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第3章 学情评估卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，，
2．如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（ ）
（第2题）
A. 8 B. 32 C. 64 D. 100
3．[［2025南京玄武区期末］]如图，在中， ，是边上的点，若，，则的值为（ ）
（第3题）
A. 13 B. 21 C. 25 D. 29
4．[［2025无锡梁溪区模拟］]如图，在中，已知，，则边上的高为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 无法确定
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，，，，则（ ）
（第5题）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
6．将面积为 的半圆形与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
（第6题）
A. 16 B. 32 C. D. 64
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. B. C. D. 不能确定
8．[2024淮安]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ）
（第8题）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．[2025泰州海陵区月考]已知的三边长分别是，，，斜边长，则的值为.
10．如图，在中， ，，.以为一条边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是.
（第10题）
11．如图，在中， ，平分交于点，，，则的长是_ _ .
（第11题）
12．如图，一架梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙脚的距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为0.5米，则梯子顶端下滑了_ _ 米.
（第12题）
13．[2025宿迁宿城区期中]如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点处，若它要吃到上底面上与点相对的点处的食物，则沿圆柱体侧面爬行的最短路程约是 的值取3
（第13题）
14．如图，在四边形中， ，连接，为的中点，连接，.若，，则的周长为.
（第14题）
15．[2025南京秦淮区期末]如图，在中， ，平分交于点，，，则的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
16．如图， ，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
17．如图，在中，，，是边上的一个动点，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
18．如图，在长方形中，，，为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
三、解答题（共66分）
19．（6分）在中， ，，，分别是，，所对应的边.
（1） 已知，，求的长；
（2） 已知，，求的长.
20．（6分）如图，在中， ，，在中，是边上的高，，，求的长.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为，现要在，之间建一个服务区，使得，两村庄到服务区的距离相等，求的长.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高,因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点处的下方的点处，有一明显裂痕.若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
23．（10分） 如图，在中， ，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，，求线段的长.
24．（12分）如图，在正方形中，是边的中点，将沿翻折得到,延长交于点，连接.
（1） 求证：.
（2） 若，求的长.
城合与实践
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形.
【探索新知】
（1） 从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程.
（2） 如果满足等式的，，是三个正整数，我们称，，为勾股数.已知，是正整数且，证明：，，是勾股数.
【灵活运用】
（3） 在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为.
（4） 请写出任意一组含有85的“勾股数”：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 小明在他找到的勾股数的表达式中，用为任意正整数表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ .
第3章 学情评估卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 9，12，15 D. 1，，
【答案】C
2．如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（ ）
（第2题）
A. 8 B. 32 C. 64 D. 100
【答案】D
3．[［2025南京玄武区期末］]如图，在中， ，是边上的点，若，，则的值为（ ）
（第3题）
A. 13 B. 21 C. 25 D. 29
【答案】B
4．[［2025无锡梁溪区模拟］]如图，在中，已知，，则边上的高为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，，，，则（ ）
（第5题）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
【答案】C
6．将面积为 的半圆形与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
（第6题）
A. 16 B. 32 C. D. 64
【答案】D
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
8．[2024淮安]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ）
（第8题）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
【答案】B
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．[2025泰州海陵区月考]已知的三边长分别是，，，斜边长，则的值为.
【答案】18
10．如图，在中， ，，.以为一条边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是.
（第10题）
【答案】20
11．如图，在中， ，平分交于点，，，则的长是_ _ .
（第11题）
【答案】2.5
12．如图，一架梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙脚的距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为0.5米，则梯子顶端下滑了_ _ 米.
（第12题）
【答案】0.5
13．[2025宿迁宿城区期中]如图，有一个圆柱体，它的高等于，底面半径等于，一只蚂蚁在点处，若它要吃到上底面上与点相对的点处的食物，则沿圆柱体侧面爬行的最短路程约是 的值取3
（第13题）
【答案】15
14．如图，在四边形中， ，连接，为的中点，连接，.若，，则的周长为.
（第14题）
【答案】18
15．[2025南京秦淮区期末]如图，在中， ，平分交于点，，，则的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．如图， ，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
17．如图，在中，，，是边上的一个动点，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
【答案】
18．如图，在长方形中，，，为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
【答案】或1
【解析】点拨：分两种情况：
①如图①，当点在长方形内部时，
点在的垂直平分线上，.
易知， 由勾股定理，得，
易知.设，则，.
在中，由勾股定理，得，
解得，即的长为.
②如图②，当点在长方形外部时，
同①的方法可得，.
设，则，.
在中，由勾股定理，得，
解得，即的长为10.
综上所述，当点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10.
三、解答题（共66分）
19．（6分）在中， ，，，分别是，，所对应的边.
（1） 已知，，求的长；
（2） 已知，，求的长.
【答案】（1） 解： ，，，.
（2） ，，，.
20．（6分）如图，在中， ，，在中，是边上的高，，，求的长.
解：如图， 在中，是边上的高，，，
，即，解得.
又 在中， ，，
.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为，现要在，之间建一个服务区，使得，两村庄到服务区的距离相等，求的长.
解：设，则.
在中，由勾股定理，得；
在中，由勾股定理，得.
由题意可得，，，，解得,
.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高,因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点处的下方的点处，有一明显裂痕.若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1） 解：由题意，得 ，.在中，，由勾股定理，得,即，解得.则旗杆从距地面处折断.
（2） 由（1）得.如图，由题意，得，所以.
在中，由勾股定理，得,所以.则距离旗杆底部范围内有被砸伤的危险.
23．（10分） 如图，在中， ，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，，求线段的长.
【答案】
（1） 解：.
理由如下：，.
是的垂直平分线，
，.
， ，
， ，
.
（2） 如图，连接.
设，则，.
，，
，.
，
，
即，
解得，即.
24．（12分）如图，在正方形中，是边的中点，将沿翻折得到,延长交于点，连接.
（1） 求证：.
（2） 若，求的长.
【答案】（1） 证明：四边形是正方形， .为边的中点，.由翻折变换的性质可知，, ,, .在与中，.
（2） 解：在正方形中，,,由翻折可知,.在中，由勾股定理得,即，解得,.
25．[［2025盐城月考］]（12分）综合与实践
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形.
【探索新知】
（1） 从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形的面积，并写出得到等式的过程.
（2） 如果满足等式的，，是三个正整数，我们称，，为勾股数.已知，是正整数且，证明：，，是勾股数.
【灵活运用】
（3） 在如图所示的五边形中，若，，则空白部分的面积为.
（4） 请写出任意一组含有85的“勾股数”：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 小明在他找到的勾股数的表达式中，用为任意正整数表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：如图所示,
方法一：.
方法二：，
，.
（2） 证明：，，
，是正整数且，
，，都是正整数，
，，是勾股数.
（3） 48
（4） 85，132，157（答案不唯一）
（5） ；
【解析】
（3） 点拨：当，时，由（1）可知，又， 题图中空白部分的面积为.
（4） 点拨：不妨假设，，是正整数且，.①当时，解得，，，，是一组勾股数；②当时，解得，，，132，157是一组勾股数.（还有其他情况，答案不唯一，写出一组即可）
（5） 点拨：， 另两个数的表达式为，.
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