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山东省九五高中协作体2025届高三下学期质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知实数，满足，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象若的图象关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知为正项等差数列，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知连续型随机变量~N(0,),为使随机变量在(-,)的概率不小于0.9545 (若X~N(,),则P(|X-|<2)=0.9545),则实数a的最小值为( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7.已知，，若向量与向量互相垂直，则( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，满足，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组不全相同的样本数据，，，，则关于样本数据，，，的说法正确的是( )
A. 与原数据相比，极差一定变大 B. 与原数据相比，众数一定变大
C. 与原数据相比，平均数一定变大 D. 与原数据相比，方差一定变大
10.已知函数，则( )
A. 有个零点
B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C. 与交点的横坐标之和为
D. 在区间上的值域为
11.三棱锥中，，，，，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为
D. ，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为 ．
13.已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率，过与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，则的周长为 ．
14.已知正整数，欧拉函数表示，，，中与互素的整数的个数例如，，若从，，，中随机取一个数，则满足的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，为等边三角形，．
证明：平面平面
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得分，败方得分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案请说明理由．
附：当时，．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，且的最大值为
求抛物线的方程
过点的两条直线分别交于，和，两点，且，分别是线段，的中点，设线段的中点为．
(ⅰ)证明：直线轴
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
对集合，，定义集合或，，记为有限集合的元素个数．
以下给定正整数，并记集合．
设，，为有限集合，证明：
给定自然数和的子集，求集合的元素个数
设其中为正整数，的子集，，，满足：，均有证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.C
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：因为底面为矩形，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
取中点为，连接，
因为为等边三角形，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
如图，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则．
又平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：函数的定义域为，，
若，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递减
若，令，或，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
当时，恒成立，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
若，当，恒成立，
当时，单调递增，不可能有两个零点
若，
因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极小值，
故不可能有两个零点
若，在上单调递增，在上单调递减
因为有两个零点，
则必有，即，
此时，当时，
当时，，
故有两个零点，符合题意．
综上的取值范围为．
17.解：第四场结束恰好分出胜负对应的事件为
甲赢第、、局，乙赢第局，
甲赢第、、局，乙赢第局，
乙赢第、、局，甲赢第局，
乙赢第、、局，甲赢第局，
对应概率：
设事件甲最终获胜，事件甲乙在前两局结束后得分相同．
记使用方案一、二时甲胜出的概率分别为，．
对于方案一，根据条件概率公式：，
因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲、乙各胜出一局达到同分的条件下，
甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率恰为，即，
故，
从而．
对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，
即每局胜者按照“甲乙甲乙甲乙甲甲”或“乙甲乙甲乙甲甲”的规律．
从而甲获胜的概率
，
显然，令，有，即．
故我们有，应选择方案二．
18.解：由题意，的最大值为，
由于，
所以，
则，即，
所以的方程为
设，，，
由题意，得，，
由在上，故，结合，
可化简得：，
即
同理可得，
从而直线方程为，
将直线方程代入，
消去得到，
从而，
即点横坐标，
从而轴
由，将方程代入后，消去得，
由根与系数关系得，且，
从而
由代入，得到，
从而，
故
令，
由于在圆上，
故，
从而，
当时，取最大值，
此时取最大值．

19.解：证明：对任意元素，则恰属于集合，之一，
不妨设且C.
若，则；
若，则，
因此，
所以，
因此，结论成立．
首先当 时，显然该集合元素个数为．
下面考虑的情形：对任意一个的 元子集，
我们有：
，
即每个恰唯一对应一个属于该集合．
故该集合的元素个数为．
综上所述，该集合元素个数为．
对每个，考虑集合．
若集合，则、，
因此由知：，矛盾，
所以集合，，，两两不交．
由知：，
因此，
结论成立．
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