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甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三高考冲刺联考卷(三)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.一组数据：，，，的均值和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.函数在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
4.当时，方程的解的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
7.已知袋中共有个黑球、个白球，所有球除颜色外，其余均相同，甲和乙两人各从袋中随机且不放回地取出一球，若两球颜色不同，则甲胜；若两球颜色相同，则乙胜要使甲取得胜利的概率高于乙，则正整数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，为虚数单位，是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在复平面上对应的点在第二象限
10.已知等差数列的公差，其前项和记为，，则下列说法正确的是( )
A. 数列中有最大项 B. 数列中有最小项
C. 若，则 D. 若，，则取最小值时
11.已知为坐标原点，点的轨迹与轴的交点分别为，，当点与均不重合时，点到点和到定直线的距离的平方的和为，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹方程为
B. 的最大值为
C. 当点与均不重合时，直线，的斜率之积为定值
D. 若，，邻补角的平分线所在直线为，作直线且交于点，且交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则的最小值为 ．
13.已知，，，，则，，的大小关系为 均用“”连接
14.在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某高中高一年级共有名学生，高二年级共有名学生，高三年级共有名学生．
对高一、高二、高三年级按比例用分层随机抽样的方法，从全校抽取名学生参加活动，则高一、高二、高三年级分别抽取多少名学生？
从全校抽取容量为的有放回简单随机样本，得到如下数学成绩与学生性别的不完整列联表，请补全列联表．
单位：人
性别 数学成绩 合计
不优秀 优秀
男
女
合计
依据小概率值的独立性检验，分析中的抽样数据，能否据此推断数学成绩与学生性别有关联？
附：，．
16.本小题分
已知，当时，．
求的值；
证明：实数的取值范围为；
证明：当时，．
17.本小题分
如图，在三棱台中，为等边三角形，且，，，．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆过点，．
求椭圆的标准方程；
已知斜率为的直线交椭圆于，两点点，不重合，且交直线于点，探究是否有最小值．
19.本小题分
已知，两个函数，图象上各有一个点列：，，，，，与，，，，按照某种法则，产生一种唯一的对应关系：，则称，，，，与，，，，为“相伴互生成点列”若，，，是图象上的一点，过作的一条切线，切点为，切线交的图象于另一点再过作的一条切线，切点为，且，，依次类推，得到函数，的相伴互生成点列：，，，，与，，，，．
求点，的坐标；
求的通项公式；
证明：的面积为定值．
参考答案
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15.【详解】，，
，
故高一、高二、高三年级分别抽取学生名、名、名．
单位：人
性别 数学成绩 合计
不优秀 优秀
男
女
合计
零假设为：数学成绩与学生性别无关．
．
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为数学成绩与学生性别无关．
16.【详解】
证明：当时，．
故在上单调递减，故当时，，符合题意．
当时，，，存在使得当时，恒成立，则存在使得，矛盾．
故实数的取值范围为
证明：由知，当时，．
故，
故当时，．

17.【详解】由题意，在中，，
故，
故，故，．
同理，则为平面与平面所成二面角的平面角，
而，，故．
故平面平面．
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
则，．
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则故令，故，
则，故，
故二面角的正弦值为．
18.【详解】将，代入椭圆方程得
解得，，故椭圆的标准方程为．
设直线的方程为，，，，
联立得．
将代入椭圆方程整理得，，
，解得，
故，，
故
，
将代入上式，得，
由，得，又，
故没有最小值．
19.【详解】，则．，
则，得，且，
解得，所以，故．
由题知，，
即，解得．
故，故．
易知，
将，，代入上式化为关于的一元方程得，，
同理，故，是方程的两根，且，
故，，故，
整理得，故，
故．
证明：过，，分别向轴作垂线，垂足的横坐标分别为，，，再分别向轴作垂线，垂足的纵坐标分别为，，，
则
其中，
故上式化简为．
因为，故的面积为定值．

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