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河南省郑州市2025届高三下学期第三次质量预测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则角为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼该游客每天从这六种美食中选择到种进行品尝每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
6.月日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围某中学共有名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是( )
注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表
A. 阅读量的众数估值为 B. 阅读量的中位数估值为
C. 阅读量的平均数估值为 D. 阅读量的第百分位数估值为
7.已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知点坐标为，直线与圆交于，两点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，则下列关于的说法中正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 最大值是
C. 是区间上的增函数 D. 图象关于点中心对称
10.如图，在棱长为的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 如果在此正四面体中放入一个小球全部进入，则小球半径的最大值为
D. 动点在平面内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为
11.群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：对任意的，，有对任意的，，，有存在，使得对任意的，有，称为单位元对任意的，存在，使，称与互为逆元则称关于“”新构成一个群则下列说法正确的有( )
A. 为虚数单位关于数的乘法构成群
B. 有理数集关于数的加法构成群
C. 关于数的除法构成群
D. 正实数集关于数的乘法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 ．
13.已知，，则 ．
14.若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报历史数据表明，警报与服务器状态正常故障高度相关从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取条，统计如下：
触发警报时状态分布
正常 台
故障 台
未触发警报时状态分布
正常 台
故障 台
运维单台服务器时，可选操作及经济损失单位：千元如下：
状态操作 保持运行 快速诊断 深度检修
正常
故障
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．
Ⅰ若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率
Ⅱ某次维护中，发现台触发警报的服务器和台未触发警报的服务器现有三种操作方案：
方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行
方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行
方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．
从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ若是函数的极值点，求的值
Ⅱ在Ⅰ的条件下，若函数有两个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
Ⅰ求数列的通项公式
Ⅱ设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，点在上，且．
Ⅰ求的方程
Ⅱ过作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线分别交于，和，两点，其中点，在第一象限．
(ⅰ)记和的面积为，，求的最小值
(ⅱ)过点作轴的垂线，分别交，于，两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，经过点，且以为法向量的平面的方程为．
Ⅰ求原点到平面的距离
Ⅱ根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用有关知识证明
Ⅲ已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件，服务器未触发警报时其
处于故障状态记为．
Ⅰ由题意可知，，
Ⅱ，，
又，
．
，
方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为：
千元．
未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为：
千元．
千元
方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：
千元．
所以，千元，
方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：千元，
所以，千元
，
所以应该选择方案乙．
16. 解：Ⅰ，
又是函数的极值点，所以，即．
此时，
，
，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，是函数的极小值点；
Ⅱ由Ⅰ可知有两个零点，
即方程有两个解，
当时，
当时，，即．
设，函数零点个数为函数的图象与直线的交点个数．
，，
，或，且
所以函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增．
当时，当时，
如图所示，，，函数的图象与直线有两个交点，即或，
即或时，函数有两个零点，
即的取值范围为：．
17.解：由题意可知，可得，
又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以
由可得，
所以，，
当为奇数时，，
，
由得，
所以，，
所以，，所以，，所以，
当为偶数时，，
同理求和可得，，
所以，故，
综上可得实数的取值范围．
18.解：Ⅰ依题意得，点在抛物线上，且，
所以，，所以可得，
所以，的方程为．
Ⅱ抛物线方程为，焦点坐标为，
设，，
，，，，
由消去得，
，，，
所以，，
同理，
所以，，当且仅当时等号成立，
故，的最小值为．
不妨设，由题意可知，
又，，
所以，的直线方程可化为：，
又，故可得，又，
所以可得，
可得，所以可得的中点恒为，
以为直径的圆与轴相切等价于，
若，则，
所以，，
又，所以，故，
整理可得，即，
所以，．
又，故可得．
代入方程可得，，
又，
故不存在以为直径的圆与轴相切．
19.解：Ⅰ根据题意，平面的法向量，
在平面上任取点，可得，
设原点到平面的距离为，
则，
故原点到平面的距离为
Ⅱ由点到直线的距离公式，
类比：点平面的距离公式为，
证明如下：不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为：
Ⅲ，，，，
设为平面的一个法向量，
则
令，得，，
所以，
因为平面的方程为，
所以由Ⅱ知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，
则
令，得，，
所以，
因为平面，
所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为：
，
又，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
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