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江西省部分学校2025届高三下学期4月模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某产品的标准质量是克袋，抽取该产品袋，称出各袋的质量单位：克如下：
这袋产品中，质量在以平均数为中心，倍标准差范围内的有( )
A. 袋 B. 袋 C. 袋 D. 袋
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.某超市在清明节期间出售款品牌的清明果，款品牌的清明果，款品牌的清明果若将这款清明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，离心率为，为上一点，且位于第一象限，若垂直于轴，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.将一根长为的铁丝截成段，使其组成一个正三棱柱的框架铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数
B. 是增函数
C. 不等式的解集为
D. 若函数恰有两个零点，则的取值范围为
10.已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则( )
A. B. C. D.
11.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 点到圆锥底面的距离为
D. 点到圆锥底面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 ．
13.在边长为的正方形中，是的中点，是的中点，则 ．
14.已知函数在上的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在长方体中，点分别在棱上，，．
证明：．
求平面与平面的夹角的余弦值．
16.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求的最小值．
已知．
求；
若，求的周长．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点．
求的方程；
若是的中点，求直线的方程；
过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点．
19.本小题分
已知数列共项，对于中的项，若对任意的，都有，则称为中的一个“局部一项”，记是中所有“局部一项”组成的集合．
已知数列共项，且．
若为，求；
若的值为和的概率均为，记中有个元素，求．
若数列满足为大于的偶数，，，求中元素个数的最大值结果用和表示
参考答案
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14.
15.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
证明：因为，
所以
设平面的法向量为，
则即
取，则．
易得平面的一个法向量为．
因为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

16.【详解】在中，由及正弦定理，得，
由余弦定理得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
在中，由余弦定理得，
所以．
由，得，
则，解得，
所以的周长为．

17.【详解】若，则，．
故曲线在点处的切线方程为．
解法一因为函数的定义域为，
所以等价于．
设函数，则．
当时，在上为增函数．
因为，所以在上恒成立，不符合题意．
当时，函数是减函数．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为，所以．
设函数，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
所以，
所以有唯一解，即．
故的取值范围是．
解法二因为的定义域为．
所以等价于．
设函数，则．
因为，所以．
因为，所以，解得．
下面证明时，．
当时，，．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以，故，得证，故的取值范围是．

18.【详解】由题意可得解得，
所以的方程为．
依题意画出图像为：
设直线的方程为因为点在第二象限，所以，即，
设，．
联立直线与椭圆方程得．
当时，．
由根与系数的关系知，，
因为是的中点，所以，结合解得．
代入，解得舍去，
所以直线的方程为，即或．
根据题意画出图像为：
由可得，．
由题意可得，，直线的方程为
，
所以直线过定点．

19.【详解】根据题意可得．
由题意可得有种情况．
若，则只有种情况，即当时，，所以．
若，则只有种情况，即当时，，当时，，所以．
若，则有以下情况：
当时，，当时，，当时，或；
当时，，当时，，当时，；
当时，，当时，．
共种情况，所以．
若，则有以下情况：
当时，，当时，，当时，，当时，；
当时，，当时，，当时，或；
当时，，当时，，当时，．
共种情况，所以．
．
因为为大于的偶数，所以要使中元素的个数取得最大值，则中的项尽可能多的是“局部一项”，
即至之间的整数从小到大依次是中的项．
不妨设中元素的个数取得最大值时，除整数“局部一项”外，其余“局部项”都在区间内
记中元素的个数为，在区间内的“局部一项”有个，除外的非“局部一项”有个，则，．
因为，所以，结合可得，
则．
为大于的偶数，为整数，当为奇数时，为整数，此时中元素个数的最大值为．
当为偶数时，不是整数，满足的最大整数为，此时中元素个数的最大值为．
综上，当为奇数时，中元素个数的最大值为；当为偶数时，中元素个数的最大值为．

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