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吉林省吉林市普通高中2025届高三下学期第四次模拟测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
2.已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.为了解教育改革制度出台后学生每周的段炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到改革后学生每周的锻炼时长单位：小时近似服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.直线的一个方向向量为，倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为的奇函数满足，则( )
A. B.
C. 的最小正周期为 D. 是曲线的一条对称轴
7.已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设，，定义余弦距离为原点若，，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，则( )
A. 从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
B. 从两批产品中各取件，都取到次品的概率为
C. 两批产品混合后任取件，该产品是次品的概率为
D. 两批产品混合后任取件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为
10.已知函数，则( )
A. 当时，函数的单调递减区间是
B. 当时，函数的单调递增区间是
C. 是函数的极大值
D. 函数有且只有一个零点
11.如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球桶壁的厚度忽略不计，其中一个球恰为铁桶的内切球与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球，为该球与母线的切点．，分别为铁桶上，下底面的直径，且，，为的中点，则( )
A. 铁桶的母线长为
B. 铁桶的侧面积为
C. 过，，三点的平面与桶盖的交线与直线所成角的正切值为
D. 桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是定义域为的偶函数，则 ．
13.已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 ．
14.已知，，且动点满足则的取值范围为 ；若线段的垂直平分线与交于点，则的正切值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离；
若函数，求在上的最大值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点．
证明：平面；
若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，且，．
若，求的周长；
若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围．
18.本小题分
在重伯努利试验中，用表示事件发生的次数，则称随机变量服从二项分布，它关注试验成功的总次数；用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为．
当时，求运动员甲进行次投篮，命中次数不少于次的概率；
设表示运动员甲首次命中时的投篮次数．
求及此概率取得最大值时的值；
若甲最多投篮次，第次未命中也结束投篮，利用中的值，求的数学期望．
19.本小题分
已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线．
求双曲线的标准方程及离心率；
双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.【详解】法一；设点，
则点到直线的距离最短需满足在点处的切线与平行．
，，
切线的斜率．
则点到直线的最短距离．
法二：设点，
点到直线的距离．
设，．．
令，解得．
当变化时，，的变化情况如表所示
单调递减 单调递增
所以，当时，取得最小值．
所以点到直线的最短距离．
，，
在单调递增．
，
，使．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，，
，，

16.【详解】方法一：且．
是中点，四边形是矩形，且．
，四边形是平行四边形，．
又不在平面内，平面，平面．
方法二：平面平面，平面平面，
平面，，平面．
又，则以为原点，所在直线分别为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空闻直角坐标系，设，，则．
依题意得，，，，，，．
，平面的一个法向量为，．
又平面，平面．
法三：平面平面，平面平面，
平面，，平面．
以为原点，在平面内过点且与垂直的直线为轴，以所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
依题意得，，，，，，
取中点，连接，
由题可得，，
，．
，，
又平面，平面，平面
方法一：平面平面，平面平面，
平面，，平面
又平面，．
又，，平面，平面，
平面．
又平面，．
即为平面与平面的夹角，．
又，，，．
又由知为的中点，．
平面，平面，．
又，平面，平面，平面．
点到平面的距离为．
注：此处亦可用等体积法求解设点到平面的距离为，
由得，
即，解得
方法二：平面的一个法向量为，，，
设平面的一个法向量为，则取．
平面与平面的夹角为，
，解得．
，，
平面的一个法向量为．
点到平面的距离．
方法三：平面的一个法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
则
取．
平面与平面的夹角为，
，
解得或．，．
平面的一个法向量为，，
点到平面的距离．

17.【详解】，，由余弦定理得，，
，解得，或舍去
，
的周长为．
由余弦定理得，，整理得，，
，
，即，
由正弦定理得，，，
，，
，
令，，，
函数在上单调递增，
，即的取值范围是．

18.【详解】设运动员甲进行次投篮，命中次数为，
则．
法一：，
设，，，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，取最大值，即取得最大值，
此时；
法二：，，
当且仅当，即时，取“”，此时取得最大值．
由题意可知的所有可能取值为：，，，，．
当且时，，
当时，，
，
设
则，
得：，
．

19.【详解】设，则，，
将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，
则，
则，解得，，因此点的坐标是．
在双曲线上任取一点，
将绕原点沿逆时针方向旋转，
得到，
则
又点在曲线上，则，
化简得双曲线的标准方程为：，
则，，，故离心率．
由可知，，由题意可知直线的斜率存在不为，
故设直线方程为：，，，
联立，得，
则，，，，
因线段的中点为，，
所以线段的垂直平分线为，
即，
又，，
则线段的垂直平分线为，
同理线段的垂直平分线为，
设，
因点是的外心，则有
则是方程，
即的两个根，
则，，
故，，
两式作商得，，
得，则，
即直线与直线的斜率之积为定值．

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