角平分线l，直线l的点表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，观察点的分布情况即可作出评价.
（1）解：∵统计图可以看出横坐标为3的点只有一个，其纵坐标为4，
∴学生甲第一次成绩是3分，则该生第二次成绩是4分．
故答案为：4
（2）解：∵第二次成绩中有2个学生满分，而图中纵坐标为10的点只有一个
∴这个重合的点应该是，如图
（3）解：如图
直线l表示第二次与第一次的成绩相同，直线l左侧的点表示第二次的成绩优于第一次，直线l右侧的点表示第二次成绩差于第一次，
从图可得直线l右侧的点远远多于左侧的点，即更多的学生第二次成绩差于第一次，
所以该校七年级学生暑期跳绳锻炼情况较差，造成成绩下降．
22．【答案】（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，当时，，
∵四边形是菱形，
∴，AC⊥BD，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）大于等于，小于等于．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
【分析】（1）结合x代表的是AC的长度，y代表的是BD的长，即可得出答案；
（2）连接BD交AC于O，当AC=18cm时，BD=24cm，由菱形的对角线互相平分得OA=AC=9cm，OB=BD=12cm，则由勾股定理算出AB=15cm，由于菱形的边长不变即AB=15cm是一个定值，当AC=xcm时，则，由勾股定理得表示出OB，然后根据y=2OB得出y关于x的函数解析式；
（3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案．
（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，
当时，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
23．【答案】解：任务1：，
任务2：证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，随的增大而增大；
任务3：，
证明：由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点，
联列，得：，
解得：，
即点坐标为，
∴若点的坐标为时，则的数量关系为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】任务1：解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联立，得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
【分析】任务1：根据迭代函数的定义即可写出函数的迭代函数，再联立两函数解析式，求解即可得到迭代点的坐标；
任务2：根据迭代函数的定义写出的迭代函数，然后整理成一般形式，进而根据一次函数y=ax+b(a≠0)当a＞0时，y随x的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，并结合偶数次幂的非负性即可得出结论
任务：联列函数和它的迭代函数，解方程组，用含k、b的式子表示x、y，即可求出点P坐标，即可得出结论.
24．【答案】（1）证明：由题意得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）线段之间的数量关系为．
证明：连接，如图所示：
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴线段之间的数量关系为．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质求出，，再利用AAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据菱形的性质证明求解即可；
（3）利用SAS证明，再利用勾股定理求出，最后证明求解即可。
（1）证明：由题意得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（3）线段之间的数量关系为．
证明：连接，如图所示：
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴线段之间的数量关系为．
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