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山东省青岛市2025届年高三下学期第三次适应性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若随机变量X~B(4,p),D(X)=1,则P(X=3)=（）
A. B. C. D.
4.九章算术是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”现有个人分钱，人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，，分别是内角，，的对边，则“”是“为等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. C. D.
8.若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图如图，则( )
A. 图中的值为
B. 该样本中成绩在区间内的学生有人
C. 估计全校学生成绩的平均数约为
D. 估计全校学生成绩的分位数约为
10.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 的最大值为
C. 的取值范围是
D. 当倾斜角为时，的周长为
11.已知两个无公共点且半径为的球，若在两球球面上各存在两点，使得这四点恰为某正四面体的四个顶点，则( )
A. 该正四面体棱长可以为 B. 该正四面体棱长可以为
C. 两球球心间的距离可以为 D. 两球球心间的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ．
13.已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为 ．
14.已知，，，，从集合中选取个不同元素相乘，将这些乘积的和记为，则的整数部分为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某家超市连续天的广告支出万元与销售额万元的数据如下：
第天
广告支出
销售额
从这天中随机抽取天，记销售额不少于万元的天数为，求的分布列及均值
已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为万元时的销售额．
附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量，数列满足：点均在上，．
求的通项公式
已知是以为首项，为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
17.本小题分
如图，已知底面是正三角形，平面，平面，．
若，是中点，证明：平面
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点，．
求的方程
求的外接圆的标准方程
若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段，于点，，且，求点的轨迹方程．
19.本小题分
是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
对任意的，都有
存在常数，使得对任意的，，都有
若，，证明：
若，，证明：
若，数列满足，，证明：
参考答案
1.
2.
3.B
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：销售额不少于万元的有天，的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
所以．
，，
，
，
，，
所以经验回归方程为，
当时，，
答：所求方程为，预测广告支出为万元时的销售额为万元．
16.解：由直线过原点且方向向量为可知的方程为，
因此对任意正整数，即，
因为，所以，，
所以，
是首项为，公比为的等比数列，
所以．
因为数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为，所以，即，
所以，
所以．
17.解：，均垂直于平面，，
取中点，连接，，
，，且，
又且，故四边形是平行四边形
，又平面，平面，
平面．
令，取中点为，连接，过作，且交于，
，平面，平面，
是正三角形，所以，
，
以为坐标原点，，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
设平面法向量，则，
所以，可取，
又因为，设与平面所成角为，
所以，当时，最大值为
综上，直线与平面所成角正弦值的最大值为
18.解：因为在上，所以，
所以的方程为．
若与轴平行，不合题意
若不与轴平行，则与相切于，
设，由，得，
所以，解得：，
所以，
因为，，，，故D为中点，
所以，中垂线的方程为，中垂线的方程为，
因此的外接圆圆心坐标为，
的外接圆半径等于，
所以外接圆方程为．
设，，，
故，
所以，同理，
因为，所以，所以，
设，
因为，所以，
因为，，三点共线，所以，所以，，
设，，，，
因为，，所以，
所以，
因为，不重合，所以，，
综上，点的轨迹方程为
19.解：在上单调递增，且，，所以，
对任意的，，，
令，，在上单调递减，
不妨设，则，，
所以，故，
所以，故取即可．
所以，
对任意的，，，，
令解得：或舍，
所以在上单调递增，在上单调递减
又因为，，所以
令，，
所以在上单调递减所以，，，
所以，所以，
对任意的，，
因为，
又因为，
其中，
令，，在上单调递减，
不妨设，，则，
所以，所以，
所以，
所以，故取内常数即可所以；
因为，
所以，
又因为
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