资源简介

2025 年普通高中学业水平选择性考试（模拟）
数 学 试 卷
本试题卷共 4 页，19 题。全卷满分 150 分。考试用时 150 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位
置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．已知集合 = {1,2,3,4,5}， = {2,3}， = | = 2 , ∈ ，则 ∩ = （ ）
A．{4} B．{2,4} C．{1,2} D．{1,3,5}
r r r r
2．设 x R ，向量 a = x,1 ,b = 1,-2 ar，且 ^ b，则 cos a - b , ar =（ ）
A 2 10 5 2． B． C． D．
5 5 10 2
3．若a
π 3π cosa ， ÷ ， tana = ，则 sina =（ ）
è 2 sina -1
1 1
A - B 2 C 3． ．
2 -
．- D．-
2 2 3
4．在正三棱台 ABC - A1B1C1中， AB = 4， A1B = 2
π
1 ， A1A与平面 ABC 所成角为 ，则该三棱台的体积为（ ）4
52 28 14 7
A． B． C． D．
3 3 3 3
5．如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
x
A f x e
x cos2x e sin2x
． = B． f x =
x2 +1 x
sin2x x
C． f x = 2 D．x 1 f x
e sin2x
=
+ x2 +1
a
6 S 5．设 n 是数列{an}的前 n项和，且 a1 = 1， Sn = (2Sn +1)Sn+1 ，则 = ( )S 　　11
1 2 3
A． - B． - C． -2 D． -
2 3 4
7．已知 为坐标原点，直线 过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，与 及其准线依次交于 , ,
三点（其中点 在 , 之间），若| | = 4，| | = 2| |,则 △ 的面积是（ ）
1
A 3 B 4 3 C 2 3 D 8 3． ． 3 ． ． 3
8．对于函数 = ( )与 = ( )，若存在 x0 ，使 f x0 = g -x0 ，则称M x0 , f x0 ，N -x0 , g -x0 是 f x 与 g x
图象的一对“隐对称点”．已知函数 f x = m x +1 ， g x lnx= ，函数 f x 与 g x 的图象恰好存在两对“隐对称
x
点”，则实数m 的取值范围为（ ）
A． -1,0 B． - ,-1 C． 0,1 1,+ D． - ,-1 -1,0
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列选项正确的是（ ）
1
A．若随机变量 X ~ B(6, )，则D(X )
4
=
3 3
B．若随机变量 X ~ N (6, 4)，则E(X ) = 6
1
C．若随机变量 X 服从0 :1分布，且P(X =1) = ，则D(X )
1
=
3 3
Ck 2-k
D．若随机变量 X 满足P X = k 2 ×C= 42 ,k = 0,1,2
2
，则E(X ) =
C6 3
10．已知函数 f x 的定义域为R ， f x 的导函数为 f x ， f 2 - x + f 4 + x = 0 ， f x -1 = f 5 - x ，当 x -2,0
时， f x > 0，则（ ）
A． f x 为偶函数 B． f x 的图象关于点 -1,0 中心对称
2025
C． f
5 7
- ÷ < f

÷ D． f k =1
è 2 è 4 k =1
x x y y
11．W曲线的形状类似希腊字母“ W ”，其方程为 + =1.若点 P 在W曲线上，
4 5
A1 -3,0 , B1 3,0 , A2 0, -1 , B2 0,1 ，则（ ）
A．当 P 在第一象限时， PA2 + PB2 = 4
B．当 P 在第四象限时， PA1 - PB1 = 4
C．直线 y = -2x + 4与W曲线的所有交点的横坐标之和大于 6
y 3D．直线 = - x + 2与W曲线恰有 4 个公共点
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12． 1- 3x (1+ 2x)5 的展开式中 x3的系数为 （用数字作答）
13．已知 ( ) = ln ， ( ) = e ，若对任意 1 ∈ (0, + ∞)，都存在 2 ∈ (0, + ∞)，使得 ( 1) ( 2) = 1 2，
则实数 a 的取值范围为 .
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有 9 个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，
触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假
设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B,G 灯区最
终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ．已知
sin B a cos B + bcos A c cos B π= - 6 ÷．è
(1)求角 B 的大小；
(2)若 ABC 6 3的角平分线BD与边 AC 相交于点D，BD = , b = 7 ，求VABC 的周长．
5
16．（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PD ^平面 ABCD， AB / /DC ， AB ^ AD ，DC =
3AB = 6，PD = 2，点M 在棱PC 上.
(1)当M 为PC 上靠近点 P 的四等分点时，求证：PA / / 平面MBD；
(2)若直线 PA 与平面 ABCD所成的角为 45o ，当M 为PC 的中点时，求二面角P - BD - M 的余弦值.
17．（本小题满分 15 分）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己 1000 次训练情况并将成绩（满分 100
分）统计如下表所示.
成绩区间 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频数 100 200 300 240 160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从 50,80 的训练成绩中随机抽取了 6 次成绩，再从这 6 次成绩中随机选 2 次，设
成绩落在区间 60,70 的次数为 X，求 X 的分布列及数学期望；
(3)对这 1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于 80 分的成绩可以提高 10 分，原
高于 80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低 10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为 p(0 < p <1)．在一次资
格赛中，入围的成绩标准是 80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时 p 的取值范围.
18. （本小题满分 17 分）已知函数 f x = lnx, x 0, + .
（1）求证： f x 1 x2 x< - x .2 e
（2）若 h x = af x - 2 é f x +1 - f 2 ù ， a 0,2 ，m a 为 h x 的最大值，
（i）求m a 的极小值；
2n-1 2
（ii）设 n N*， n 2 ，求证： 22 33 44 L 2n -1 > n2n -n .
2 2
19 x y．（本小题满分 17 分）已知椭圆 E 的标准方程为： + =1 a > b > 0 ，在这个椭圆上取 2n n 3,n N
a2 2
个点，
b
P a cos 2kπ ,bsin 2kπ ,Q 2kπ 2kπ 这些点的坐标分别为 k n n ÷ k
-a sin ,b cos ，连接P Q , k = 0,1 , n -1．
è è n n ÷ k k
(1)若直线P0Q
1
0 的斜率为- ，求椭圆 E 的离心率；2
(2)证明△OPkQk 的面积为定值，并求多边形P0P1 Pn-1P0的面积（用 n 表示）；
a2 - b2 2 2
(3)若 A - ,0÷÷ , B
a - b
,0÷÷，线段PkQk 的中点为 M，证明： AMQk = BMP ．
è 2
k
è 2
2025 年普通高中学业水平选择性考试（模拟）数学答案
A D A C D B B D
9．ABD 10．AB 11．BC
x x y y x2 y2
【详解】当 x 0, y 0时， + =1可化为 + = 1，
4 5 4 5
2 2
A2 0, -1 , B2 0,1 x y为椭圆 + = 1的两个焦点，则4 5
PA + PB x x y y2 2 = 2a = 2 5 ，A 错误.当 x 0, y 0时， + =1可化
4 5
x2 y2 2 2
为 - =1，A1 -3,0 , B x y1 3,0 为双曲线 - =1的两个焦点，4 5 4 5
2 2
则 PA1 - PB1 = 2a = 4 B . x < 0, y < 0
x x y y
1 x y， 正确 当 时， + = 可化为 + = -1< 0，所以点 P
4 5 4 5
2 2
不可能在第三象限.当 x 0, y 0
x x y y
y x时， + =1可化为 - =1，所以W曲线由三段曲线组成，
4 5 5 4
y2 x2
其图形如图所示，因为双曲线 - =1 5的渐近线方程为 y = ± x，所以直线 y = -2x + 4与曲线
5 4 2
y2 x2 2 2
- =1 x 0, y 0 无公共点.将 y = -2x + 4 x y代入 + = 1，得4 5 21x
2 - 64x + 44 = 0，
5 4
2 2
由图可知直线 y = -2x + 4 x y与曲线 + =1 x 0, y 0 有 2 个交点，则这 2 个交点的横坐标之和
4 5
64 2 2
为 ，其中 1 个交点为 2,0 . x y将 y = -2x + 4代入 - =1，得11x221 - 64x + 84 = 0 ，由图可知直线4 5
y = -2x + 4 x
2 y2 64
与曲线 - =1 x 0, y 0 有 2 个交点，则这 2 个交点的横坐标之和为 ，其中 1
4 5 11
个交点为 2,0 ，
64 64 63 55
所以直线 y = -2x +4 与W曲线的所有交点的横坐标之和为 + - 2 > + - 2 = 6，C 正确.
21 11 21 11
y2 x2 x2 y2 3
结合双曲线 - =1与 - =1的渐近线的斜率，由图可知直线 y = - x + 2与曲线
5 4 4 5 4
y2 x2 2 2
- =1 x 0, y 0 有 2 x y个公共点，与曲线 + =1 x 0, y 0 只有 1 个公共点，与曲线
5 4 4 5
x2 y2 3- =1 x 0, y 0 没有公共点，所以直线 y = - x + 2与W曲线恰有 3 个公共点，D 错误.故选：
4 5 4
BC
12．【答案】-40
1
13．【答案】 e + , + ∞
(
( ) ( ) = 1
) 1 ( ) ln
e 【详解】由 1 2 1 2得 = ( )，设 ( ) = = ，1 2 2
1 ln
∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = 2 ，当0 < < e时， ′( ) > 0，则 ( )在(0,e)上单调递增；当 > e时，
′( ) < 0 1，则 ( )在(e, + ∞)上单调递减；所以 ( )mmm = (e) = .且当 →0时， ( )→ ∞；e
1
当 → + ∞时， ( )→ ，故 ( )的值域为 ∞, e ；设 ( ) =
( ) = e ， ∈ (0, + ∞)，则

e ( 1)
′( ) = 2 ，
当0 < < 1时， ′( ) < 0，则 ( )在(0,1)上单调递减；当 > 1时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞)
上单调递增；所以 ( )mmm = (l) = e ，且当 →0时， ( )→ + ∞；当 → + ∞时， ( )→ + ∞，
1 1
故 ( )的值域为[e , + ∞)；依题意， ( )的值域是 ( )的值域的子集.显然 ≠ e，若 < e，则 ( )
的值域为 0,
1 1 1
e ，不合题意，舍去；若 > e，则 的值域 ∞, ( ) e ∪ (0, + ∞)，则需 ( )的值
∞, 1 ∞, 1
> e
域 e ∪ (0, + ∞)
1 1，则
e ≤
1 ，解得 ≥ e + .综上，实数 a 的取值范围为
e e e
e + 1 , + ∞ .
e
5
14．【答案】 【详解】从 9 2个灯区中随机先后按下两个灯区，共有A9 = 72 种按法．18
与B相邻的灯区为A,C,E ；与G 相邻的灯区为D,H ，故将 9 个灯区分为三类：第一类F, I 灯区，第
二类A,B,C,E灯区，第三类D,G,H灯区．若要使得B,G 灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类
灯区中随机先后按两个不同灯区．①若先后按下的是F,I两个灯区，则B,G 灯区最终仍处于“点亮”
A2状态，共有 2 = 2种按法；②若先后按下的是A,B,C,E灯区中的两个，则B,G 灯区最终仍处于“点
亮”状态，共有A24 = 12种按法；
③若先后按下的是D,G,H灯区中的两个，则B,G 灯区最终仍处于“点亮”状态，共有A23 = 6种按
2 +12 + 6 5 5
法．故B,G 灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 = ．故答案为： ．
72 18 18
π
15．【答案】(1) (2)
3 5 + 7
【详解】（1）因为 sin B a cos B + b cos A = c cos π B -

6 ÷，由正弦定理可得è
sinB sinAcosB + sinBcosA = sinC cos B π π - ÷，（1分）\sinBsin A + B = sinBsinC = sinC cos
B -
6 6 ÷ ，è è
（2 分）QC 0, π ，\sinC > 0 ，（3 分）\sinB = cos B π- ÷，即 sinB = cos B cos
π
+ sin B sin π ，
è 6 6 6
（4 分）
3 1 π
即 cos B = sin B，∴ tanB = 3 ．（5 分）又B ∈ (0,π)，\B = ；（6 分，不写 B 的范围扣 1 分）
2 2 3
（2）因为 ABC 的角平分线BD与边 AC 相交于点D，所以 SVABC = SVABD + SVBDC ，（7 分）
1 ac sin π 1即 = a + c BD sin π 1，（8 分）所以 ac sin π 1 π 6= a + c BD sin ，所以 ac = a + c ，（9
2 3 2 6 2 3 2 6 5
分）
又由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos ABC ，即
7 = a2 + c2 - ac = a + c 2 - 3ac ，（10 分）
所以7
18 7
= a + c 2 - a + c ，（11 分）解得 a + c = 5或 a + c = - （舍
5 5
去），（12 分）
所以CVABC = a + b + c = 5 + 7 .（13 分）
16．【解】（1）如图，连接 AC 交BD于点O，连接OM .
AO AB 1
因为 AB / /CD ，所以VABO ∽VCDO，所以 = = . ………2 分
CO CD 3
PM 1
因为M 为PC 上靠近点 P 的四等分点，所以 = .因为
CM 3
AO PM 1
= = ，所以PA / /MO . ………4 分因为PA 平面MBD，MO 平面MBD，所以 PA / / 平
CO CM 3
面MBD . ……6 分
（2）因为PD ^平面 ABCD，所以 PAD 为 PA 与底面 ABCD所成的角，所以 PAD = 45o .因为
PD = 2，所以 AD = 2 .由题意得 AD ^ DC ，又PD ^平面 ABCD，所以 DA, DC, DP两两垂
直. ………7 分
故以D为坐标原点，以 DA, DC, DP所在直线分别为 x，y，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
A 2,0,0 , B 2,2,0 ,C 0,6,0 , P 0,0,2 , M 0,3,1 ，
所以
uuur uuur uuuur
DB = 2,2,0 , DP = 0,0,2 , DM = 0,3,1 . …………9 分
uuur
r ìDP m
r
× = 0 ì2z = 0
设平面PBD 的法向量为m = x1, y1, z1 ，则 íuuur 1r ，即 í x =12x ，令 ，则 DB × m = 0 1 + 2y
1
1 = 0
mr = 1,-1,0 .11 分
uuur r
r ìDB × n = 0
设平面MBD的法向量为 n = x2 , y2 , z2 ，则 íuuuur ，
DM
r
×n = 0
ì2x2 + 2y2 = 0 x 1 nr
r r
即 í ， 令 2 = ，则 = 1, 1,3
r r m × n 2 22
-
3y z 0 . 13 分因为
cosám, n = r r = = ，……14
2 + 2 = m n 2 11 11
分
所以二面角P - BD - M 22的余弦值为 .…15 分
11
2
17．【答案】(1)平均值为76.6 ，上四分位数为86.25；(2)分布列见解析，数学期望为 ；
3
4
(3) ,19 ÷
.
è
1
【详解】（1）依题意，平均值 x = (100 55 + 200 65 + 300 75 + 240 85 +160 95) = 76.6，
1000
Q0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6 < 0.75,0.6 + 0.24 = 0.84 > 0.75，
\ 0.75 - 0.6上四分位数落在区间[80,90)，且等于80 + 10 = 86.25 .
0.24
（2）由样本数据可知，训练成绩在[50,60) [70,80),[60,70) 之内的频数之比为 2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50,80) 中随机抽取了 6 次成绩，
在[50,60) [70,80) 之内的 4 次，在[60,70)之内的抽取了 2 次，
C0C2 6 2 1 1
所以 X 可取的值有：0，1，2， P(X = 0) = 2 42 = = ， P(X 1)
C2 C4 8= = 2 = ，C6 15 5 C6 15
C2P(X = 2) = 2 12 = ，C6 15 X 0 1 2
分布列为： 2 8 1
P
5 15 15
\E(X ) 0 2 8 1 2= +1 + 2 = .
5 15 15 3
（3）法一：设事件 A1, A2 , A3 分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80) ，[80,90)，[90,100]，则
A1, A2 , A3 相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率 P A2 A3 = P A2 + P A
240 160
3 = + = 0.4，1000 1000
设事件 B 为＂动作优化成功＂，则 P B∣A1 = P B∣A2 = P(B) = p，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： A1BU A2BU A3 ，且事件 A1B, A2B, A3 相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
P A1BU A2BU A3 = P A1B + P A2B + P A3 = P A1 P B∣A1 + P A2 P B∣A2 + P A3 ，
P A BU A BU A 300 p 240 p 160故 1 2 3 = + + = 0.54 p + 0.16 ，1000 1000 1000
由0.54 p + 0.16 > 0.4 p
4
> Q p <1, p 4\ ,1 解得 ，又 的取值范围是
9 9 ÷
.
è
法二：因为入围的成绩标准是 80 分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率
p 240 +160 2为： 1 = = = 0.4，进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间1000 5
[70,80) 或[80,90)的成绩，当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
300 240 160
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率 p2 = p + p + = 0.54 p + 0.16 ，1000 1000 1000
由0.54 p
4
+ 0.16 > 0.4 p 4> Q p <1,\ p ，得 ，又 的取值范围是 ,1

9 9 ÷
.
è
18．【答案】（1）证明见解析； （2）（i）0；（ii）证明见解析.
【小问 1 详解】令 g x = lnx 1- x2 x+ x ，定义域为 0, + ，2 e
x x
g x 1 x e - xe 1 x 1- x 1- x
2 1- x
= - + = - + = + = 1- x 1 1 则
x e2x x ex
+1+ ，
x ex è x ex ÷
1 1
因为 x > 0 ，所以 +1+ x > 0，当 x 0,1 时， g x > 0恒成立， g x 在 0,1 上单调递增，x e
当 x 1, + 时， g x < 0恒成立， g x 在 1, + 上单调递减，故 g x 的最大值为
g 1 = ln1 1 1 1 1- + = - + < 0，所以 g x lnx 1 x2 x 0 f x 1= - + < < x2 xx ，所以 - x .2 e 2 e 2 e 2 e
【小问 2 详解】（i） h x = alnx - 2 é ln x +1 - ln2ù ，定义域为 0, + ，
( 2) + a
′( ) =
2
+1 = ( +1) , ( + 1) > 0，因为 a 0,2 ，所以当 x 0, ÷时， h x > 0恒è 2 - a

成立， h x 在 0,
a a
÷上单调递增，当 x , + ÷ 时， h x < 0恒成立， h x 在
è 2 - a è 2 - a
a
,+ ÷上单调递减，故 h x 的最大值为
è 2 - a
h a a ÷ = aln - 2
2
ln - ln2

÷ = aln
a
+ 2ln 2 - a = m a ，
è 2 - a 2 - a è 2 - a 2 - a
m a ln a a 2 - a 2 -2 a 2 所以 = + + = ln = ln -1+2 - a a ，2 - a 2 2 - a 2 - a ÷è 2 - a
2 0,2 2 因为函数 y = -1+ 在 上单调递增，所以函数m a = ln -1+ ÷在 0,2 上单调2 - a è 2 - a
递增，
因为m 1 = ln -1+ 2 = 0 ，所以当 a 0,1 时，m a < 0 恒成立，m a 在 0,1 上单调递减，
当 a 1,2 时， ′( ) > 0恒成立，m a 在 1,2 上单调递增，
故m a 的极小值为m 1 = ln 1 + 2ln 2 -1 = 0.
2 -1
2n -1 1+ 2n -1（ii）因为1+ 2 + 3 +L+ 2n -1 = = 2n2 - n ，
2
11 22 33 44 L 2n -1 2n-1 1 2 3 2n-1
=
1 2 3 2n -1
所以
2
n2n -n n ÷ n ÷ ÷
L ÷ .
è è è n è n
2
证明22 × 33 × 44 × × (2 1)2221 > 22 22等价于证明
1 1 2 2 3 3 2n -1 2n-1
n ÷
n ÷
÷ L ÷ >1 .
è è è n è n
1 2 3
1 2 3 2221
当 n = 2 1 2 3 27时， ÷ ÷

÷ = >1，假设当 n = k 时，
1 × 2 × 3 × × 2 1
è 2 è 2 è 2 16
> 1，
1 2 3 2221 22 22+1 22
则当 n = k +1时， 1 × 2 × 3 × × 2 1 × 2 × 2 +1 > 1 × 2 ×

1 2 3 4 2221
2 +1 22+1 > 1 * n 2 1 ×2 ×3 ×4 × ×(2 1) 1
1 2 3
，所以当 n N ， 时， 2 = × 2 × 3 × × 22 22
2 1 2221 > 1，所以22 × 33 × 44 × × (2 1)2221 > 22
222.

n 2π
19．【答案】(1) 3 (2)证明见解析，面积为 absin (3)证明见解析
2 2 n
b b 1
【详解】（1） P0 a,0 ,Q0 0,b ，所以直线 P0Q0 的斜率为 - a ，所以 - = -a 2 ，
a2 - b2 2 b 1 3
所以椭圆 C 的离心率 e = = 1- = 1- = ；
a a ֏ 4 2
2kπ bsin
2kπ
- b cos 2kπ
（2）证明：直线 PkQk 的方程为 y - bsin = n n x - a cos
2kπ
÷，n a cos 2kπ a sin 2kπ+ è n
n n
b cos 2kπ sin 2kπ x a cos 2kπ sin 2kπ 化简得 - ÷ + + ÷ y - ab = 0 ，所以原点 O 到直线 PkQk 的距离
è n n è n n
d ab=
2
b2 1- sin 4kπ + a2 1 4kπ+ sin 而 PkQk = a 1+ sin
4kπ 4kπ
÷ + b
2 1- sin 所以
n ÷ ÷
÷
è è n è
n è n
S 1 1VOP Q = PkQk d = ab ．同理可得k k 2 2
1 2kπ 2 k +1 π 2 k +1 π SVOP P = a cos bsin

- a cos

bsin 2kπ
k k+1 2 n n è n
÷
n
1 é 2 k +1 π ù
= absin 2kπ 1- = absin 2π n 2πê ú 所以多边形 P0P1LLPn-1P0 的面积为 absin ；2 n n 2 n 2 n
a cos 2kπM x , y - sin
2kπ b cos 2kπ 2kπ+ sin
（3）证明：设 0 0 ，所以 x = è n n
÷ ÷
, y = è n n 0 2 0 2
2 2
2x
2
0 2y
2 x y
0
0 0
2 1 + 1 =1所以 ÷ + ÷ = ，即 a2 b2 所以 M 的轨迹方程为一个椭圆，A，B 是该椭圆的焦è a è b 2 2
点，
c a
2 - b2
设 0 = , a
2 2 P ,Q
0 = a,b0 = b点 k k 的坐标可化为2 2 2
a y b a y b uuuuur a y b uuuur P a y bk x + 0 0 , y - 0 x ÷ ,Q x - 0 0 , y + 0 x ÷ MQ = - 0 00 0 0 k 0 0 0 所以 k , 0 x0 ÷ , MP = 0 0k ,- 0 x0 ÷，
è b0 a0 è b0 a0 è b0 a0 è b0 a0
uuur uuuuur
uuur uuur
cos AMQ MA × MQ又因为MA = -c0 - x0 ,-y0 , MB = c0 - x0 , -y = uuur uuuuur
k
0 所以 k MA MQk
a0c y a x y b x y c0 y0 0 0 + 0 0 0 - 0 0 0
c x
b b a b
a0 + 0 0 ÷
= 0 0 0 = 0 è
a0 c y
uuuuur 0 0uuuuur = uuuuur ， x + c 2 2 c x b MQ0 0 + y0 MQk a 0 0 0 k0 + ÷ MQa kè 0
uuur uuuur
cos BMP MB × MPk = uuur uuuurk
MB MP ，k
a c y a x y b x y c0 y0 0 0 0 c x - 0 0 0 + 0 0 0 a - 0 0
b0 b0 a
0 ÷
= 0
b
= 0 è
a0 c y
uuuur 0uuuur = uuu
0ur ，
x - c 20 0 + y20 MP a c0x0 - MP b0 MPk ÷ k0
è a
k
0
uuuuur uuuur
因为 MQk = MPk ，所以 AMQk = BMPk .

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