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山东师范大学附属中学2025届高三下学期5月高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，那么集合( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程单位：亿元，其中，，，若今年该地区财政收入为亿元，则年支出预计不会超过( )
A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元
4.用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知为的一个内角，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图中水面高度恰好为棱台高度的，图中水面高度为棱台高度的，若图和图中纯净水的体积分别为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则
B. 若的图象在上单调递增，则的取值范围是
C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的最小值为
D. 存在，对，恒成立
10.已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若，则；
B. 记，则的面积；
C. 若，过点且斜率为的直线与有个交点，则；
D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为．
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若平面，则最小值为
B. 若平面，则
C. 若，则到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为 ．
13.已知等比数列的前项和为，若，，则 ．
14.定义的区间长度为若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角、、的对边分别为、、，已知．
求角的大小；
若，且，求边上中线的长．
16.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，满足．
求的通项公式；
设的前项和为，若，求的最大值．
17.本小题分
已知，函数，．
当时，讨论函数的单调性；
证明：函数存在两个零点；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长，，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为上的中点，为直线上的动点，为过点的下底面的一条动弦不与重合．
求证：平面．
若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，试求出的最小值．
求三棱锥的体积的取值范围．
19.本小题分
近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近个月社区居民的睡眠改善情况统计．
月份
睡眠质量显著改善人数
若睡眠质量显著改善人数与月份变量具有线性相关关系月份变量依次为，请预测第个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
(ⅰ)经过次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
(ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，是一个确定的实数，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
参考答案
1.
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14.
15.解：在中，由及正弦定理得
，
即，
因为、，则，即，可得，故．
由正弦定理可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为为边上的中线，所以，
所以
，故，
因此，边上的中线的长为．
16.解：因为数列是公差为的等差数列，所以，
由可得，解得，
所以的通项公式为．
由得，
由得，即，解得，
由于，所以，所以的最大值为．
17.解：函数的定义域为，
又，
当时，，故函数在区间上单调递减；
当时，令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递增
单调递减
故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减．
证明：由，则，
当时，，，且等号不同时成立，
则；
当时，，，故，
设，则，
故函数在区间上单调递减，
又，，
故存在使得，
当时，，当时，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
，，
存在，使得，
故函数存在两个零点．
解：设，，
由可得函数的图象如图所示：
当时，因为，，
则，即恒成立；
当时，函数在区间上单调递减，
又，当时，，
存在，使得，
当时，，
故存在，使，即，与题设矛盾；
当时，函数的极大值为，即，
当时，即当时，，
故，即恒成立，
当时，即时，存在，
使，即，与题设矛盾．
综上，实数的取值范围为．
18.解：证明：由题设，长轴，短轴长，
则，
所以分别是中点，而柱体中四边形为正方形，连接，
由，，
故四边形为平行四边形，则，
当为的中点时，则，故，
面，面，
故平面
由题意知，令，，则，又，
所以，，
则，
因为，
当且仅当，即上式取等号，
所以的最小值是；
由，
正方形中为中点，易得与重合时与垂直，此时，，
则最大值为，
构建如图直角坐标系，且，椭圆方程为，
设：，联立椭圆得，且，
所以，，
而，
所以，
令，
则，
由令，我们知道在上递增，
故
由，
综上，．
19.解：，．
，
．
，
．
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第个月睡眠质量显著改善的大约有人．
解：的可能取值为．
；
；
；
所以的分布列为：
．
(ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为，
当时，
得：，
由得：
，其中
是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
由聚点数列的定义知：，
当时，，
所以，对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点．

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