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2025年陕西省宝鸡市陇县九年级下学期第一次学业水平模考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．-8的倒数是（　　）
A．-8 B．8 C．- D．
2．某积木配件如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，，的平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，点分别是边的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，图象经过，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，，点为对角线的中点，过点作于，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数，且），点，，均在该抛物线上，则m、n、b的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b ．（填“”“”或“”）
10．如图，正六边形的一条边长为，则该正六边形的中心到其中一边的距离为 ．
11．如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为 °．
12．已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，当时，的取值范围是 ．
13．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．化简：．
16．解方程：．
17．如图，已知直线和射线，请用尺规作图法在射线上求作点D，连接，使是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：．
19．今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？
20．数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法．
(1)“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率．
21．一天，军军想测量某塔的高度，如图，他在处观察塔的顶端的视线与水平地面的夹角，在点处有一棵高为的小树，当他从点处沿着方向移动到达点处时（即），此时发现塔的顶端点，小树的顶端以及点恰好在同一条直线上，已知图中所有点均在同一平面内，，，点在同一条直线上，，求该塔的高度．（参考数据：，，）
22．2025年2月23日，第34届国际乒联—亚乒联盟亚洲杯在深圳大运中心落幕，中国乒乓球队再次展现了他们的强大实力，包揽了男、女单打冠军，以及全部奖牌．某校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．为表彰运动会上取得优异成绩的参赛选手，学校计划购买甲、乙两种体育用品共100件，已知甲体育用品每件50元，乙体育用品每件60元．设学校购买甲体育用品x件，购买这两种体育用品的总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该校要求购买的甲种体育用品的数量不多于乙种体育用品的3倍，求学校购买这两种体育用品所需的最少总费用．
23．每年的月日是“世界森林日”，它是倡导绿色文明，保护森林生态的国际性节日．为提高学生的环保意识，树立人与自然和谐相处的理念，某校面向全校征集绘画作品（每班必须参加），并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整，本次所抽取班级征集到的作品数量的中位数为 件，本次所抽取班级征集到的作品数量的众数为 件；
(2)求本次所抽取班级征集到的作品的平均数量；
(3)若该校共有个班，请你估计该校征集到的作品总数量．
24．如图，在中，内接于，连接并延长，交于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．素材一：聪聪家的草苺大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线（部分）构成，如图所示，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系．
素材二：爸爸想扩大种植规模，计划在原有大棚的左侧再建一个同样大小的大棚，两个大棚共用支撑杆，聪聪帮爸爸画出了如图所示的设计图，所在抛物线与所在抛物线关于y轴对称（，）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了加固，现需在地面上的M、N、、处至大棚棚顶分别加装四根立柱、、、（均与地面DC垂直），点P、Q在抛物线上，、在抛物线上，点M、N关于轴的对称点分别为点，，且米，则需要的立柱总长度是多少米？
26．问题探究
（1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ；
（2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长；
问题解决
（3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
《2025年陕西省宝鸡市陇县九年级下学期第一次学业水平模考数学试卷》参考答案
1．C
解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1，
因此-8的倒数是-．
故选：C．
2．C
解：从上面看，能看到半个圆，即看到的图形如下：
故选：．
3．C
解：，，
，
平分，
．
故选：．
4．B
解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
故选：B．
5．A
解：点分别是边的中点，
，
在中，，点是的中点，
，
，
故选：．
6．B
解：一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，
函数解析式为：，
∵平移后的函数图象经过点，
，
解得：；
故选：B
7．C
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
解：抛物线的对称轴为，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
9．
解：观察数轴可知，且，
∴．
故答案为：．
10．
解：如下图所示，连接、，过点作，
六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
在中，．
故答案为：．
11．120
解：∵四边形内接于，且，
∴，
∴．
故答案为：120．
12．
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴反比例函数的关系式为．
当时，，
∵反比例函数的图象位于第二四象限，且在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大，
∴当时，．
故答案为：．
13．2
解：如图，连接DQ，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∴，即.
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
所以点在直线DQ上运动，故当时，OQ最小，
过点作，
在中，，
∴，
所以长度的最小值是2．
故答案为：2.
14．
解：原式
．
15．
解：
．
16．
解：方程两边同乘得，，
移项，整理，得，
系数化为1，得.
检验：当时，，
是原方程的解．
17．见解析
解：如图，点即为所作．
18．见解析
证明：，
，
即，
在和中，，，
，
，
．
19．此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵
解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵，
根据题意得：，
解得：，
（棵），
答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵．
20．(1)随机；
(2)他们两人所抽卡片中有卡片的概率是．
（1）解：五张卡片中只有一张卡片，
五张卡片中随机抽取一张卡片，抽到是的概率是，
该事件可能发生，也可能不发生，
该事件属于随机事件．
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中他们两人所抽卡片中有卡片的有种结果，
（他们两人所抽卡片中有卡片）．
答：他们两人所抽卡片中有卡片的概率是．
21．该塔的高度为．
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得，
在中，，
∴，
∴，
联立，解得，
答：该塔的高度为．
22．(1)
(2)学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元
（1）解：由题意，得；
（2）解：由题意，得，
解得.
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
（元），
答：学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元．
23．(1)图见解析，，；
(2)本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为件；
(3)估计该校征集到的作品总数量为件．
（1）解：结合条形统计图和扇形统计图可得：
本次所抽取班级数为个，
则作品数量为件的班级数为个，
补全条形统计图如下：
抽取的班级数为偶数，则中位数应取所抽取班级征集到的作品数量按顺序排列后的第十和第十一个的平均数，
则结合统计图可得，本次所抽取班级征集到的作品数量的中位数为件；
作品数量为件的班级数最多，则本次所抽取班级征集到的作品数量的众数为件．
故答案为：，．
（2）解：结合补全的条形统计图可得，
本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为（件）．
答：本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为件．
（3）解：根据（2）估计该校征集到的作品总数量是（件）．
答：估计该校征集到的作品总数量为件．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
25．(1)
(2)需要的立柱总长度是18米
（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，拋物线过点，
可设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，
的函数表达式为，
，
，，
点M、N关于抛物线的对称轴对称，
点M、N关于轴的对称点分别为点、，
，
当时，，，
需要的立柱总长度是18米．
26．（1）；
（2）；
（3）的周长存在最小值，其最小值为．
解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，
由对称性质可得，，，
则取得最小值即取最小值，
且当点是与轴的交点时，取得最小值，
设直线的解析式为，
将，代入解得，
当时，，
即，
．
故答案为：．
（2）在中，，，点为边的中点，
，，
，
，
是公共角，
，
，
即，
解得．
（3），，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
，
，
即为定值，故只需求出的最小值即可，
如图，过作，作点关于的对称点，连接，则，
，
故为的最小值，
过作于点，
由等面积法知，
，，
，
，
，
周长的最小值为．
故的周长存在最小值，其最小值为．

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