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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷(湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学)数学试卷(二)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若“”是真命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中的各项系数和为，则该展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则( )
A. B. C. D.
6.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于集合、，定义运算：且，若，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则( )
A. 的图象关于对称 B.
C. D.
11.在直三棱柱中，，则( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 若点在线段上运动，则的最小值为
C. 点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线，则点的轨迹长度为
D. 若分别为的中点，则平面截三棱柱所得截面的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 ．
14.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为若上第一象限内的点满足的面积为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列，．
求的通项公式；
设数列的前项和为，求．
16.本小题分
在电影哪吒上映后，某电影公司为了解观众对该部电影的喜欢程度与性别的关系，随机抽取了名观众进行调查，得到如下列联表：
性别 喜欢程度 合计
不喜欢 喜欢
男性
女性
合计
请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与喜欢程度有关联？
将喜欢电影哪吒的观众称为“吒迷”，为了解他们的观后感，从“吒迷”中按性别用分层抽样的方法随机抽取名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取人做进一步调研，记抽出的人中女性的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为等边三角形，直线与圆相切．
求的方程；
是否存在过点的直线与相交于不同的两点，且满足为坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，正方形的边长为是的中点，点在边上，且将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
给出如下定义：已知两个函数和，集合为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对于任意的，都有，则称函数为和在集合上的一个“隔离函数”．
若，且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”，请作出判断并证明你的结论；
若，且是和在上的“隔离函数”，求实数的取值范围；
若其中，，其中是与在上的“隔离函数”，证明：．
参考答案
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14.
15.【详解】由可得，故公差，
所以，
由于，
故
16.【详解】依题意，列联表如下：
性别 喜欢程度 合计
不喜欢 喜欢
男性
女性
合计
零假设：性别与喜欢程度无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为性别与喜欢程度无关联．
依题意，抽取的人中，男性人数为：人，女性人数为人，
的所有可能取值为，
则，，
所以的分布列为：
数学期望．

17.【详解】由为等边三角形，可得：，
又直线与圆相切，
可得：，化简可得：，
联立，可得，
则，
所以椭圆的标准方程是．
当直线的斜率不存在时，，，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，如图，设直线的方程为，，，
由消去整理得：，
由解得或，
由韦达定理得：，，
，
，，解得，满足，
所以存在符合题意的直线，其方程为．

18.【详解】证明：因为四边形为正方形，所以，由折叠得，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，又平面，
所以．
在平面中，过点作，垂足为，
由勾股定理得，，所以，
以为原点，以平面内过点垂直于的方向为轴，直线方向为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
则，，
因为，所以，则，
由知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取则，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值．
在平面中，过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，所以的长即为点到平面的距离，
在中，，
所以，
所以点到平面的距离为．

19.【详解】函数为和在集合上的一个“隔离函数”，证明如下：
设，，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，当且仅当时等号成立；
设，，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
即，当且仅当时等号成立．
综上所述，对于任意的，都有，
则函数为和在集合．上的一个“隔离函数”．
因为是和在上的“隔离函数”，
则对于任意的，都有，
即．
由，即，
设，，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，则；
由，即，
设，
则，
设，，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，，，，
则，即在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，，，，
故存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，则，符合题意；
当时，，不满足，不符合题意，
所以要使，则．
综上所述，实数的取值范围为．
因为是和在上的“隔离函数”，
则对于任意的，都有．
当时，由，则，
即，
则，
设，
则，
又，则，，，则，
所以函数在上单调递减，又，，
则，
设不等式的解集为，
则，
则；
当时，，
由于，则，则，，
则，因此，
因为，所以；
则时，都有，
由于，都为偶函数，
因此当时，成立．
综上所述，．

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