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湖南省长沙市长沙县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·长沙期末）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C．3 D．9
2．（2024八下·长沙期末）“心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·长沙期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．转动抽奖转盘一次，中奖
C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6
D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球
4．（2024八下·长沙期末）一次函数y＝2x-3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·长沙期末）“志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．下表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
参与次数 5 4 3 2 1
参与人数 2 3 2 2 1
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2，2 B．2，3 C．4，3 D．4，3.5
7．（2024八下·长沙期末）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
8．（2024八下·长沙期末）将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·长沙期末）如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·长沙期末）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线；
第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，；
第三步：连接分别交，于点，点，连接，．
由上述作图过程可知，的值等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·长沙期末）若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是　 　
12．（2024八下·长沙期末）已知的三边a，b，c满足，则一定是　 　三角形．
13．（2024八下·长沙期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足　 　时，选择乙种消费卡更为划算．
14．（2024八下·长沙期末）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为　 　．
15．（2024八下·长沙期末）为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占，，计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为　 　分．
16．（2024八下·长沙期末）如图，将正方形放置于平面直角坐标系中，若点，点，则点B的坐标为　 　．
17．（2024八下·长沙期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·长沙期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果，则________；（直接写出答案）
（2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程．
19．（2024八下·长沙期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是点A，点B，点C．
（1）作出关于x轴对称的；
（2）再将以点O为中心，顺时针旋转，作出旋转后的；
（3）观察和的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
20．（2024八下·长沙期末）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次抽取的学生人数是________人；________；________．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率．
21．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
22．（2024八下·长沙期末）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值．
23．（2024八下·长沙期末）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
（1）如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；
（2）在（1）的条件下，作于点D，求，的长．
24．（2024八下·长沙期末）根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？
【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务．
素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为；
素材3：设该巡航船行驶的时间为x（），与B岛的距离为y（），y与x的函数关系的图象如图（2）所示．
【问题解决】
（1）A岛与C岛之间的距离为________，________．
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）试确定该巡航船接收信号的有效时长．
25．（2024八下·长沙期末）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题．
（1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”．
①平行四边形（　　）；②矩形（　　）；③菱形（　　）
（2）如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”；
（3）如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故选：C
【分析】
一个正数的算术平方根只有一个，即正的平方根．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
B. 转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意；
C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意；
D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意，
故选：D．
【分析】
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
4．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x，
∴k=2>0， b=-3<0，
∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，
故选：A．
【分析】
本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中有：，
，
，
故选：D．
【分析】
由平行四边形对角相等即可求出．
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据4出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为4，
第5、6个数据分别为4，3，
所以这组数据的中位数为，
故选：D．
【分析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，点P是的中点，点是的中点，
，
在滑动的过程中的长度不变．
故选：B．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的性质可知：将函数的图象沿轴向上平移4个单位长度后的函数关系式为．
故选：A．
【分析】
一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”即可找出平移后的函数关系式．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
，
旋转角的度数等于，
故选：C．
【分析】
根据旋转的性质得，则，再利用三角形内角和定理可得答案．
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
设，则有，
解得，
，
．
故选：B．
【分析】
由作图可知垂直平分线段，推出，设，则、，应用勾股定理列方程并解方程即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数不小于0．
12．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴一定是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，将变形可得，即可解答．
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少，
故答案为：．
【分析】
观察图象，实质是求表示乙的直线在表示甲的直线下方时对应的自变量的取值范围．
14．【答案】6
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
【分析】根据白球概率得到黑球概率，然后根据概率公式列方程解题即可．
15．【答案】94
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
（分），
即1号参赛学生的最终得分为94分，
故答案为：94．
【分析】
利用加权平均数的计算公式进行求解即可．
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴，垂足为，
点，点，
，，
∵
∴
在和中，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】
由于A、D两点坐标已知，则OA、OD长可求，可过点作轴，结合正方形的性质利用“AAS”可证明，可得，继而可求点坐标．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式并对同类二次根式进行合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：（1）如果，则，
故答案为：；
【分析】
（1）利用平方根的定义即可求得答案；
（2）利用平方根的定义直接开平方，再移项即可．
（1）解：如果，则，
故答案为：；
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
19．【答案】（1）解：如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）答：如图所示，连接，作线段的垂直平分线，
则△与△关于直线对称．
这直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据轴对称的性质分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，并顺次连接A1、B1、C1即可．
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B、C三点关于原点顺时针旋转后 的对称点A2、B2、C2，并顺次连接A2、B2、C2即可即可．
（3）连接，作线段的垂直平分线，结合轴对称的性质可知△与△关于直线对称，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）解：连接，作线段的垂直平分线，
则△与△关于直线对称．
这直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为．
20．【答案】（1）50；42；30
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：列表如下：
小振 小星 小张 小沙
小振 （小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙）
小星 （小星，小振） （小星，小张） （小星，小沙）
小张 （小张，小振） （小张，小星） （小张，小沙）
小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张）
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种，
随机抽取的2人来自不同班级的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的学生人数是（人，
，
组的人数为（人，
，
，．
故答案为：50；42；30；
【分析】
（1）观察两个统计图，可用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次抽取的学生人数再乘以可得，进而可得，即可得，的值．
（2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：本次抽取的学生人数是（人，
，
组的人数为（人，
，
，．
故答案为：50；42；30；
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：列表如下：
小振 小星 小张 小沙
小振
（小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙）
小星 （小星，小振）
（小星，小张） （小星，小沙）
小张 （小张，小振） （小张，小星）
（小张，小沙）
小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张）
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种，
随机抽取的2人来自不同班级的概率为．
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）解：连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
（1）先由概念可判定为菱形，再根据即可得出结论；
（2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，在中由勾股定理得，据此可得四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
22．【答案】（1）解：根据题意得：；
（2）解：甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，
，
解得，
为整数，
的最小值为8；
在中，，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为（元，
此时，
购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1） 设购买甲种奖品x件，则购买乙种奖品（30-x），根据题意甲种奖品费用乙种奖品费用，即可列出函数关系式；
（2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得，故，从而知的最小值为8，再由一次函数性质可得答案，即因为k=15>0，则 w 随 x 的增大而增大，显然当x取最小值时，w 有最小值．
（1）解：根据题意得：；
（2）甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，
，
解得，
为整数，
的最小值为8；
在中，，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为（元，
此时，
购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元．
23．【答案】（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据公式先求出，再求出即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可．
（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
24．【答案】（1）120，1.5
（2）解：当时，设解析式为
把代入
得出
∴
∴；
当时，
∵航行速度一直保持不变
∴；
；
（3）解：在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得；
，
该巡航船接收信号的有效时长为．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，
岛与岛之间的距离为，
巡航船速度为，
；
故答案为：120，1.5；
【分析】
（1）由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，可知岛与岛之间的距离为，求出巡航船速度为，即知；
（2）当时，；当时，；
（3）在中，令得；在中，令得；故该巡航船接收信号的有效时长为．
（1）解：由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，
岛与岛之间的距离为，
巡航船速度为，
；
故答案为：120，1.5；
（2）解：当时，
设解析式为
把代入
得出
∴
∴；
当时，
∵航行速度一直保持不变
∴；
；
（3）解：在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得；
，
该巡航船接收信号的有效时长为．
25．【答案】（1）；；
（2）证明：如图（1），在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是“互补四边形”；
（3）解：如图（2），四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴，，
四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
是“互补四边形”，
，，
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
连接、交于点，连接、、、，则，，，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
当点与点重合时，，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
平行四边形不是“互补四边形”，
故答案为：．
②矩形的四个角都是直角，
矩形的对角互补，
矩形是“互补四边形”，
故答案为：．
③菱形的对角相等，但对角不一定互补，
菱形不是“互补四边形”，
故答案为：；
【分析】
（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”；②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”；③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”；
（2）在上截取，连接，则利用角平分线的概念结合SAS可证明，则根据全等三角形的性质可得，，由于已知，则，所以，则由邻补角的概念并结合等量代换即可证明四边形是“互补四边形”；
（3）由是“互补四边形”可知其也是矩形，则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则由三角形三边关系定理得，，可证明，求得四边形周长的最小值为．
（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
平行四边形不是“互补四边形”，
故答案为：．
②矩形的四个角都是直角，
矩形的对角互补，
矩形是“互补四边形”，
故答案为：．
③菱形的对角相等，但对角不一定互补，
菱形不是“互补四边形”，
故答案为：；
（2）证明：如图（1），在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是“互补四边形”；
（3）解：如图（2），四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴，，
四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
是“互补四边形”，
，，
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
连接、交于点，连接、、、，则，，，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
当点与点重合时，，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
1 / 1湖南省长沙市长沙县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·长沙期末）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故选：C
【分析】
一个正数的算术平方根只有一个，即正的平方根．
2．（2024八下·长沙期末）“心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2024八下·长沙期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．转动抽奖转盘一次，中奖
C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6
D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
B. 转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意；
C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意；
D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意，
故选：D．
【分析】
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
4．（2024八下·长沙期末）一次函数y＝2x-3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x，
∴k=2>0， b=-3<0，
∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，
故选：A．
【分析】
本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限．
5．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中有：，
，
，
故选：D．
【分析】
由平行四边形对角相等即可求出．
6．（2024八下·长沙期末）“志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．下表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计：
参与次数 5 4 3 2 1
参与人数 2 3 2 2 1
则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（　　）
A．2，2 B．2，3 C．4，3 D．4，3.5
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据4出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为4，
第5、6个数据分别为4，3，
所以这组数据的中位数为，
故选：D．
【分析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（2024八下·长沙期末）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，点P是的中点，点是的中点，
，
在滑动的过程中的长度不变．
故选：B．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
8．（2024八下·长沙期末）将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移的性质可知：将函数的图象沿轴向上平移4个单位长度后的函数关系式为．
故选：A．
【分析】
一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”即可找出平移后的函数关系式．
9．（2024八下·长沙期末）如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
，
旋转角的度数等于，
故选：C．
【分析】
根据旋转的性质得，则，再利用三角形内角和定理可得答案．
10．（2024八下·长沙期末）如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线；
第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，；
第三步：连接分别交，于点，点，连接，．
由上述作图过程可知，的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
设，则有，
解得，
，
．
故选：B．
【分析】
由作图可知垂直平分线段，推出，设，则、，应用勾股定理列方程并解方程即可．
11．（2024八下·长沙期末）若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数不小于0．
12．（2024八下·长沙期末）已知的三边a，b，c满足，则一定是　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴一定是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，将变形可得，即可解答．
13．（2024八下·长沙期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足　 　时，选择乙种消费卡更为划算．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少，
故答案为：．
【分析】
观察图象，实质是求表示乙的直线在表示甲的直线下方时对应的自变量的取值范围．
14．（2024八下·长沙期末）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为　 　．
【答案】6
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
【分析】根据白球概率得到黑球概率，然后根据概率公式列方程解题即可．
15．（2024八下·长沙期末）为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占，，计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为　 　分．
【答案】94
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
（分），
即1号参赛学生的最终得分为94分，
故答案为：94．
【分析】
利用加权平均数的计算公式进行求解即可．
16．（2024八下·长沙期末）如图，将正方形放置于平面直角坐标系中，若点，点，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴，垂足为，
点，点，
，，
∵
∴
在和中，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】
由于A、D两点坐标已知，则OA、OD长可求，可过点作轴，结合正方形的性质利用“AAS”可证明，可得，继而可求点坐标．
17．（2024八下·长沙期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式并对同类二次根式进行合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2024八下·长沙期末）我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．
（1）如果，则________；（直接写出答案）
（2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程．
【答案】（1）
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：（1）如果，则，
故答案为：；
【分析】
（1）利用平方根的定义即可求得答案；
（2）利用平方根的定义直接开平方，再移项即可．
（1）解：如果，则，
故答案为：；
（2）解：原方程整理得：，
则，
解得：或．
19．（2024八下·长沙期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是点A，点B，点C．
（1）作出关于x轴对称的；
（2）再将以点O为中心，顺时针旋转，作出旋转后的；
（3）观察和的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）答：如图所示，连接，作线段的垂直平分线，
则△与△关于直线对称．
这直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据轴对称的性质分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，并顺次连接A1、B1、C1即可．
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B、C三点关于原点顺时针旋转后 的对称点A2、B2、C2，并顺次连接A2、B2、C2即可即可．
（3）连接，作线段的垂直平分线，结合轴对称的性质可知△与△关于直线对称，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
（1）解：如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）解：连接，作线段的垂直平分线，
则△与△关于直线对称．
这直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
直线的解析式为．
20．（2024八下·长沙期末）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次抽取的学生人数是________人；________；________．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率．
【答案】（1）50；42；30
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：列表如下：
小振 小星 小张 小沙
小振 （小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙）
小星 （小星，小振） （小星，小张） （小星，小沙）
小张 （小张，小振） （小张，小星） （小张，小沙）
小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张）
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种，
随机抽取的2人来自不同班级的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：本次抽取的学生人数是（人，
，
组的人数为（人，
，
，．
故答案为：50；42；30；
【分析】
（1）观察两个统计图，可用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次抽取的学生人数再乘以可得，进而可得，即可得，的值．
（2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：本次抽取的学生人数是（人，
，
组的人数为（人，
，
，．
故答案为：50；42；30；
（2）解：补全条形统计图如图所示．
（3）解：列表如下：
小振 小星 小张 小沙
小振
（小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙）
小星 （小星，小振）
（小星，小张） （小星，小沙）
小张 （小张，小振） （小张，小星）
（小张，小沙）
小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张）
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种，
随机抽取的2人来自不同班级的概率为．
21．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）解：连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】
（1）先由概念可判定为菱形，再根据即可得出结论；
（2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，在中由勾股定理得，据此可得四边形的面积．
（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
又，
菱形为正方形，
（2）连接，如下图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形的面积．
22．（2024八下·长沙期末）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值．
【答案】（1）解：根据题意得：；
（2）解：甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，
，
解得，
为整数，
的最小值为8；
在中，，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为（元，
此时，
购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1） 设购买甲种奖品x件，则购买乙种奖品（30-x），根据题意甲种奖品费用乙种奖品费用，即可列出函数关系式；
（2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得，故，从而知的最小值为8，再由一次函数性质可得答案，即因为k=15>0，则 w 随 x 的增大而增大，显然当x取最小值时，w 有最小值．
（1）解：根据题意得：；
（2）甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，
，
解得，
为整数，
的最小值为8；
在中，，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为（元，
此时，
购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元．
23．（2024八下·长沙期末）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
（1）如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；
（2）在（1）的条件下，作于点D，求，的长．
【答案】（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据公式先求出，再求出即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可．
（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
24．（2024八下·长沙期末）根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务．
【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？
【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务．
素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为；
素材3：设该巡航船行驶的时间为x（），与B岛的距离为y（），y与x的函数关系的图象如图（2）所示．
【问题解决】
（1）A岛与C岛之间的距离为________，________．
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）试确定该巡航船接收信号的有效时长．
【答案】（1）120，1.5
（2）解：当时，设解析式为
把代入
得出
∴
∴；
当时，
∵航行速度一直保持不变
∴；
；
（3）解：在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得；
，
该巡航船接收信号的有效时长为．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，
岛与岛之间的距离为，
巡航船速度为，
；
故答案为：120，1.5；
【分析】
（1）由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，可知岛与岛之间的距离为，求出巡航船速度为，即知；
（2）当时，；当时，；
（3）在中，令得；在中，令得；故该巡航船接收信号的有效时长为．
（1）解：由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，
岛与岛之间的距离为，
巡航船速度为，
；
故答案为：120，1.5；
（2）解：当时，
设解析式为
把代入
得出
∴
∴；
当时，
∵航行速度一直保持不变
∴；
；
（3）解：在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得；
，
该巡航船接收信号的有效时长为．
25．（2024八下·长沙期末）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题．
（1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”．
①平行四边形（　　）；②矩形（　　）；③菱形（　　）
（2）如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”；
（3）如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值．
【答案】（1）；；
（2）证明：如图（1），在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是“互补四边形”；
（3）解：如图（2），四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴，，
四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
是“互补四边形”，
，，
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
连接、交于点，连接、、、，则，，，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
当点与点重合时，，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
平行四边形不是“互补四边形”，
故答案为：．
②矩形的四个角都是直角，
矩形的对角互补，
矩形是“互补四边形”，
故答案为：．
③菱形的对角相等，但对角不一定互补，
菱形不是“互补四边形”，
故答案为：；
【分析】
（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”；②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”；③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”；
（2）在上截取，连接，则利用角平分线的概念结合SAS可证明，则根据全等三角形的性质可得，，由于已知，则，所以，则由邻补角的概念并结合等量代换即可证明四边形是“互补四边形”；
（3）由是“互补四边形”可知其也是矩形，则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则由三角形三边关系定理得，，可证明，求得四边形周长的最小值为．
（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
平行四边形不是“互补四边形”，
故答案为：．
②矩形的四个角都是直角，
矩形的对角互补，
矩形是“互补四边形”，
故答案为：．
③菱形的对角相等，但对角不一定互补，
菱形不是“互补四边形”，
故答案为：；
（2）证明：如图（1），在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是“互补四边形”；
（3）解：如图（2），四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴，，
四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
是“互补四边形”，
，，
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
连接、交于点，连接、、、，则，，，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
当点与点重合时，，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
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