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吉林省精准教学联盟2025届高三下学期第二次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的共轭复数的虚部与实部之差为( )
A. B. C. D.
2.设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为( )
A. B. C. D.
4.设为非零实数，若二项式展开式中含与的项系数相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.某班有包括甲、乙、丙在内的名同学被要求同排合影，要求甲、乙、丙三人任意两人不允许相邻不同的排列方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.某学校准备抽奖活动，在一个盒子中有个大小和形状均相等的小球，其中有个粉色球，个紫色球和个蓝色球，从盒子中任选一球，若它不是粉色球，则它为蓝色球的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，过点的直线与圆交于、两点，且，则等于( )
A. B. C. D.
8.令函数，再定义，函数满足，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则为等差数列
B. 若，，则为等比数列
C. 若，，则的通项公式为
D. 若，，则为周期为的数列
10.已知函数的部分图像如图所示点为图象与轴的交点，点为图象最低点图象上未标出，且是面积为的等边三角形．已知，且在区间上单调递增下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在区间内有且仅有个实根
D. 函数的最小正周期为
11.已知两函数曲线和点、分别为、上的动点，原点坐标为下列说法正确的是( )
A. 点、的有个不同的重合坐标．
B. 曲线是偶函数，曲线是奇函数．
C. 的最大值为．
D. 两曲线与函数有且仅有一个共同交点．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某零件的重量服从正态分布，平均重量为克，检验发现重量在克到克之间的零件占总量的，则这批零件的标准差 保留位有效数字．
13.设函数，记为的导函数，已知在处取得极大值，且同时满足，则 ．
14.已知平面向量内，，若存在实数、使得，并且，且则满足条件的所有的值对集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的外接圆上，过点做切线，与的延长线交于点，且、、在同一圆上．
证明：；
若，，，求点到、两点的距离．
16.本小题分
某校为了激发学生的创新性思维，举办了一场“智能机器人传球大赛”，每班派一名编程代表，操作一台机器人参与比赛．比赛场地分为两个区域：区和区．初始时球放在区，每次操作通过随机生成至的某一个数字，依据以下规则控制机器人传球：
若随机数为，机器人无法传球，球保持原地不动；
若随机数为，若球在区，球不动，若球在区，球被传到另一个区域；
若随机数为、、、，球被传到另一个区域．
已知连续两次操作，求事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”的概率；
已知连续三次操作，记随机变量为“机器人实际完成传球的次数”，求随机变量的分布列及数学期望．
17.本小题分
在一三维平面中，设圆锥顶点为，底面圆心为，在该圆锥内部，存在两个内切球，球心分别为、，半径分别为、，分别与一个平面相切于、两点，已知平面截圆锥所得截痕是一个平面曲线，动点在上运动，满足，其中为常数，直线过点与曲线相交于、两点．
求动点的轨迹方程；
若直线交轨迹于两点、，证明：与无关，并求及值；
若一点同时满足，，求的取值范围．
18.本小题分
设函数．
讨论的单调性并求其极值；
若在内存在极值，求的取值范围；
当取中所求范围内的任意值时，求的最小值．
19.本小题分
已知为正三角形，动点为平面外一点，为平面内一点，已知，，且．
若平面，求到平面的距离；
在的条件下，求三棱锥的外接球的半径；
求点的运动轨迹．
参考答案
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13.
14.
15.解：设的外接圆圆心为，连接并延长，交圆于点，连接，
则，故，
又，即，所以，
故，
又，所以，
又为公共角，所以∽，
所以，
则，证毕；

由得，又，，，
设，则，
所以，解得，故，．

16.解：记事件“第次操作后球在区”，“第次操作后球在区”，．
事件“第次操作后球不在区”，也即事件，故，
则事件“第一次操作后球在区或第二次操作后球在区都未发生”可表示为，
由题意，，，，
故由概率乘法公式可得．
由题意，机器人实际完成传球的次数，
其中，表示事件；表示事件；
表示事件；表示事件，
且，
故由概率乘法公式可得，
；
；
；
；
故随机变量的分布列为
故随机变量的期望．

18.解：要使有意义，则．
下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域．
设，函数图象开口向上，对称轴为，
令，即，，其中，
当时，，则在单调递增，
当时，，
故此时定义域为；
当时，，也恒成立．
故定义域也为；
当时，，
此时不等式组为，解得，或．
故定义域为；
当时，，方程有两根，
，且，，
故函数的定义域为；
由，
则
当时，．
则在单调递减，无极值；
当时，，，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
此时有极小值；
当时，定义域为，
，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
在处无定义，无极值；
当时，，，
又，
由，且，
所以；
又，
所以，
且当时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
此时无极值．
综上所述，当时，在单调递减，无极值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值；
当时，在单调递减，在单调递增；无极值．
由可知，要使在内存在极值，则．
所以的取值范围为．
由题意，，的定义域为，
且在上单调递减，在单调递增，
，
所以，的最小值为．

19.解：由得，即，
则点为上靠近的三等分点，由，则，
由平面，平面，则，
在与中，由，
则有，解得，
故，即点到平面的距离．

设外接球球心为，的外接圆圆心为，半径为；的外接圆圆心为，半径为，
连接，则平面，且平面，
由为正三角形，则；
在中，，
则，则，
由，可得，
取中点，连接，则，且三点共线，，
由平面，平面，则平面平面，
平面平面，平面，
则平面，故，
同理得，，故四边形为平行四边形，所以，
则外接球半径．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
由得，
坐标代入得，
整理得，又点在平面外，故，
故动点的轨迹为以为球心，为半径的球面不包含在坐标平面上的圆．


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