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贵州省毕节地区2023-2024学年下学期七年级数学【北师大版】期末试题【二】
1．（2024七下·毕节期末）下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
2．（2024七下·毕节期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答．
3．（2024七下·毕节期末）年月日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
当原数绝对值 10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。
4．（2024七下·毕节期末）已知食用油的沸点一般都在200℃ 以上，下表所示的是小明在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
下列说法错误的是(　　)
A．没有加热时，油的温度是10℃
B．每加热10s，油的温度会升高30℃
C．继续加热到50s，预计油的温度是110℃
D．在这个问题中，自变量为时间t
【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、从表格得：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃，故本选项正确，不符合题意；
B、从表格可知：每加热10s，油温会升高20℃，故本选项错误，符合题意；
C、因为每增加10秒，温度上升20℃，∴t=50时，油温度=110℃，故本选项正确，不符合题意；
D、在这个问题中，自变量为时间t，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】观察表格，根据0s时的油温，可判断A；计算相邻两个时间点之间，油温的变化值，据此可判断B；根据选项B的计算，可判断C；观察表格，即可得到自变量，继而可判断D．
5．（2024七下·毕节期末）如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（　　）
A．114° B．142° C．147° D．156°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】先根据三角形的内角和得到∠EAC的度数，再利用平行线得到∠EBC=∠EAC，然后运用角平分线的定义解题即可.
6．（2024七下·毕节期末）下列事件中，属于不确定事件的是（　　）
A．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＜180°
C．α，β是对顶角，α+β=180°
D．α，β是对顶角，α=β
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、在中，，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
B、在中，，属于不可能事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
C、若，是对顶角，则，可能会出现，属于随机事件，是不确定性事件，故此选项符合题意；
D、，是对顶角，，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】此题考查不确定事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，结合三角形内角和定理和对顶角的概念判断即可．
7．（2024七下·毕节期末）如图所示，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（　　）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解： 三角形玻璃的两个角已知和一条夹边已知，所以可用ASA判定两个图形全等，得到配成同样大小的一块三角形玻璃．
故答案为：A．
【分析】先根据图中的已知的角、边，可利用ASA判断三角形全等，再作出选择．
8．（2024七下·毕节期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，图①的图形面积为，图②的图形面积为，
∵图①图形与图②图形的面积相等，
∴，
故选D．
【分析】表示图①与图②的面积，根据面积相等得到等式即可．
9．（2024七下·毕节期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形内角和定理，得到，现根据，求出，再在中，利用三角形内角和定理求得．
10．（2024七下·毕节期末）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（　　）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，
图③中，线段是的中线，
故选：B．
【分析】利用三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断解答．
11．（2024七下·毕节期末）在中，已知点，，分别是，，的中点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
12．（2024七下·毕节期末）如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（　　）
A． B．
C． D．无法确定其倍比关系
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵是等边三角形，
∴，
∵是是角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵、分别是、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】先根据等边三角形的性质和角平分线意义分别求得，，再根据垂直平分线的性质可得，，然后根据等边对等角和三角形外角的性质求得，，再证明是等边三角形，根据等边三角形的定义得到MN与BC的关系．
13．（2024七下·毕节期末）若，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂除法的逆用求解．
14．（2024七下·毕节期末）如图，直线m上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和9，则b的面积为 　 　
【答案】15
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC．
∵，，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE，
∴如图，AC2=正方形b的面积，AB2=正方形a的面积，BC2=DE2=正方形c的面积，
∵AC2=AB2+BC2，
∴b的面积=a的面积+c的面积=6+9=15．
故答案为：15．
【分析】先利用AAS证明△ABC≌△CDE，再根据全等三角形的性质得到BC=DE，然后利用勾股定理得到b的面积=a的面积+c的面积求解.
15．（2024七下·毕节期末）已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是　 　度．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
∴这个角的补角是，
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为，先用x表示出这个角的余角，再根据“一个角的余角是这个角的两倍”列出方程，解方程求出这个角的度数，再求出这个角的补角．
16．（2024七下·毕节期末）等腰三角形的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】7
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴，
∴，
∴当A，M，D三点共线时最小，
∴的长为的最小值，
故答案为：7．
【分析】连接，．根据对称性，利用两点间线段最短得到的最小值为AD长，然后根据等腰三角形的性质和面积求出AD长即可．
17．（2024七下·毕节期末）计算：
（1）；
（2）．（要求简便计算）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算乘法，然后计算加减；
（2）利用平方差公式简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024七下·毕节期末）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中、满足．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
∵
∴，
∴，
当，时，
原式．
【知识点】整式的混合运算；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
19．（2024七下·毕节期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
∵在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴ ∠1+∠AED=∠2+∠AED
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定.
（1）由图知：对顶角相等，∠AOD=∠BOE．再由∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，可知：∠BEO=∠2，再由∠1=∠2，等量代换可知：∠1=∠BEO，由角的和差运算可知：∠1+∠AED=∠2+∠AED，即∠AEC=∠BED，在△AEC和△BDE中，根据全等三角形的判定方法ASA可证得△AEC≌△BED，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等可知：△AEC≌△BED可得出：EC=ED，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形底角的计算公式：等腰三角形底角=，代入数据可得出∠C=71°，从而可求出∠BDE的度数，即可得出答案.
20．（2024七下·毕节期末）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示：
x（次） y（元） 0 5 20
甲消费卡 0 100 400
乙消费卡 100 150 300
（1）直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式；
（2）选择哪种卡消费比较合算？
【答案】（1）解：设，根据题意得，解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴
（2）解：①，即，解得，
当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，
当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，
当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
所以，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）运用待定系数法，根据表格所给数据即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）分三种情形：当y1y2时建立方程或不等式并解方程或不等式即可解决问题．
21．（2024七下·毕节期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是．
（1）点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ）；
（2）画出关于x轴对称的图形；
（3）求的面积．
【答案】（1）2；2；0；4
（2）解：如图所示．
（3）解：的面积
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1）解：由图可得．
故答案为：2；2；0；4．
【分析】（1）根据点的位置写出B，C的坐标即可．
（2）分别得到点、、关于轴的对称点，然后顺次连接即可解题；
（3）根据割补法求出三角形的面积即可．
22．（2024七下·毕节期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，并且，求证：．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长求得，然后求得，可求得，代入AC求出BC；
（2）先利用等边对等角求出，再利用等边对等角求得，然后利用两角的差求得，再求得，从而可证明，再根据等腰三角形的判定证明结论成立．
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，的周长等于，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2024七下·毕节期末）为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______．
（3）已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______．
（4）若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名．
【答案】（1）抽样调查；
（2）50 28；
（3）；
（4）60．
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在问卷测试时，该中学采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）解：共抽取的学生有：（名），
，
；
故答案为：50，28；
（3）解：组的10名学生中有6名男生和4名女生，
恰好抽到男生的概率是；
故答案为：；
（4）解：由题意得：（名），
估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有名．
故答案为：60．
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的定义解答即可；
（2）利用组的人数除以占比得到调查的人数，然后用整体“1”减去其他组的占比求出的值；
（3）直接利用概率概率公式计算解题；
（4）用1000乘以学习效果不达标的学生占比解答即可．
24．（2024七下·毕节期末）我们将进行变形，得：，，请根据以上变形解答下列问题：
（1）已知，，则____________，____________．
（2）若x满足，则的值为____________．
（3）如图，四边形为梯形，，，，，连接、．若，请直接写出图中阴影部分的面积____________．
【答案】（1）3，
（2）
（3）20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）由得：
，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：20．
【分析】（1）利用“，”求得的值，再利用完全平方公式求出的值，进而可得答案；
（2）将用，用代入，再化简计算即可；
（3）根据列出算式，再利用进行计算．
（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：由得：
，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：20．
25．（2024七下·毕节期末）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，．
（1）试写出，，之间的关系，并说明理由；
（2）如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）．
【答案】（1）解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：，，之间的关系不发生变化，
仍是；
作，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当P点在B的外侧时，如图3，
过P作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，
，，之间的关系是或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的传递性证明，再根据平行线的性质证得和，从而可得出，，之间的关系 ；
（2）先证明，再利用平行线的性质，可证明和，从而可得出，，之间的关系；
（3）分“P点在A的外侧”、“P点在B的外侧”两种情况进行分类讨论，分别得出，，之间的关系式．
（1）解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：，，之间的关系不发生变化，
仍是；
作，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当P点在B的外侧时，如图3，过P作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或．
1 / 1贵州省毕节地区2023-2024学年下学期七年级数学【北师大版】期末试题【二】
1．（2024七下·毕节期末）下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·毕节期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·毕节期末）年月日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·毕节期末）已知食用油的沸点一般都在200℃ 以上，下表所示的是小明在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
下列说法错误的是(　　)
A．没有加热时，油的温度是10℃
B．每加热10s，油的温度会升高30℃
C．继续加热到50s，预计油的温度是110℃
D．在这个问题中，自变量为时间t
5．（2024七下·毕节期末）如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（　　）
A．114° B．142° C．147° D．156°
6．（2024七下·毕节期末）下列事件中，属于不确定事件的是（　　）
A．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＜180°
C．α，β是对顶角，α+β=180°
D．α，β是对顶角，α=β
7．（2024七下·毕节期末）如图所示，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（　　）
A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
8．（2024七下·毕节期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·毕节期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·毕节期末）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（　　）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
11．（2024七下·毕节期末）在中，已知点，，分别是，，的中点，且，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2024七下·毕节期末）如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（　　）
A． B．
C． D．无法确定其倍比关系
13．（2024七下·毕节期末）若，，则　 　．
14．（2024七下·毕节期末）如图，直线m上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和9，则b的面积为 　 　
15．（2024七下·毕节期末）已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是　 　度．
16．（2024七下·毕节期末）等腰三角形的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　 　．
17．（2024七下·毕节期末）计算：
（1）；
（2）．（要求简便计算）
18．（2024七下·毕节期末）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中、满足．
19．（2024七下·毕节期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．
20．（2024七下·毕节期末）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示：
x（次） y（元） 0 5 20
甲消费卡 0 100 400
乙消费卡 100 150 300
（1）直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式；
（2）选择哪种卡消费比较合算？
21．（2024七下·毕节期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标是．
（1）点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ）；
（2）画出关于x轴对称的图形；
（3）求的面积．
22．（2024七下·毕节期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于．
（1）求的长；
（2）若，并且，求证：．
23．（2024七下·毕节期末）为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）．
（2）在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______．
（3）已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______．
（4）若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名．
24．（2024七下·毕节期末）我们将进行变形，得：，，请根据以上变形解答下列问题：
（1）已知，，则____________，____________．
（2）若x满足，则的值为____________．
（3）如图，四边形为梯形，，，，，连接、．若，请直接写出图中阴影部分的面积____________．
25．（2024七下·毕节期末）如图，已知直线，且分别交，于A，B两点，点P在上，分别交，于C，D两点，连接，．
（1）试写出，，之间的关系，并说明理由；
（2）如果当点P在A，B两点之间运动时，问：，，之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A，B两点的外侧运动时，试探究，，之间的关系（点P和A，B不重合）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为a ×10”的形式，其中1≤|a|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
当原数绝对值 10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。
4．【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、从表格得：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃，故本选项正确，不符合题意；
B、从表格可知：每加热10s，油温会升高20℃，故本选项错误，符合题意；
C、因为每增加10秒，温度上升20℃，∴t=50时，油温度=110℃，故本选项正确，不符合题意；
D、在这个问题中，自变量为时间t，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】观察表格，根据0s时的油温，可判断A；计算相邻两个时间点之间，油温的变化值，据此可判断B；根据选项B的计算，可判断C；观察表格，即可得到自变量，继而可判断D．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】先根据三角形的内角和得到∠EAC的度数，再利用平行线得到∠EBC=∠EAC，然后运用角平分线的定义解题即可.
6．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、在中，，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
B、在中，，属于不可能事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
C、若，是对顶角，则，可能会出现，属于随机事件，是不确定性事件，故此选项符合题意；
D、，是对顶角，，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】此题考查不确定事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，结合三角形内角和定理和对顶角的概念判断即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解： 三角形玻璃的两个角已知和一条夹边已知，所以可用ASA判定两个图形全等，得到配成同样大小的一块三角形玻璃．
故答案为：A．
【分析】先根据图中的已知的角、边，可利用ASA判断三角形全等，再作出选择．
8．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，图①的图形面积为，图②的图形面积为，
∵图①图形与图②图形的面积相等，
∴，
故选D．
【分析】表示图①与图②的面积，根据面积相等得到等式即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形内角和定理，得到，现根据，求出，再在中，利用三角形内角和定理求得．
10．【答案】B
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，
图③中，线段是的中线，
故选：B．
【分析】利用三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断解答．
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
12．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵是等边三角形，
∴，
∵是是角平分线，是的角平分线，
∴，，
∵、分别是、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】先根据等边三角形的性质和角平分线意义分别求得，，再根据垂直平分线的性质可得，，然后根据等边对等角和三角形外角的性质求得，，再证明是等边三角形，根据等边三角形的定义得到MN与BC的关系．
13．【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂除法的逆用求解．
14．【答案】15
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC．
∵，，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE，
∴如图，AC2=正方形b的面积，AB2=正方形a的面积，BC2=DE2=正方形c的面积，
∵AC2=AB2+BC2，
∴b的面积=a的面积+c的面积=6+9=15．
故答案为：15．
【分析】先利用AAS证明△ABC≌△CDE，再根据全等三角形的性质得到BC=DE，然后利用勾股定理得到b的面积=a的面积+c的面积求解.
15．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
∴这个角的补角是，
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为，先用x表示出这个角的余角，再根据“一个角的余角是这个角的两倍”列出方程，解方程求出这个角的度数，再求出这个角的补角．
16．【答案】7
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴，
∴，
∴当A，M，D三点共线时最小，
∴的长为的最小值，
故答案为：7．
【分析】连接，．根据对称性，利用两点间线段最短得到的最小值为AD长，然后根据等腰三角形的性质和面积求出AD长即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算乘法，然后计算加减；
（2）利用平方差公式简化运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：（1）
；
（2）
．
∵
∴，
∴，
当，时，
原式．
【知识点】整式的混合运算；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
19．【答案】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
∵在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴ ∠1+∠AED=∠2+∠AED
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
∵EC=ED，∠1=38°，
∴∠C=∠EDC=71°，
∴∠BDE=∠C=71°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定.
（1）由图知：对顶角相等，∠AOD=∠BOE．再由∠A=∠B，根据三角形内角和为180°，可知：∠BEO=∠2，再由∠1=∠2，等量代换可知：∠1=∠BEO，由角的和差运算可知：∠1+∠AED=∠2+∠AED，即∠AEC=∠BED，在△AEC和△BDE中，根据全等三角形的判定方法ASA可证得△AEC≌△BED，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等可知：△AEC≌△BED可得出：EC=ED，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形底角的计算公式：等腰三角形底角=，代入数据可得出∠C=71°，从而可求出∠BDE的度数，即可得出答案.
20．【答案】（1）解：设，根据题意得，解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴
（2）解：①，即，解得，
当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，
当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，
当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
所以，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）运用待定系数法，根据表格所给数据即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）分三种情形：当y1y2时建立方程或不等式并解方程或不等式即可解决问题．
21．【答案】（1）2；2；0；4
（2）解：如图所示．
（3）解：的面积
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1）解：由图可得．
故答案为：2；2；0；4．
【分析】（1）根据点的位置写出B，C的坐标即可．
（2）分别得到点、、关于轴的对称点，然后顺次连接即可解题；
（3）根据割补法求出三角形的面积即可．
22．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长等于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长求得，然后求得，可求得，代入AC求出BC；
（2）先利用等边对等角求出，再利用等边对等角求得，然后利用两角的差求得，再求得，从而可证明，再根据等腰三角形的判定证明结论成立．
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，的周长等于，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）抽样调查；
（2）50 28；
（3）；
（4）60．
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在问卷测试时，该中学采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）解：共抽取的学生有：（名），
，
；
故答案为：50，28；
（3）解：组的10名学生中有6名男生和4名女生，
恰好抽到男生的概率是；
故答案为：；
（4）解：由题意得：（名），
估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有名．
故答案为：60．
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的定义解答即可；
（2）利用组的人数除以占比得到调查的人数，然后用整体“1”减去其他组的占比求出的值；
（3）直接利用概率概率公式计算解题；
（4）用1000乘以学习效果不达标的学生占比解答即可．
24．【答案】（1）3，
（2）
（3）20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）由得：
，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：20．
【分析】（1）利用“，”求得的值，再利用完全平方公式求出的值，进而可得答案；
（2）将用，用代入，再化简计算即可；
（3）根据列出算式，再利用进行计算．
（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：由得：
，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：20．
25．【答案】（1）解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：，，之间的关系不发生变化，
仍是；
作，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当P点在B的外侧时，如图3，
过P作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，
，，之间的关系是或．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的传递性证明，再根据平行线的性质证得和，从而可得出，，之间的关系 ；
（2）先证明，再利用平行线的性质，可证明和，从而可得出，，之间的关系；
（3）分“P点在A的外侧”、“P点在B的外侧”两种情况进行分类讨论，分别得出，，之间的关系式．
（1）解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：，，之间的关系不发生变化，
仍是；
作，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：当P点在A的外侧时，如图2，过P作，交于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当P点在B的外侧时，如图3，过P作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴如果点P在A，B（点P和A，B不重合）两点的外侧运动时，，，之间的关系是或．
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