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山东省青岛市2025届年高三下学期第三次适应性检测
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合,,则( )
A. B. C. D.
3.若随机变量X~B(4,p),D(X)=1,则P(X=3)=()
A. B. C. D.
4.九章算术是中国古代的数学名著,书中有“分钱问题”现有个人分钱,人分得钱数依次成等差数列,前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和,则分得钱数最少的一人钱数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象关于点中心对称,则( )
A. B. C. D.
6.在中,,,分别是内角,,的对边,则“”是“为等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的定义域为,,,则( )
A. B. C. D.
8.若,,则( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.某学校组织全体学生参加了文创大赛,随机抽取了名学生的成绩进行统计,得频率分布直方图如图,则( )
A. 图中的值为
B. 该样本中成绩在区间内的学生有人
C. 估计全校学生成绩的平均数约为
D. 估计全校学生成绩的分位数约为
10.已知椭圆的上顶点为,左、右焦点分别为,,为正三角形,过的直线与交于,两点,则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 的最大值为
C. 的取值范围是
D. 当倾斜角为时,的周长为
11.已知两个无公共点且半径为的球,若在两球球面上各存在两点,使得这四点恰为某正四面体的四个顶点,则( )
A. 该正四面体棱长可以为 B. 该正四面体棱长可以为
C. 两球球心间的距离可以为 D. 两球球心间的距离的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若,,则 .
13.已知正三棱台,,,,则该正三棱台的体积为 .
14.已知,,,,从集合中选取个不同元素相乘,将这些乘积的和记为,则的整数部分为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某家超市连续天的广告支出万元与销售额万元的数据如下:
第天
广告支出
销售额
从这天中随机抽取天,记销售额不少于万元的天数为,求的分布列及均值
已知与线性相关,求出关于的经验回归方程,并预测广告支出为万元时的销售额.
附:经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
16.本小题分
在平面直角坐标系中,已知直线经过原点,是的方向向量,数列满足:点均在上,.
求的通项公式
已知是以为首项,为公差的等差数列,若与的公共项为,的值由小到大构成数列,求的前项和.
17.本小题分
如图,已知底面是正三角形,平面,平面,.
若,是中点,证明:平面
求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18.本小题分
已知抛物线的焦点为,直线与恰有个公共点,与轴、轴分别交于点,.
求的方程
求的外接圆的标准方程
若点在上运动,点在线段上,过的直线分别交线段,于点,,且,求点的轨迹方程.
19.本小题分
是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:
对任意的,都有
存在常数,使得对任意的,,都有
若,,证明:
若,,证明:
若,数列满足,,证明:
参考答案
1.
2.
3.B
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14..
15.解:销售额不少于万元的有天,的所有可能取值为,,,
,,,
所以的分布列为:
所以.
,,
,
,
,,
所以经验回归方程为,
当时,,
答:所求方程为,预测广告支出为万元时的销售额为万元.
16.解:由直线过原点且方向向量为可知的方程为,
因此对任意正整数,即,
因为,所以,,
所以,
是首项为,公比为的等比数列,
所以.
因为数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,
因为,所以,即,
所以,
所以.
17.解:,均垂直于平面,,
取中点,连接,,
,,且,
又且,故四边形是平行四边形
,又平面,平面,
平面.
令,取中点为,连接,过作,且交于,
,平面,平面,
是正三角形,所以,
,
以为坐标原点,,,方向为,,轴正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,所以,,
设平面法向量,则,
所以,可取,
又因为,设与平面所成角为,
所以,当时,最大值为
综上,直线与平面所成角正弦值的最大值为
18.解:因为在上,所以,
所以的方程为.
若与轴平行,不合题意
若不与轴平行,则与相切于,
设,由,得,
所以,解得:,
所以,
因为,,,,故D为中点,
所以,中垂线的方程为,中垂线的方程为,
因此的外接圆圆心坐标为,
的外接圆半径等于,
所以外接圆方程为.
设,,,
故,
所以,同理,
因为,所以,所以,
设,
因为,所以,
因为,,三点共线,所以,所以,,
设,,,,
因为,,所以,
所以,
因为,不重合,所以,,
综上,点的轨迹方程为
19.解:在上单调递增,且,,所以,
对任意的,,,
令,,在上单调递减,
不妨设,则,,
所以,故,
所以,故取即可.
所以,
对任意的,,,,
令解得:或舍,
所以在上单调递增,在上单调递减
又因为,,所以
令,,
所以在上单调递减所以,,,
所以,所以,
对任意的,,
因为,
又因为,
其中,
令,,在上单调递减,
不妨设,,则,
所以,所以,
所以,
所以,故取内常数即可所以;
因为,
所以,
又因为
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