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河南省安阳市2025届高三第三次模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，为两条不同的直线，为一个平面，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某校从名女生和名男生中选出人去参加一项创新大赛，则选出的人中至少有名女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的极小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为过点且垂直于的直线与交于，两点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的值域是 B.
C. 在区间上单调递增 D. 是奇函数
10.已知非空数集具有如下性质：若，，则；若，，则下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 若，，则 D. 若，，则
11.已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，下列说法中正确的有( )
A. 以为周期
B. 当时，
C. 设函数在区间上的两个零点为，，则
D. 函数在区间上的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数是 用数字作答
13.已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率为 ．
14.在中，角所对的边分别为，若，，则的值为 ，的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知直线与抛物线交于两点，且，于点．
Ⅰ求直线的方程
Ⅱ求．
16.本小题分
某工厂引进，两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取件进行检验，得到的数据如下表：
优质品 合格品 总计
生产线
生产线
总计
Ⅰ依据小概率值的独立性检，，分析，两条智能化生产线的优质品率是否存在差异
Ⅱ用样本的频率估计概率，若生产线的生产效率是生产线的倍，现从，两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率
Ⅲ用样本的频率估计概率，若从生产线上随机抽取件产品，记为这件产品中优质品的件数，求的分布列和数学期望．
附：．
17.本小题分
如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，，点在直线上，且．
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求证：平面
Ⅲ求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程
Ⅱ若是的极大值点，求的取值范围
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若对恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”．
Ⅰ试判断数列，，，和数列，，，是否为“倍增数列”
Ⅱ设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数的最大值
Ⅲ设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由．
参考答案
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14.
15.解：Ⅰ点的坐标为，
，
又，
直线过点，
直线的方程为：，
整理得：；
Ⅱ由得 ，
设，，则 ．
，
，
即．
又，
．
将代入，得 ，
又，
故 ．
16.解： ．
依据小概率值的独立性检验，可以认为，两条智能化生产线的优质品率存在差异．
Ⅱ ，所以任取一件产品是优质品的概率为．
Ⅲ的所有可能取值为，，，．
，
，
，
．
所以的分布列为
所以的数学期望 ．
17.解：Ⅰ 连接，，相交于点，则，连接，．
由题意，得四点共面．
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，即．
因为四边形是正方形，所以四边形是正方形又因为，
所以，，
所以，
所以四边形 是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ因为平面，平面，
所以．
又，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以，
由底面，，
得，
所以．
因为平面，平面， ，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，，平面，平面，
所以平面．
Ⅲ以 为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，， ．
由Ⅱ知平面的一个法向量为 ．
由题意，得平面的一个法向量为 ．
设平面与平面的夹角为，
则
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：Ⅰ 若，则，，
所以，，
所以曲线 在点 处的切线方程为．
Ⅱ 由题意，得 的定义域为，
，则，
所以 ．
当 时，在区间 上， ， 单调递减，
在区间 和 上，， 单调递增，
所以 是 的极大值点，满足条件．
当 时， ，
在区间上单调递增， 没有极值点，不满足条件．
当 时，在区间 上，， 单调递减，
在区间 和上，， 单调递增，
是 的极小值点，不满足条件．
当时，在区间 上，， 单调递减，
在区间上， ， 单调递增，
所以 是的极小值点，不满足条件．
综上， 的取值范围是
Ⅲ由Ⅱ知， ， ，且时， ，
所以在上， 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立．
设 ，
则 ．
令 ，
则 ，
当时， ，
所以 即 在区间上单调递减，
又 ，
所以 ，
所以 在区间上单调递减．
又 ，所以的取值范围是．
19.解：Ⅰ 因为，，，
所以，所以数列，，，是“倍增数列”．
因为，，，
所以，所以数列，，，不是“倍增数列”．
Ⅱ 因为数列是“倍增数列”，为整数，且，
所以，，，， ，且为正整数，
所以， ，
即 ，
又因为 ， ，所以 ．
因为，能整除，
结合，可得，，，，，
所以，，，，
所以正整数 的最大值为．
Ⅲ是“倍增数列”．
证明：，
．
所以，即，
所以 是“倍增数列”．
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