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贵州省三联教育集团2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·贵州期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·贵州期末）某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·贵州期末）如图，点A，E，B在同一条直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（　　）
温度 0 10 20 30 …
声速 324 330 336 342 348 　
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为时，声音可以传播
D．当温度升高到时，声速为
5．（2024七下·贵州期末）一支签字笔单价为元，小美同学拿了元钱去购买了支该型号的签字笔，则剩余的钱数与之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·贵州期末）如图为学生上课坐的椅子的侧面图，，与地面平行，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·贵州期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
8．（2024七下·贵州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·贵州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·贵州期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离可能是（　　）
A．2 B．30 C．28 D．20
11．（2024七下·贵州期末）林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024七下·贵州期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．（2024七下·贵州期末）计算：　 　．
14．（2024七下·贵州期末）如图，的中线、相交于点，若四边形的面积为2，则的面积为　 　．
15．（2024七下·贵州期末）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是　 　．
16．（2024七下·贵州期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 　
17．（2024七下·贵州期末）如图①，直线、被直线所截，和在直线的同一侧，且都不在直线、之间，具有这种位置关系的两个角叫作同旁外角．如图②，、是直线上的两点，以、为端点作射线、．
（1）写出图②中的同旁外角；
（2）当时，第（1）小题中的同旁外角满足什么样的数量关系？请说明理由．
18．（2024七下·贵州期末）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
19．（2024七下·贵州期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃~15℃时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象，看图回答问题．
（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）图中A点表示的意义是什么？
（3）当温度在0℃~15℃变化时，水的密度是如何变化的？
20．（2024七下·贵州期末）在中，是的平分线，其中点D在边上．
（1）用圆规和直尺在图中作出角平分线．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的度数．
21．（2024七下·贵州期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
22．（2024七下·贵州期末）口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，黄球有个，绿球有若干个．请回答下列问题：
（1）摸出红球是__________，摸出蓝球是__________；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空）
（2）若口袋中有7个绿球，任意摸出一个球是绿球的概率为__________；
（3）若从中任意摸出一个球是黄球的概率为，求绿球有多少个．
23．（2024七下·贵州期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F．
（1）与相等吗？请说明理由；
（2）若的面积为70，，，求的长．
24．（2024七下·贵州期末）如图：在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）的面积为______；
25．（2024七下·贵州期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：__________，
方法2：__________．
（2）观察图2，请你写出、、ab之间的等量关系是______．
（3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：ACD中的两个图形不能完全重合，则不是全等图形，B中的两个图形能够完全重合，则是全等图形，
故答案为：B．
【分析】根据全等图形的定义：能完全重合的两个图形是全等图形，逐项进行判断即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用垂直可得，再利用角的运算求出即可.
4．【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A中，在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，所以A不符合题意；
B中，在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，所以B不符合题意；
C中，当空气温度为时，声音可以传播，正确，所以C不符合题意；
D中，当温度升高到时，声速为，错误，所以D符合题意.
故选D．
【分析】本题考查了函数的理解，函数的计算，根据图表中的数据信息，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵购买签字笔的费用为元，
∴剩余的钱数：．
故答案为：B．
【分析】根据题意得等量关系，剩余钱数=100－用去的钱数，据此即可列出关系式．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴∠D=∠ABD=55°，
∵，
∴∠DCF=∠DEF－∠D=135°－55°=80°，
∴.
故答案为：．
【分析】由平行线的性质得∠D=∠ABD=55°，再由三角形外角的性质可得∠DCF的度数，最后利用对顶角的性质即可得到结论．
7．【答案】A
【知识点】事件的分类
8．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，逐项进行判断即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，
由三角形的三边关系，得，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得AB的取值范围，再结合选项进行判断即可．
11．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动．
故答案为：B．
【分析】利用频率估算概率的计算方法再结合图形中的数据直接分析求解即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，CF，如图所示：
是等边三角形，AD是BC边的中线，是边的中点，
⊥，CF⊥AB，
∴CF=AD=6，BE=CE，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为=6，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】连接，CF，由等边三角形的性质可得⊥，CF⊥AB，于是可得CF=AD=6，，替换得，由于点、、三点共线时，的值最小，则最小值为，结论可得．
13．【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后进行加法运算即可求解.
14．【答案】6
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接并延长交于点，
∵的中线、相交于点，且三角形的三条中线交于一点，
∴点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】连接并延长交于点，根据三角形的三条中线交于一点可知点为的中点，然后根据三角形中线的性质得，，，从而得，由，进行等量代换可得.
15．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵PB⊥AD，
∴PB最短，即小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是“垂线段最短”，
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据“垂线段最短”作答即可．
16．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴MN=ME，
∴CM+MN=CM+ME=CE，
∴根据垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值，
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴，
解得：CE=3，
∴CM+MN的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平分线的性质得MN=ME，从而得CM+MN=CM+ME=CE，进而由垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值，然后根据三角形的面积公式求出CE的长，即可求解.
17．【答案】（1）解：和；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由题目中同旁外角的概念直接得到答案；
（2）根据两直线平行，同位角相等得，然后由平角的定义，进行等量代换即可得．
（1）解：由题意，得：图②中的同旁外角为和；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴．
18．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式进行简便计算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，同时把除法变成乘法，然后合并同类项，进行乘法运算得到化简后的结果，最后代值求解即可．
19．【答案】（1）解：图中的自变量是温度t，因变量是水的密度；
（2）解：A点表示当温度℃时，水的密度为；（答案不唯一，合理即可）
（3）解：观察可得：当温度在0℃~4℃时，水的密度随温度的增大而增大；当温度在4℃~15℃时，水的密度逐渐减小．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【分析】（1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，据此作答即可；
（2）根据直角坐标系中点的意义解答即可；
（3）根据图象中密度随温度的变化趋势进行作答即可．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：，，
．
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A和两弧交点，交于点D，即为所求；
（2）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
21．【答案】解：（1）根据题意，得这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
（2），理由如下：
∵O是和的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的稳定性；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由三角形具有稳定性，即可求解；
（2）根据中点的定义得，从而利用“SAS”证明，进而根据全等三角形对应边相等得，据此即可求解.
22．【答案】（1）随机事件，不可能事件；
（2）；
（3）解：设绿球有个，
∵从中任意摸出一个球是黄球的概率为，
∴，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴绿球有22个．
【知识点】事件的分类；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，
∴摸出红球为随机事件，摸出篮球是不可能事件，故答案为：随机事件，不可能事件；
（2）∵口袋中有7个绿球，红球有8个，黄球有10个，∴摸出绿球的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此直接得到答案；
（2）根据概率公式，可知摸出一个球是绿球的概率为，代入数值进行求解即可；
（3）设绿球有个，根据概率公式得关于的分式方程，解分式方程即可．
（1）解：根据题意摸出红球为随机事件；口袋中没有篮球，所以摸出篮球是不可能事件，
故答案为：随机事件，不可能事件；
（2）若口袋中有7个绿球，
则摸出绿球的概率为，
故答案为：；
（3）设绿球的数量为，
则根据题意得，
解得：，
故绿球有个．
23．【答案】（1）解：，理由如下：
∵是的角平分线，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵AB=16，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和垂线的定义可得，，于是可利用AAS证明△BDE≌△BDF，即可得到结论；
（2）由△BDE≌△BDF可得DF=DE=5，再由，代入数据，即可求得BC的长.
24．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）3
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）解：的面积为：.
【分析】（1）根据轴对称的性质，利用网格找出 点、 关于直线成轴对称的对称点、，然后顺次连接、、三点即可；
（2）利用“割补法”，用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可．
（1）如图，即为所求；
（2）的面积=，
故答案为：．
25．【答案】（1），
（2）；
（3）解：①，，，
；
②令，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：根据题意，得小正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为；方法二：根据题意，得大正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：，
（2）由（1），得，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意求出大小正方形的面积，然后根据一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积，据此即可求解；
（2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（3）①由（2）的结论代入数值进行计算即可；②令，，从而得，，然后利用利用完全平方公式变形得，代值数值进行计算即可得答案．
（1）解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（2）由（1）得，，
故答案为：；
（3）①，，
；
②设，，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1贵州省三联教育集团2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·贵州期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：ACD中的两个图形不能完全重合，则不是全等图形，B中的两个图形能够完全重合，则是全等图形，
故答案为：B．
【分析】根据全等图形的定义：能完全重合的两个图形是全等图形，逐项进行判断即可得到答案.
2．（2024七下·贵州期末）某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
3．（2024七下·贵州期末）如图，点A，E，B在同一条直线上，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用垂直可得，再利用角的运算求出即可.
4．（2024七下·贵州期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（　　）
温度 0 10 20 30 …
声速 324 330 336 342 348 　
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B．在一定温度范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为时，声音可以传播
D．当温度升高到时，声速为
【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A中，在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，所以A不符合题意；
B中，在一定温度范围内，温度越高，声速越快，正确，所以B不符合题意；
C中，当空气温度为时，声音可以传播，正确，所以C不符合题意；
D中，当温度升高到时，声速为，错误，所以D符合题意.
故选D．
【分析】本题考查了函数的理解，函数的计算，根据图表中的数据信息，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
5．（2024七下·贵州期末）一支签字笔单价为元，小美同学拿了元钱去购买了支该型号的签字笔，则剩余的钱数与之间的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵购买签字笔的费用为元，
∴剩余的钱数：．
故答案为：B．
【分析】根据题意得等量关系，剩余钱数=100－用去的钱数，据此即可列出关系式．
6．（2024七下·贵州期末）如图为学生上课坐的椅子的侧面图，，与地面平行，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴∠D=∠ABD=55°，
∵，
∴∠DCF=∠DEF－∠D=135°－55°=80°，
∴.
故答案为：．
【分析】由平行线的性质得∠D=∠ABD=55°，再由三角形外角的性质可得∠DCF的度数，最后利用对顶角的性质即可得到结论．
7．（2024七下·贵州期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和为
B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球
D．抛一枚硬币正面向上
【答案】A
【知识点】事件的分类
8．（2024七下·贵州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答．
9．（2024七下·贵州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，逐项进行判断即可.
10．（2024七下·贵州期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离可能是（　　）
A．2 B．30 C．28 D．20
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，
由三角形的三边关系，得，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得AB的取值范围，再结合选项进行判断即可．
11．（2024七下·贵州期末）林业局为考察一种树苗移植的成活率，展开了大量调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据图中数据可以看出这种树苗移植成活的频率在上下浮动．
故答案为：B．
【分析】利用频率估算概率的计算方法再结合图形中的数据直接分析求解即可.
12．（2024七下·贵州期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，CF，如图所示：
是等边三角形，AD是BC边的中线，是边的中点，
⊥，CF⊥AB，
∴CF=AD=6，BE=CE，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为=6，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】连接，CF，由等边三角形的性质可得⊥，CF⊥AB，于是可得CF=AD=6，，替换得，由于点、、三点共线时，的值最小，则最小值为，结论可得．
13．（2024七下·贵州期末）计算：　 　．
【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后进行加法运算即可求解.
14．（2024七下·贵州期末）如图，的中线、相交于点，若四边形的面积为2，则的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接并延长交于点，
∵的中线、相交于点，且三角形的三条中线交于一点，
∴点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】连接并延长交于点，根据三角形的三条中线交于一点可知点为的中点，然后根据三角形中线的性质得，，，从而得，由，进行等量代换可得.
15．（2024七下·贵州期末）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵PB⊥AD，
∴PB最短，即小明从B地铁出口下车回家的路径最短，其数学道理是“垂线段最短”，
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据“垂线段最短”作答即可．
16．（2024七下·贵州期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 　
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴MN=ME，
∴CM+MN=CM+ME=CE，
∴根据垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值，
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴，
解得：CE=3，
∴CM+MN的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平分线的性质得MN=ME，从而得CM+MN=CM+ME=CE，进而由垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值，然后根据三角形的面积公式求出CE的长，即可求解.
17．（2024七下·贵州期末）如图①，直线、被直线所截，和在直线的同一侧，且都不在直线、之间，具有这种位置关系的两个角叫作同旁外角．如图②，、是直线上的两点，以、为端点作射线、．
（1）写出图②中的同旁外角；
（2）当时，第（1）小题中的同旁外角满足什么样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）解：和；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由题目中同旁外角的概念直接得到答案；
（2）根据两直线平行，同位角相等得，然后由平角的定义，进行等量代换即可得．
（1）解：由题意，得：图②中的同旁外角为和；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴．
18．（2024七下·贵州期末）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式进行简便计算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，同时把除法变成乘法，然后合并同类项，进行乘法运算得到化简后的结果，最后代值求解即可．
19．（2024七下·贵州期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃~15℃时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象，看图回答问题．
（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）图中A点表示的意义是什么？
（3）当温度在0℃~15℃变化时，水的密度是如何变化的？
【答案】（1）解：图中的自变量是温度t，因变量是水的密度；
（2）解：A点表示当温度℃时，水的密度为；（答案不唯一，合理即可）
（3）解：观察可得：当温度在0℃~4℃时，水的密度随温度的增大而增大；当温度在4℃~15℃时，水的密度逐渐减小．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【分析】（1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，据此作答即可；
（2）根据直角坐标系中点的意义解答即可；
（3）根据图象中密度随温度的变化趋势进行作答即可．
20．（2024七下·贵州期末）在中，是的平分线，其中点D在边上．
（1）用圆规和直尺在图中作出角平分线．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：，，
．
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A和两弧交点，交于点D，即为所求；
（2）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
21．（2024七下·贵州期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【答案】解：（1）根据题意，得这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性；
（2），理由如下：
∵O是和的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的稳定性；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由三角形具有稳定性，即可求解；
（2）根据中点的定义得，从而利用“SAS”证明，进而根据全等三角形对应边相等得，据此即可求解.
22．（2024七下·贵州期末）口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，黄球有个，绿球有若干个．请回答下列问题：
（1）摸出红球是__________，摸出蓝球是__________；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空）
（2）若口袋中有7个绿球，任意摸出一个球是绿球的概率为__________；
（3）若从中任意摸出一个球是黄球的概率为，求绿球有多少个．
【答案】（1）随机事件，不可能事件；
（2）；
（3）解：设绿球有个，
∵从中任意摸出一个球是黄球的概率为，
∴，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴绿球有22个．
【知识点】事件的分类；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，
∴摸出红球为随机事件，摸出篮球是不可能事件，故答案为：随机事件，不可能事件；
（2）∵口袋中有7个绿球，红球有8个，黄球有10个，∴摸出绿球的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此直接得到答案；
（2）根据概率公式，可知摸出一个球是绿球的概率为，代入数值进行求解即可；
（3）设绿球有个，根据概率公式得关于的分式方程，解分式方程即可．
（1）解：根据题意摸出红球为随机事件；口袋中没有篮球，所以摸出篮球是不可能事件，
故答案为：随机事件，不可能事件；
（2）若口袋中有7个绿球，
则摸出绿球的概率为，
故答案为：；
（3）设绿球的数量为，
则根据题意得，
解得：，
故绿球有个．
23．（2024七下·贵州期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F．
（1）与相等吗？请说明理由；
（2）若的面积为70，，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是的角平分线，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵AB=16，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和垂线的定义可得，，于是可利用AAS证明△BDE≌△BDF，即可得到结论；
（2）由△BDE≌△BDF可得DF=DE=5，再由，代入数据，即可求得BC的长.
24．（2024七下·贵州期末）如图：在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）的面积为______；
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）3
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）解：的面积为：.
【分析】（1）根据轴对称的性质，利用网格找出 点、 关于直线成轴对称的对称点、，然后顺次连接、、三点即可；
（2）利用“割补法”，用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可．
（1）如图，即为所求；
（2）的面积=，
故答案为：．
25．（2024七下·贵州期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：__________，
方法2：__________．
（2）观察图2，请你写出、、ab之间的等量关系是______．
（3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1），
（2）；
（3）解：①，，，
；
②令，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：根据题意，得小正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为；方法二：根据题意，得大正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：，
（2）由（1），得，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意求出大小正方形的面积，然后根据一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积，据此即可求解；
（2）由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（3）①由（2）的结论代入数值进行计算即可；②令，，从而得，，然后利用利用完全平方公式变形得，代值数值进行计算即可得答案．
（1）解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（2）由（1）得，，
故答案为：；
（3）①，，
；
②设，，
，
，
，
，
，
，
．
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