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山东省济南外国语学校2025届高三下学期5月针对性检测(三)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.函数在区间的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第个正方形面积的，则 参考数据：
A. B. C. D.
8.已知函数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据，其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且，，则( )
A. 样本负相关 B.
C. D. 处理后的决定系数变大
10.函数，则( )
A. B. 的单调递增区间为
C. 最大值为 D. 有两个零点
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的面积为
B. 若，则直线被圆截得的弦长为
C. 若为等腰三角形，则满足条件的点有个
D. 若为与轴正半轴的交点，为圆的直径在第一象限，的中点为，表示斜率，则点的横坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆的圆心在第一象限，且在直线上，圆与抛物线的准线和轴都相切，则圆的方程为__ __．
13.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，，若删去前后它们的百分位数相同，则 ．
14.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面平面，，，．
证明：；
当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积．
17.本小题分
已知函数其中
当时，求的单调区间；
对任意，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
求的周长；
求面积的取值范围；
设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
19.本小题分
国学小组有编号为，，，，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：按编号由小到大的顺序依次进行，第号同学开始第轮出赛，先答第一题；若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
若把比赛规则改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
求随机变量的分布列；
证明：单调递增，且小于．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以；
由正弦定理可得为外接圆的半径，
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故．

16.解：在三棱台中，
取的中点，连接，
由，得，
由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，则，
又，，
则四边形是菱形，，
而，平面，
因此平面，又平面，
所以．
取中点，则，由平面平面，平面平面，
平面，则平面，直线两两垂直，
以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，
设平面的法向量，则
取，得，
设直线与平面所成的角为，
，
当且仅当，即时取等号，
所以三棱台的体积
．

17.将代入函数中，，由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
任意都有成立，
即，即，
令，则，
令，，
在上恒成立，即在上单调递增．
又，，故在内有零点，设零点为，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
且，则，所以，
设，，，所以在单调递增，
所以，，，即，所以，
所以最小值，所以，即实数的取值范围是．

18.解：，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
，从而的周长为．
由题意，得，即的周长为．
由题意可设过的直线方程为，
联立，消去得，
则，
所以，
令，
则当时等号成立，即时
所以，
故面积的取值范围为．
设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，
整理可得，
则，得，，
故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
若轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为．

19.由题设，可取值为，，，
，，，
因此的分布列为
可取值为，，，，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时，
故的分布列为：
由知：
，故单调递增；
由上得，故，
，
故．

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