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吉林省 2025 年初中学业水平考试暨第四次统一模拟联考 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
7 ﹣．（3分）已知（m﹣3）x|m 2|≤5是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为 ．
数学试题 8．（3分）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则 FD的值为 ．9．（3分）某银行二年定期储蓄的年利率是 2.25%，小杰的父亲取出二年到期的本利和共 26125元，那么小杰的父亲存
审题人：数学备考组 入的本金是 元．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，0），P是 y轴正半轴上的一个动点，△ABP是等腰直角三角形，∠
注意事项： BAP＝90°，C是点 P正上方一点，连接 BC，若∠BCP＝45°，则 PC的长为 ．
1.信息填写：务必用黑色签字笔在试卷、答题卡指定区域准确填写姓名、考号等个人信息，粘贴条形码
时确保平整无褶皱。
2.文具要求：选择题用 2B铅笔规范填涂，主观题用黑色签字笔作答，禁用修正液、胶带等涂改工具，
携带符合规定的文具。
3.答题规范：答案必须写在答题卡对应区域内，超出答题区域或在试卷、草稿纸上作答无效，字迹清晰
工整。
4.时间管理：开考信号发出后答题，结束信号发出立即停笔，合理分配答题时间，先易后难。
5.考场纪律：严禁携带手机、智能设备等违禁物品，不得交头接耳、抄袭，服从监考人员安排 。
一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
1．（3分）﹣2025的绝对值是（ ）
1 第 8题图 第 10题图 第 11题图
A．﹣2025 B．2025 C 1． 2025 D．2025 11．（3分）如图，菱形 ABCD的周长为 24，∠ABC＝5∠BAD，以点 B为圆心的 与 AD、CD分别相切，则图中阴影
2．（3分）如图是由 5个相同的小立方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） 部分（即扇形 EBF）的面积是 .（结果保留π）
三．解答题（共 11 小题，满分 87 分）
2
12 6 2 2 +1．（ 分）先化简，再求值：(1 +1 ) ÷ +1 ，其中 a＝3．
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
A x﹣2 x﹣2 x﹣4 B 2x6÷x3 2x2 C ( 2 2) 2 = 1 2 4 D y﹣1÷y﹣． ＝ ． ＝ ． 4 ．
3＝y2
4．（3分）若 x＝3是关于 x的一元一次方程 4x﹣m+1＝0的解，则 m的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（3分）在菱形 ABCD中，已知 AB＝5，BD＝8，AC与 BD相交于点 O，点 E为 OD上一点，将△ADE沿着 AE翻折 13．（6分）如图 1．线段 AE和 BD相交于点 C，连接 AB，DE．四张卡片除正面分别写着如图 2所示的四个不同的条
得到△AFE，使点 F落在边 BC上，则 DE的长为（ ） 件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
第 5题图 第 6题图 （1）若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明△BCA≌△DCE
12 25 的概率是 ．
A． B．2.5 C．3 D．
5 8 （2）若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明△ABC≌△EDC的概率，用树状图法进行计算．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径且 AB＝2，弦 CD与 AB相交于点 E，连接 BC，BD．若∠ABC＝30°，则 的长度
为（ ）
2
A． B． C． D．
6 3 3 12
九年数学试卷第 1页（共 4 页）
14．（6分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的 A、B两种书籍．若购买 2本 A种书籍 17．（7分）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图 1），将其放置在水平桌面上的侧
和 3本 B种书籍需用 160元；若购买 6本 A种书籍与购买 7本 B种书籍的费用相同．求每本 A种书籍和每本 B种书 面示意图（如图 2），测得面板 DE长为 24cm，CD为 6cm（厚度忽略不计）．当面板 DE绕点 C转动时，面板与桌面
籍的价格各为多少元． 即水平方向的夹角α满足 30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从 30°变化到 70°的过程中，面板上端 E离
桌面 l的高度增加了多少？（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
15．（7分）如图，图 1，图 2均是 8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，A，
B，C，E均在格点上．在图 1，图 2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保
留作图痕迹） 18．（8分）某公司为检验员工职业技能水平，对员工进行行业技能测试，测试满分为 30分，成绩分为四个等级：A（优
秀，分数范围 x≥26），B（良好，分数范围 22≤x＜26），C（及格，分数范围 18≤x＜22），D（不及格，分数范围 x
＜18）．若该公司成绩平均分低于该公司所在区域行业平均分，则该公司的员工需进行进修学习．该公司员工成绩所
属等级及人数统计如图表 1，成绩分析如图表 2，该公司所在区域行业分数和成绩统计如图表 3．
图表 1：
图表 2：
成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率
20 23 20% m
图表 3：
成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率
（1）在图 1中作四边形 ABCD，使得四边形 ABCD是中心对称图形；
（2）在图 2中作△ABC的中位线 EF，点 F为 AC中点，并求出 EF的长． 22 23 23% 80%
（1）求 m的值．
（2）若该公司成绩排名（从高到低）第 10名员工的成绩为 24分，请你计算出排名为第 11名员工的成绩．
（3）若该公司部分员工有科研技术奖励分值，分值为 10分，将科研技术奖励分值重新算入成绩后，员工进修情况
会发生变化，请求出至少有多少名员工有科研技术奖励分值．
16 7 xOy y = 1x+3 ．（ 分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 1 2 的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（﹣2，
m），B（n，﹣1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若 y1＞y2，请直接写出满足条件的 x的取值范围．
九年数学试卷第 2页（共 4 页）
19．（8分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长 20．（10分）如图①，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在边 AB、BC上，DF⊥CE于点 O，点 G，H分别在边 AD、
到大约 20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与 BC上，GH⊥CE．
生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示． （1）问题解决：①写出 DF与 CE的数量关系： ；
（1）分别求出当 0≤x≤15与 15≤x≤60时，y与 x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗生长到第 30 ② 的值为 ；天时，高度大约为多少厘米？
（3）当这种瓜苗长到大约 80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结
（2）类比探究，如图②，在矩形 ABCD中， = （k为常数），将矩形 ABCD沿 GH折叠，使点 C落在 AB边上
果？
的点 E处，得到四边形 EFGH交 AD于点 P，连接 CE交 GH于点 O．试探究 GH与 CE之间的数量关系，并说明理
由；
（3）拓展应用，如图③，四边形 ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝6，AD＝CD＝4，BF⊥CE，点 E、F分别在

边 AB、AD上，求 的值．

九年数学试卷第 3页（共 4 页）
21．（10分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点 P以每秒 1个单位长度的速度，从点 A出发沿 AB方向 22．（12分）在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的顶点 A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），顶点为 M的抛物线
向终点 B运动，同时，点 Q以每秒 2个单位长度的速度，从点 B出发沿 BC方向向终点 C运动，当其中一个点到达 y＝﹣x2+bx+c经过点 A，B，且与 x轴交于点 D，E（点 D在点 E的左侧）
终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t秒，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式；
（1）当 t为何值时，PQ∥AC； （2）若抛物线 y＝﹣x2+bx+c对称轴上存在一点 Q，当△ADQ的周长最小时，直接写出 Q点坐标；
（2）在点 P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6？若存在，请求出 t的值；若不存在， （3）当 t≤x≤t+1时，﹣12≤y≤﹣5，求 t的值；
请说明理由． （4）平移抛物线 y＝﹣x2+bx+c，使抛物线的顶点始终在直线 AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段 BM有
（3）如图 2，E是 AC的中点，连接 BE，与 PQ交于点 O，是否存在某一时刻 t，使得 PQ⊥BE？若存在，请求出 t 公共点时，求抛物线顶点的横坐标 m的取值范围．
的值；若不存在，请说明理由．
九年数学试卷第 4页（共 4 页）
吉林省2025年 初中 学业水平考试暨第四次统一模拟联考模拟联考 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
数学 答题卡
（2） 16.（7分）
姓名
（1）
考场号
贴条码区域
座位号
1.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。
注
2 考生禁填正确填涂.客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。
(由监考老师填涂)
意 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 （2）
4.必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 缺考
事 错误填涂
5.保持答卷清洁完整。 14.（6分）
违规
项
一、选择题
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题
7、 8、 17.（7分）
9、 10、
11、
三、解答题
15.（7分）
12.（6分）
（1）
（2）
13.（6分）
（1）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第1页 共6页 第2页 共6页 第3页 共6页
请保持答题卡干净整洁，不要污损
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
18.（8分） 20.（10分） 22.（12分）
（1） （1）① ② （1）
（2）
（2） （2）
（3）
（3） （3）
19 21.（10分）.（8分）
（4）
（1）
（1）
（2）
（2）
（3）
（3）
请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效
第4页 共6页 第5页 共6页 第6页 共6页
吉林省 2025 年初中学业水平考试暨第四次统一模拟联考 C、计算正确，不符合题意；D、计算正确，不符合题意．
数学试题·参考答案 故选：B．4．（3分）若 x＝3是关于 x的一元一次方程 4x﹣m+1＝0的解，则 m的值为（ ）
一．选择题（共 6 小题） A．10 B．11 C．12 D．13
题号 1 2 3 4 5 6 【分析】根据一元一次方程的解得概念即可求出 m的值．
B A B D D C 【解答】解：将 x＝3代入 4x﹣m+1＝0，得答案
12﹣m+1＝0，
解得 m＝13．
一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
故选：D．
1．（3分）﹣2025的绝对值是（ ）
5．（3分）在菱形 ABCD中，已知 AB＝5，BD＝8，AC与 BD相交于点 O，点 E为 OD上一点，将△ADE沿着 AE翻折
1
A．﹣2025 B．2025 C 1． 得到△AFE，使点 F落在边 BC上，则 DE的长为（ ）2025 D．2025
【分析】根据绝对值的定义即可解决问题．
【解答】解：由题知，
﹣2025的绝对值是 2025．
故选：B．
2．（3分）如图是由 5个相同的小立方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
12 25
A． B．2.5 C．3 D．
5 8
【分析】证明 EA＝ED，设 EA＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝5，BC∥AD，∠ADB 1＝∠BDC，AC⊥BD，OB＝OD= 2BD＝4，
A． B． ∴OA= 52 42 =3，
由翻折变换的性质可知 AF＝AD，
∴AF＝CD，∠DAE＝∠EAF，
∴四边形 AFCD是等腰梯形，
C． D． ∴∠CDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案，
∴EA＝ED，
【解答】解：这个组合体的左视图为：
设 EA＝DE＝x，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
x= 25∴ 8 ，
．
故选：D．
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径且 AB＝2，弦 CD与 AB相交于点 E，连接 BC，BD．若∠ABC＝30°，则 的长度
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
为（ ）
A．x﹣2 x﹣ 2 ﹣＝x 4
B．2x6÷x3＝2x2
C．( 2 2) 2 = 14
2 4
D．y﹣1 ﹣÷y 3＝y2
【分析】根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案．
【解答】解：据相关计算法则逐项分析判断如下：
2
A、x﹣2 x﹣2 x﹣ ＝ 4，计算正确，不符合题意； A． B． C． D．
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B、计算结果是 2x3，计算错误，符合题意；
【分析】连接 OC，根据 OC＝OB，可得∠BCO＝∠ABC＝30°，从而得到∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠ABC＝120°，
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再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接 OC，
由条件可知∠BCO＝∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠ABC＝120°，
∵直径 AB＝2， 【分析】过点 B作 BM⊥x于点 M，BN⊥y轴于点 N，证明△ABM≌△PAO得 PO＝AM，证明四边形 ONBM是矩形
∴半径为 1， 得 ON＝BM＝3，然后根据 PC＝CN﹣PN即可求解．
120× ×1 2 【解答】解：如图，过点 B作 BM⊥x于点 M，BN⊥y轴于点 N，∴ 的长度为 = ．
180 3
故选：C．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
7．（3分）已知（m﹣3）x|m﹣2|≤5是关于 x的一元一次不等式，则 m的值为 1 ．
【分析】根据一元一次不等式得到|m﹣2|＝1且 m﹣3≠0，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，得|m﹣2|＝1且 m﹣3≠0，
∴m﹣2＝1或 m﹣2＝﹣1且 m≠3，
∴m＝3或 m＝1且 m≠3，
∴m＝1，
故答案为：1．
8．（3分）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则 FD的值为 5 ． 由条件可知 AP＝AB，∠BAP＝90°，
∴∠PAO+∠BAM＝90°，
∵∠OPA+∠PAO＝90°，
∴∠OPA＝∠BAM，
∴△ABM≌△PAO，
【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． ∴PO＝AM，OA＝BM，
【解答】解：∵AD＝2，BD＝3， ∵A（3，0），
∴AB＝AD+BD＝5， ∴OA＝3，
∵△ABC≌△FDE， ∴BM＝3，
∴FD＝AB＝5． ∵∠BNO＝∠BMO＝∠MON＝90°，
故答案为：5． ∴四边形 ONBM是矩形，
9．（3分）某银行二年定期储蓄的年利率是 2.25%，小杰的父亲取出二年到期的本利和共 26125元，那么小杰的父亲存 ∴ON＝BM＝3，
入的本金是 25000 元． ∵∠BCN＝45°，
【分析】先设小杰的父亲存入的本金是 x元，然后根据本息和＝本金+利息列出相应的方程，再求解即可． ∴∠CBN＝90°﹣45°＝45°，
【解答】解：设小杰的父亲存入的本金是 x元， ∴CN＝BN，
由题意可得：x+2.25%x×2＝26125， ∴PC＝CN﹣PN＝BN﹣（PO﹣ON）＝3+3＝6，
解得 x＝25000， 故答案为：6．
即小杰的父亲存入的本金是 25000元， 11．（3分）如图，菱形 ABCD的周长为 24，∠ABC＝5∠BAD，以点 B为圆心的 与 AD、CD分别相切，则图中阴影
故答案为：25000． 15
10 3 A 3 0 P y ABP 部分（即扇形 EBF）的面积是 .（结果保留π）．（ 分）如图，在平面直角坐标系中，点 （ ， ）， 是 轴正半轴上的一个动点，△ 是等腰直角三角形，∠ 4
BAP＝90°，C是点 P正上方一点，连接 BC，若∠BCP＝45°，则 PC的长为 6 ．
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【分析】设以点 B为圆心的 与 AD相切于点 H，连接 BH，则∠AHB＝90°，由菱形形 ABCD的周长为 24，求得
AB＝6，由∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝5∠BAD，得 5∠BAD+∠BAD＝180°，求得∠BAD＝30°，则∠EBF
＝150°，BH= 12AB 3
15
＝ ，根据扇形的面积公式求得 S 阴影= 4 ，于是得到问题的答案． （1）若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明△BCA≌△
【解答】解：设以点 B为圆心的 与 AD相切于点 H，连接 BH，则 AD⊥BH， 2
∴∠AHB 90 DCE的概率是 ．＝ °， 3
∵菱形形 ABCD的周长为 24， （2）若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明△ABC≌△EDC的概率，用树状图法进行计算．
∴4AB＝24， 【分析】（1）先判断能得到△BCA≌△DCE的结果，再利用概率公式进行计算即可；
∴AB＝6， （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
∵BC∥AD， 【解答】解：（1）∵AB＝DE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴当∠B＝∠D时，△BCA≌△DCE（AAS）；
∵∠ABC＝5∠BAD， 当∠A＝∠E时，△BCA≌△DCE（AAS）；
∴5∠BAD+∠BAD＝180°， 当 BC＝CE时，无法得到△BCA≌△DCE；
∴∠BAD＝30°， 2
∴概率是 ；
3
∴∠EBF＝180°﹣∠BAD＝150°，BH= 12AB＝3， （2）如图：
S = 150 ×3
2
= 15 ∴ 阴影 360 4 ，
15
故答案为： ．
4
共 12种等可能的结果，由（1）可知，要证明△ABC≌△EDC只能是一边，一角，且边只能是③，满足要求的结果
有 4种，
= 4∴ 12 =
1
3．三．解答题（共 11 小题，满分 87 分）
2 2 2 +1 14．（6 分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的 A、B两种书籍．若购买 2本 A种书籍12．（6分）先化简，再求值：(1 +1 ) ÷ +1 ，其中 a＝3． 和 3本 B种书籍需用 160元；若购买 6本 A种书籍与购买 7本 B种书籍的费用相同．求每本 A种书籍和每本 B种书
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a＝3代入进行计算即可． 籍的价格各为多少元．
2 2 2 +1 【分析】设每本 A种书籍的价格为 x元，每本 B种书籍的价格为 y元，根据购买 2本 A种书籍和 3本 B种书籍需用
【解答】解：(1 +1 ) ÷ +1 160元；若购买 6本 A种书籍与购买 7本 B种书籍的费用相同，列出方程组，解之即可．
1 +1 【解答】解：设每本 A种书籍的价格为 x元，每本 B种书籍的价格为 y元，根据购买 2本 A种书籍和 3本 B种书籍= +1 ( 1)2 需用 160元；若购买 6本 A种书籍与购买 7本 B种书籍的费用相同可得：
1 2 + 3 = 160= 1， ∴ 6 = 7 ，
= 35
当 a＝3 1时，原式= 2． ∴ = 30．
13．（6分）如图 1．线段 AE和 BD相交于点 C，连接 AB，DE．四张卡片除正面分别写着如图 2所示的四个不同的条 答：每本 A种书籍的价格为 35元，每本 B种书籍的价格为 30元．
件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． 15．（7分）如图，图 1，图 2均是 8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，A，
B，C，E均在格点上．在图 1，图 2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保
留作图痕迹）
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【分析】（1）先根据一次函数的解析式确定 m、n的值，进而确定 A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解
答；
（1）在图 1中作四边形 ABCD，使得四边形 ABCD是中心对称图形； （2）直接根据函数图象即可解答．
（2）在图 2中作△ABC的中位线 EF，点 F为 AC中点，并求出 EF的长．
【解答】解：（1）∵一次函数 y1=
1
2x+3的图象过 A（﹣2，m），B（n，﹣1）两点．【分析】（1）作平行四边形 ABCD即可．
（2）利用网格取 AC的中点 F，连接 EF，利用勾股定理求出 AB的长，再结合三角形中位线定理可得答案．
∴m= 1 × ( 2) + 3，﹣1= 1n+3，
【解答】解：（1）如图 1，四边形 ABCD即为所求． 2 2
∴m＝4，n＝8，
∴A点坐标为（﹣2，4）两点 B点坐标为（8，﹣1）两点．
把 A 2 4 （﹣ ， ）代入 y2= ，求得 k＝﹣8，
∴反比例函数为 y2=
8
；
（2）观察图象，若 y1＞y2，则 x的取值范围是 x＜﹣2或 0＜x＜8．
17．（7分）为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图 1），将其放置在水平桌面上的侧
面示意图（如图 2），测得面板 DE长为 24cm，CD为 6cm（厚度忽略不计）．当面板 DE绕点 C转动时，面板与桌面
（2）如图 2，取 AC的中点 F，连接 EF， 即水平方向的夹角α满足 30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从 30°变化到 70°的过程中，面板上端 E离
则 EF即为所求． 桌面 l的高度增加了多少？（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
由勾股定理得，AB= 12 + 52 = 26， 【分析】过点 C作 CN∥l，过点 E作 EH⊥CN于点 H，利用直角三角形的函数比求解即可．
∵EF为△ABC的中位线， 【解答】解：过点 C作 CN∥l，过点 E作 EH⊥CN于点 H，
∴EF= 1 = 262 2 ．
16 7 xOy 1 ．（ 分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 y1= 2x+3的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（﹣2，
m），B（n，﹣1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若 y1＞y2，请直接写出满足条件的 x的取值范围．
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
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∴CE＝18cm． （2）由题意，成绩分为四个等级：A（优秀，分数范围 x≥26），B（良好，分数范围 22≤x＜26），C（及格，分数
1 范围 18≤x＜22），D（不及格，分数范围 x＜18），
当∠ECH＝30°时， = 30° = 18 × 2 = 9( )； 如图所示：
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴增加了约 7.9cm．
18．（8分）某公司为检验员工职业技能水平，对员工进行行业技能测试，测试满分为 30分，成绩分为四个等级：A（优
秀，分数范围 x≥26），B（良好，分数范围 22≤x＜26），C（及格，分数范围 18≤x＜22），D（不及格，分数范围 x
＜18）．若该公司成绩平均分低于该公司所在区域行业平均分，则该公司的员工需进行进修学习．该公司员工成绩所
属等级及人数统计如图表 1，成绩分析如图表 2，该公司所在区域行业分数和成绩统计如图表 3．
图表 1：
图表 2：
成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率 优秀成绩的有 4人，良好成绩的有 7人，则成绩中位数 23是第 10名与第 11名成绩的平均数，
20 23 20% m 设排名为第 11名员工的成绩为 n，
3 24+ 图表 ： ∴ = 23，解得 n＝22，
2
成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率
答：排名为第 11名员工的成绩为 22；
22 23 23% 80% （3）该公司所在区域行业分数和成绩统计如图表 3：
（1）求 m的值． 成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率
（2）若该公司成绩排名（从高到低）第 10名员工的成绩为 24分，请你计算出排名为第 11名员工的成绩．
22 23 23% 80%
（3）若该公司部分员工有科研技术奖励分值，分值为 10分，将科研技术奖励分值重新算入成绩后，员工进修情况
而成绩分析如图表 2：
会发生变化，请求出至少有多少名员工有科研技术奖励分值．
成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率
20 23 20% m
∵20＜22，
∴C（及格，分数范围 18≤x＜22），D（不及格，分数范围 x＜18）均需要进修学习，
∴员工进修情况要发生变化，即成绩平均分要不低于 22分，则总分需要增加 20×2＝40分，
∴至少有 4名员工有科研技术奖励分值，员工进修情况才会发生变化．
19．（8分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长
到大约 20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与
生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示．
【分析】（1）由图表 1，可知及格人数为 17，从而计算及格率即可得到答案； （1）分别求出当 0≤x≤15与 15≤x≤60时，y与 x之间的函数关系式；
（2）由题意，结合中位数的求法列方程求解即可得到答案； （2）当这种瓜苗生长到第 30天时，高度大约为多少厘米？
（3）根据题意，分析数据即可得到答案． （3）当这种瓜苗长到大约 80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结
【解答】解：（1）如图所示： 果？
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把 x＝30代入 = 103 30，即可求解；
（3 10）把 y＝80代入 = 3 30，即可求解．∴D（不及格，分数范围 x＜18）的人数是 3人，则及格人数为 4+7+6＝17，
17 【解答】解：（1）当 0≤x≤15时，设 y与 x之间的函数关系式为 y＝k1x，
∴及格率 = 20 = 0.85 = 85%； 把点（15，20）代入得：20＝15k1，
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4 【解答】解：（1）①证明：∵四边形 ABCD是正方形，
解得： 1 = 3， ∴BC＝DC，∠CBE＝90°＝∠DCF．
4 ∴∠FCO+∠OCD＝90°．
∴当 0≤x≤15时，y与 x之间的函数关系式为 = 3 ； ∵CE⊥DF，
当 15≤x≤60时，设 y与 x之间的函数关系式为 y＝k2x+b， ∴∠CDO+∠OCD＝90°．
把点（15，20），（60，170）代入得： ∴∠FCO＝∠CDO．
15 2 + = 20 10 ∴△CBE≌△DCF（ASA），
60 + = 170，解得：
2 = 3 ，
2 = 30 ∴CE＝DF．
15 x 60 y x = 10
故答案为：CE＝DF．
∴当 ≤ ≤ 时，设 与 之间的函数关系式为 3 30；
②结论： =1．

（2）当 x＝30时， = 103 × 30 30 = 70， 理由：∵DF⊥CE，GH⊥CE，
即当这种瓜苗生长到第 30天时，高度大约为 70厘米； ∴DF∥GH，
10 ∵FH∥DG，
（3）当 y＝80时，80 = 3 30， ∴四边形 DGHF是平行四边形，
解得：x＝33， ∴GH＝DF，
33﹣15＝18， ∵CE＝DF，
即继续生长大约 18天，开始开花结果． ∴GH＝CE，
20．（10分）如图①，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在边 AB、BC上，DF⊥CE于点 O，点 G，H分别在边 AD、
BC上，GH ∴ =1；⊥CE．
（1）问题解决：①写出 DF与 CE的数量关系： CE＝DF ；
（2） = ．

② 的值为 1 ；
理由：如图 2，作 GM⊥CB于 M．

（2）类比探究，如图②，在矩形 ABCD中， = （k为常数），将矩形 ABCD沿 GH折叠，使点 C落在 AB边上

的点 E处，得到四边形 EFGH交 AD于点 P，连接 CE交 GH于点 O．试探究 GH与 CE之间的数量关系，并说明理
由；
（3）拓展应用，如图③，四边形 ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝6，AD＝CD＝4，BF⊥CE，点 E、F分别在

边 AB、AD上，求 的值．

∵CE⊥GH，
∴∠COH＝∠GMH＝∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠CHO＝90°，∠CHO+∠HGM＝90°，
∴∠BCE＝∠HGM，
∴△CBE∽△GMH，

∴ = ，

【分析】（1）①证明△CBE≌△DCF（ASA），由全等三角形的性质得出 CE＝DF． ∵∠CMG＝∠D＝∠DCM＝90°，
②证明四边形 DGHF是平行四边形，由平行四边形的性质得出 GH＝DF，则可得出结论； ∴四边形 CMGD是矩形，
∴GM＝CD，
（2）作 GM⊥CB于 M．证明△CBE∽△GMH，由相似三角形的性质得出 = ，证明四边形 CMGD是矩形，由

∴ = = ，
矩形的性质得出 GM＝CD，则可得出结论；
（3）过点 C作 CM⊥AD，交 AD的延长线于点 M，过点 B作 BN⊥MC，连接 BD，证明△ABD≌△CBD（SSS），由
∵ = （k为常数），
2
全等三角形的性质得出∠BAD＝∠BCD＝90°，证明△MCD∽△NBC，由相似三角形的性质得出 = = = ，
3
由勾股定理求出 DM ∴ = ．的长，则可得出答案．
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（3）如图③，过点 C作 CM⊥AD，交 AD的延长线于点 M，过点 B作 BN⊥MC，连接 BD，
15 2
BAD 90 AM MN BN MN 【分析】（1）由 PQ∥AC，可得 = ，即 = ，解方程即可；∵∠ ＝ °， ⊥ ， ⊥ ， 15 24
∴四边形 ABNM是矩形，
（2）过点 A作 AF⊥BC于 F，作 PH⊥BC于 H，由 AF∥PH 3，可得△BPH∽△BAF，求得 PH＝9 t，根据三角形
∴∠M＝∠N＝90°，AM＝BN，MN＝AB＝6， 5
∵BC＝AB，AD＝CD，BD＝BD， 面积公式建立方程求解即可得出答案；
∴△ABD≌△CBD（SSS）， 9 17
∴∠BAD＝∠BCD 90 （3）过点 A作 AF⊥BC于 F，AM⊥BE于 K，交 BC于 M，过点 E作 EN⊥BC于 N，利用勾股定理可得 BE=＝ °， 2 ，
∴∠BCN+∠MCD＝90°，
S 2S AK= 24 17 BMK BEN MK= 57 17 BM= 57 9 17BCN+ CBN 90 利用 △ABC＝ △ABE，可求得 17 ，再证得△ ∽△ ，可得 ，∵∠ ∠ ＝ °， 68 4 ，AM＝AK+MK= 4 ，
∴∠MCD＝∠CBN， 15 2
再由 PQ∥AM，得 = ，即 =
15 57
，解方程即可．
又∵∠M＝∠N＝90°， 4
∴△MCD∽△NBC， 【解答】解：（1）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
2 ∴BP＝15﹣t，CQ＝24﹣2t，
∴ = = = ，
3 ∵15÷1＝15，24÷2＝12，
∴0＜t≤12，
∴CN= 32DM， ∵PQ∥AC，
∵DC2＝CM2+DM2， 15 2
∴ = ，即 = ，
3 2 2 15 24∴16＝（6 2DM） +DM ，
t= 20解得： 3 ，20
∴DM＝4（不合题意，舍去），DM= 13， 20
∴当 t= 3 时，PQ∥AC；
∴AM＝AD+DM 4+ 20＝ 13 =
72
13， （2）存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6．
72
13 12
理由如下：
由（2）的结论可知： = = = ．
6 13 过点 A作 AF⊥BC于 F，作 PH⊥BC于 H，如图 1，
21．（10分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点 P以每秒 1个单位长度的速度，从点 A出发沿 AB方向
向终点 B运动，同时，点 Q以每秒 2个单位长度的速度，从点 B出发沿 BC方向向终点 C运动，当其中一个点到达
终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t秒，请解答下列问题：
（1）当 t为何值时，PQ∥AC；
（2）在点 P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△PCQ的面积等于 6？若存在，请求出 t的值；若不存在，
请说明理由．
（3）如图 2，E是 AC的中点，连接 BE，与 PQ交于点 O，是否存在某一时刻 t，使得 PQ⊥BE？若存在，请求出 t
的值；若不存在，请说明理由．
则 AF∥PH，
∴△BPH∽△BAF，

∴ = ，

∵AB＝AC，AF⊥BC，
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BF CF= 1∴ ＝ 2BC＝12， MK=
57 17 57
∴ 68 ，BM= 4 ，
∴AF= 2 2 = 152 122 =9，
∴AM AK+MK= 24 17 57 17 9 17＝
15 17
+ 68 = 4 ，
∴ = ，
9 15 ∵PQ⊥BE，AM⊥BE，
∴PQ∥AM，
∴PH 9 3＝ 5t， 15 2
∴ = ，即 = 57，
∵S△PCQ＝6， 15 4
1 1
∴ CQ PH＝6，即 （24 2t 3﹣ ）（9 5t）＝6， 解得：t=
285
；
2 2 59
解得：t1＝10，t2＝17，
t= 285∴存在 59 ，使得 PQ⊥BE．∵0＜t≤12，
∴t＝10， 22．（12分）在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的顶点 A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），顶点为 M的抛物线
∴当 t＝10时，△PCQ的面积等于 6． y＝﹣x2+bx+c经过点 A，B，且与 x轴交于点 D，E（点 D在点 E的左侧）
285 （1）求抛物线的解析式；
（3）存在 t= 59 ，使得 PQ⊥BE． （2）若抛物线 y＝﹣x2+bx+c对称轴上存在一点 Q，当△ADQ的周长最小时，直接写出 Q点坐标；
理由如下： （3）当 t≤x≤t+1时，﹣12≤y≤﹣5，求 t的值；
如图 2，过点 A作 AF⊥BC于 F，AM⊥BE于 K，交 BC于 M，过点 E作 EN⊥BC于 N， （4）平移抛物线 y＝﹣x2+bx+c，使抛物线的顶点始终在直线 AM上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段 BM有
公共点时，求抛物线顶点的横坐标 m的取值范围．
则 AF＝9，BF＝CF＝12，
∵E是 AC的中点， 【分析】（1）根据矩形的性质求出点 B坐标，再利用待定系数法解答即可；
1 15 1 9 1 （2）连接 BQ，可得点 A、B关于对称轴直线 x＝1 对称，即得 AQ＝BQ，进而得到△ADQ的周长＝AD+AQ+DQ＝
∴AE＝EC= 2AC= 2 ，EN= 2AF= 2，CN= 2CF＝6， AD+BQ+DQ，可知当 B、Q、D三点共线时，BQ+DQ的值最小，此时△ADQ的周长最小，利用待定系数法求出直线
∴BN＝BC﹣CN＝24﹣6＝18， BD的解析式，再把 x＝1代入求出 y即可得到 Q点坐标；
9 9 17 （3）根据二次函数的性质，分 t+1＜1与 t＞1两种情况，根据二次函数的分别讨论，即可求解；
在 Rt△BEN中，BE= 2 + 2 = 182 + ( )22 = 2 ， （4）根据题意，找出顶点平移的临界点，然后进行分类讨论，分别求出 m的取值范围即可．
∵S△ABC＝2S△ABE， 【解答】解：（1）∵矩形 OABC的顶点 A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），
1 1 ∴B（2，3），
∴ AF BC＝2× 2BE AK，2 在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的顶点 A，C的坐标分别为（0，3），（2，0），顶点为 M的抛物线 y＝﹣x2+bx+c
1 1×9×24 经过点 A，B，把点 A，点 B的坐标分别代入得：
∴AK= 2 2 24 17 = 9 17 = 17 ， = 3
2 4 + 2 + = 3，
Rt ABK BK= 2 2 = 152 ( 24 17 )2 = 57 17
= 2
在 △ 中， 解得17 17 ， = 3
，
∵∠BNE＝∠BKM＝90°，∠EBN＝∠MBK， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
∴△BMK∽△BEN， （2）Q点坐标为（1，2）；理由如下：
57 17 连接 BQ，如图，

∴ = = 17，即 =
9 9 17
= ，
18
2 2
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∴可设平移中的抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
当 m＝1时，抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+3即 y＝﹣x2+2x+3，此时抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+3与线段 BM有两个交
点；
当 m＞1时，
①当抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+3经过点 M（1，4）时，得：﹣（1﹣m）2+m+3＝4，
解得 m1＝1（不合题意，舍去），m2＝2；
②当抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+3经过点 B（2，3）时，得：﹣（2﹣m）2+m+3＝3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 解得 m1＝1（不合题意，舍去），m2＝4；
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1， 综上所述，2≤m≤4；
∵A（0，3），B（2，3）， ②当 m＜1且抛物线 y＝﹣（x﹣m）2+m+3与直线 BM有公共点时，
∴点 A、B关于对称轴直线 x＝1对称， 则﹣（x﹣m）2+m+3＝﹣x+5即 x2﹣（2m+1）x+m2﹣m+2＝0有实数根，
∴AQ＝BQ， ∴Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣m+2）≥0，
∴△ADQ的周长＝AD+AQ+DQ＝AD+BQ+DQ， 7
解得 ≥ ，
∵BQ+DQ≥BD， 8
∴当 B、Q、D三点共线时，BQ+DQ的值最小，此时△ADQ的周长最小， 7
∴ ≤ ＜1；
抛物线 y＝﹣x2+2x+3与 x轴交于点 D，E（点 D在点 E的左侧）， 8
当 y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 7
综上所述，当 ≤ ＜1或 2≤m≤4时，在平移的过程中，抛物线与线段 BM有公共点．
解得 x1＝﹣1，x2＝3， 8
∴D（﹣1，0），
设直线 BD的解析式为 y＝kx+n，把点 B，点 D的坐标分别代入得：
3 = 2 +
0 = + ，
= 1
解得 = 1，
∴直线 BD的解析式为 y＝x+1，
当 x＝1时，y＝1+1＝2，
∴此时 Q点坐标为（1，2）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点 M的坐标为（1，4），对称轴为直线 x＝1，开口向下，
当 t+1＜1，即 t＜0时，y随 x的增大而增大，
∵当 t≤x≤t+1时，﹣12≤y≤﹣5，
∴x＝t时，y＝﹣12，
即﹣（t﹣1）2+4＝﹣12，
解得 t1＝﹣3，t2＝5（不合题意，舍去）；
当 t＞1时，y随 x的增大而减小，
∴当 x＝t+1时，y＝﹣12，
即﹣t2+4＝﹣12，
解得 t1＝4，t2＝﹣4（不合题意，舍去）；
综上所述，t＝﹣3或 t＝4；
（4）设直线 AM的解析式为 y＝px+q，将点 A，点 M的坐标分别代入得：
3 =
4 = + ，
= 1
解得 = 3，
∴直线 AM的解析式为 y＝x+3，
同理可得直线 BM的解析式为 y＝﹣x+5，
∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线 y＝x+3上，
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