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丰城中学2023－2024学年下学期创新初三期末考试
数学试卷
考试范围：必修2第一章至第六章第四节
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.
1．若复数z满足(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则（ ）
A． B．g(x)在上单调递增
C．g(x)在上的最小值为 D．直线是g(x)图象的一条对称轴
4．设向量，则（ ）
A．“x＝－3”是“”的必要条件 B．“x＝－3”是“”的必要条件
C．“x＝0”是“”的的充分条件 D．““是“”的充分条件
5．在△ABC中，，BC边上的中线，则△ABC的面积S为（ ）
A． B． C． D．
6．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
7．已知a，β∈(0，π)，，则2α－β＝（ ）
A． B． C． D．
8．已知锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，若cos(C－B)＋λcosA存在最大值，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C．(0，2) D．(2，4)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数f(x)＝sinωx＋acosωx(x∈R，ω>0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A． B．函数为偶函数
C．满足条件的正实数ω，但不唯一 D．f(x)是周期函数，且最小正周期为π
11．已知点P为直四棱柱表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为
B．过，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若平面，则点P的轨迹长度为
D．若动点P到棱的距离为，则点P的轨迹长度为
三、填空题：本题3小题，每题5分，共15分．
12．若向量，满足，则在上的投影向量为______(用表示)．
13．如图，在正方体中，AB＝5，AD＝3，，点P是线段上异于B，的一点，则的最小值为______．
14．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝60°，D为BC边上一点，且，则△ABC面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)已知角α终边上一点P(－2，3)，求sinα、cosα、tanα的值；
(2)已知，求的值．
16．(15分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC上的点，且AE＝2EB，FC＝2PF．
(1)求证：平面PDE；
(2)在棱AD上是否存在点G，使得平面BDF 若存在求出的值；若不存在，说明理由．
17．(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为△ABC的面积且．
(1)若b＝2，求△ABC外接圆的半径R；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
18．(17分)奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名．如图，P是△ABC内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：．
(1)若P是△ABC的内心，2b＝3a＝4c，延长AP交BC于点D，求；
(2)若P是锐角△ABC的外心，A＝2B，，求x＋y的取值范围．
19．(17分)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ<2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：
，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数z＝1＋cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)的模|z|和辐角主值argz(用θ表示)；
(2)设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足，那么这样的n有多少个
(3)求和：.
丰城中学2023-2024学年下学期创新初三期末考试
数学参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A D C B B D C
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AD ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．【详解】（1）因为角终边上一点，则，
所以，，；
（2）因为，解得，
所以原式.
16．【详解】（1）在上取点，使得，连接，
在中，点、分别为、上的三等分点，则有
又面、面
由线面平行的判定定理：面
又且，∴四边形为平行四边形
则有，又面、面，∴面
由于面、面，，∴面面
又面，∴面
（2）假设在棱上存在点，使得面
连接，交于
∵面，面，面面
由线面平行的性质定理：
则在中，，易知，
∴，∴点为棱的中点，即
17．【详解】（1）∵S为的面积且，,
∴,即，,∴.
∴，解得：.
（2）由（1）可知，，
∴
∵为锐角三角形，，∴，∴，∴，
设，则，
∴时，
18.【详解】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为，
由可得，即，
由，不妨设，
故，
设，则,
故,
由于与共线，而与不共线，
因此必然，故，
（2）设外接圆的半径为,
则由得，
即，
由于，所以,
因此，又，
所以
,
由于三角形为锐角三角形，所以，解得，故,
故当时，取最小值，
当或时，，
故.
19．【详解】（1）由复数，， ，
得；
而，则，，
又，，所以.
（2）由，
因此，则，
则，解得，而，，
即，于是，显然符合条件的有506个，
所以这样的有506个.
（3）令，而，则，
令，
则，
两边同乘，得，
两式相减得
，因此，
，
因此，所以.

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