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贵州省铜仁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·铜仁期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（　　）
A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处
B．梵净山地处北纬，东经
C．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米
D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处
【答案】D
【知识点】确定位置的方法
【解析】【解答】解：梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山地处北纬，东经，可以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故符合；
故答案为：D．
【分析】根据实际生活中位置的确定的表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，对四个选项逐一分析，作出判断即可．
2．（2024八下·铜仁期末）已知一组数据，，，0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）这组数据中，无理数出现的频数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】频数与频率；无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：在四个数中，，都是有理数，
只有0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）一个无理数，
∴无理数出现的频数是1，
故答案为：A．
【分析】先根据无理数的定义（无限不循环小数），找出无理数的个数，再根据频数的定义，求出落在各类分组中的数据个数，就可得出频数．
3．（2024八下·铜仁期末）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
4．（2024八下·铜仁期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
，故符合题意；
，底数不能为0，原算式无意义，故不符合题意；
=3，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加法，二次根式乘法，二次根式除法，以及零指数幂，对四个选项逐一计算后作出判断．
5．（2024八下·铜仁期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰是时，三角形的三边是：，，，
∵能构成三角形，
∴等腰三角形的周长；
当腰是时，三角形的三边是：，，，
∵，能构成三角形，
∴等腰三角形的周长．
∴这个等腰三角形的周长为或．
故答案为：C．
【分析】由于等腰三角形的腰不确定时，要分情况进行讨论，分腰是4cm和腰是6cm两种情况，结合三角形的三边关系验证能否组成三角形求解．
6．（2024八下·铜仁期末）若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，，
解得．
故这个多边形的边数是12．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程求解．
7．（2024八下·铜仁期末）已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
8．（2024八下·铜仁期末）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（　　）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴，
∴判定和全等的方法是是，
故答案为：C．
【分析】先证明两个三角形全等，再确定全等三角形的判定条件即可求解．
9．（2024八下·铜仁期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．1
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
10．（2024八下·铜仁期末）如图，在矩形中，依据尺规作图的痕迹，可求得的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵是的平分线，垂直平分线段，
∴，，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质求出，然后由角平分线的定义求出，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据直角三角形两锐角互余得出的度数，进而根据对顶角相等可得出结论．
11．（2024八下·铜仁期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（　　）
a 3 5 7 9 11 …
b 4 12 24 40 60 …
c 5 13 25 41 61 …
A．611 B．612 C．613 D．614
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：由表格中的数据得：，，
∴，
∴当时，则，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先根据表格中的数据得：，，再得出，然后代入可求出b的值．
12．（2024八下·铜仁期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（　　）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，
由折叠的性质可得出，
在中，，
∴，
故O不是的中点，即①错误，
∵在矩形纸片中，，
∴，
由折叠性质可知，，
在中，，故③正确，
∴，
设．则．
在中， ，
即，
解得：，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为：故②正确．
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴．
∴，
∴，
∴故④正确，
综上②③④正确，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质可得出，再根据折叠的性质可得出，然后根据直角三角形可得出，可判断①；
利用勾股定理可判断③；
设．则，则，由勾股定理可求出a的值，进一步即可得出点点的坐标为可判断②；
先求出直线的解析式，再求出点E的坐标，从而可求得EO，再利用勾股定理求得ED，从而可判断④．
13．（2024八下·铜仁期末）分式有意义的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义 ，
∴，
解得：，
故答案为：
【分析】先利用分式的分母不为0的条件，列出不等式求解．
14．（2024八下·铜仁期末）不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以-3，得，
故答案为：．
【分析】根据求一元一次不等式的解集的一般步骤解不等式．
15．（2024八下·铜仁期末）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为　 　．
【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为：45．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据菱形的性质得到，进而求出∠ABD的度数，根据角的和差解答即可．
16．（2024八下·铜仁期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点P在点B处时，最大，即的长度，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大长度为．
故答案为：．
【分析】先利用三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，再利用勾股定理的长度，即可得出答案．
17．（2024八下·铜仁期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．（2024八下·铜仁期末）若的平方根为，．
（1）求的立方根；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵的平方根为，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为3．
（2）解：当，时，
，
∴的算术平方根为：．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据平方根的定义和立方根的定义，列出方程得出a，b的值，再代入代数式求值，然后再根据立方根的定义求解；
（2）先将a，b的值，代入代数式求值，再求算术平方根．
（1）解：根据题意有：，，
解得：，，
则，
∴的立方根为3．
（2）由（1）知，，
∴，
∴的算术平方根为：
19．（2024八下·铜仁期末）神舟十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______，扇形统计图中A组占______；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，试估计全校2000名竞赛学生中，成绩优秀的学生有多少人？
【答案】（1）400，60，
（2）解：组学生人数为：（人）；
补全直方图如下：
（3）解：．
答：估计全校成绩优秀的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为（名）；
∴；
∴扇形统计图中A组所占百分比为；
∴本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中，扇形统计图中A组占；
故答案为：400，60，；
【分析】（1）先利用组人数除以所占百分比求出总人数，再利用总人数乘以组所占的百分比求出，然后利用组人数除以总人数，求出扇形统计图中A组占百分比；
（2）先利用总数减去其他组的人数，再求出组人数，然后补全直方图；
（3）利用样本估计总体进行求解．
（1）解：（名）；
；
；
∴本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中，扇形统计图中A组占；
故答案为：400，60，；
（2）解：组学生人数为：（人）；
补全直方图如下：
；
（3）解：．
答：估计全校成绩优秀的学生约有人．
20．（2024八下·铜仁期末）学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离；
第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形．
【问题解决】
（1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？
（2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由．
【答案】（1）解：垂直，
理由为：
如图，
∵在中，厘米，厘米，厘米，
∴厘米，
，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
在边上量取3个相等的小段，记，
在边上量取4个相等的小段，记，，
这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理求出，再得出结论；
（2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于．
（1）解：垂直，理由为：
在中，因为厘米，厘米，厘米，
所以厘米，
，
所以，
所以四边形是矩形；
（2）解：在边上量取3个相等的小段，记，
在边上量取4个相等的小段，记，，
这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形．
21．（2024八下·铜仁期末）铜仁市水果种类繁多，沿河空心李、玉屏黄桃、万山香柚、印江红香柚、松桃猕猴桃等特色优势产品一直备受大众青睐．数学兴趣小组调查今年4月初我市新上市一种水果的价格与前几天的销售旺季价格变化情况：
日期x 1 3 5 7
价格y（元/千克） 20 18 16 14
（1）请建立该水果价格y与日期x之间的函数表达式；
（2）请用求出的函数表达式预测该水果今年4月8日的价格；
（3）你能用求出的函数表达式预测该水果今年4月30日的价格吗？为什么？
【答案】（1）解：根据表格数据可知，每增加两天，价格降低2元，价格y随日期x的变化是均匀的，
∴价格y与日期x之间的函数为一次函数，
设，
把，代入，
可得：，
解得：，
∴该水果价格y与日期x之间的函数表达式为：．
（2）解：当时，，
该水果今年4月8日的价格预测为13元/千克 ；
（3）解：不能，∵4月30日远远大于4月初，所建立的函数模型远离已知数据，这样作预测是不可靠的．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据表格数据判断出价格y与日期x之间的函数为一次函数，再用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）当时，求出对应的一次函数值．
（3）根据日期以及函数模型回答．
（1）解：根据表格数据可知，每增加两天，价格降低2元，价格y随日期x的变化是均匀的，
∴价格y与日期x之间的函数为一次函数，
设，
把，代入，
可得：，
解得：，
∴该水果价格y与日期x之间的函数表达式为：．
（2）当时，，
该水果今年4月8日的价格预测为13元/千克
（3）不能，∵4月30日远远大于4月初，所建立的函数模型远离已知数据，这样作预测是不可靠的．
22．（2024八下·铜仁期末）为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．
（1）问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？
（2）该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？
【答案】（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元，
根据题意有：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴
∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元．
（2）解：设租用45座客车m辆，60座客车辆，
可列不等式组为：，
解得：，
∵m，均为正整数，
∴m可是4，5，
∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元，
当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元，
综上所述，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）先设每辆45座客车租费是x元，再用x表示出每辆60座客车租费，然后根据“花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆”列出分式方程求解；
（2）先设租用45座客车m辆，再用m表示出60座客车辆数，然后根据题意列出关于m的一元一次不等式组求解，再根据m，均为正整数，解出整数解，得出可行的方案，最后再计算哪种方案更省钱．
（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元，
根据题意有：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴
∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元．
（2）设租用45座客车m辆，60座客车辆，
根据题意有：，
解得：，
∵m，均为正整数，
∴m可是4，5，
∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元，
当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元，
综上，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元．
23．（2024八下·铜仁期末）（1）【课本再现】（湘教版教材八年级下册例2）
如图1，直线与平行，，是与之间的任意两条平行线段，则，请说明理由；
（2）（类比迁移）
如图2，，，，求证：；
（3）【方法运用】
如图3，铜仁河滨公园内有一块四边形绿地，其中，现准备在绿地内修两条互相垂直的景观道与，即要求，现测得米，米，求四边形绿地的两边与长度之和（即求的长）．
【答案】解：（1）理由如下：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）过点A作于点E，过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（3）过点D作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过证明两组对边分别，来证明平行四边形；
（2）先根据平行线之间的距离相等可得，再利用HL定理证得，然后根据全等三角形的性质得出结论；
（3）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再根据平行线的性质可得，利用勾股定理求出BF，再利用线段和求解．
24．（2024八下·铜仁期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数．
（1）根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______；
（2）试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：∵一次函数的交换函数是；
∴，解得，
∴，
∴一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）解：作于点，
∵点是一次函数与其交换函数的交点，
∴，解得：，
∴，，
当时，，，
∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，取得最小值，
∵，
∴，，
此时是等腰直角三角形，
∴，，
∴点P的坐标为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得一次函数的交换函数是；
故答案为：；
【分析】（1）根据交换函数的定义，直接写出；
（2）先根据交换函数的定义，列出方程求解，求出一次函数与其交换函数的交点坐标；
（3）先求得，当时，取得最小值，作于点，得到是等腰直角三角形，据此求解即可．
（1）解：由题意得一次函数的交换函数是；
故答案为：；
（2）解：由题意得一次函数的交换函数是；
联立得，解得，
∴，
∴一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点，
∴，解得，
∴，，
令，则，，
∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，
令，则，解得，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，取得最小值，
∵，
∴，，
作于点，
此时是等腰直角三角形，
∴，，
∴点P的坐标为．
25．（2024八下·铜仁期末）（1）【建构模型】
如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：；
（2）【应用模型】
已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标；
（3）【拓展模型】
如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【答案】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过作轴于点，
∵在中，当时，；当时，，
∴，
，，
∵ 将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，
同（1）可证明：，
，，
，
，
（2）∵矩形，O为坐标原点，B的坐标为，
∴A点坐标为，C点坐标为，
当四边形是正方形时，，，
如图3，当D在A点下方时，
过D点作轴，垂足为N，交于M，
同（1）可证明：，，，
设D点坐标为，则N点坐标为，
∴，，
∴，P点坐标为，
∵P在上，
∴，
∴
∴点坐标；
如图4，当D在A点上方时，
同理（1）：，，，
设D点坐标为，则N点坐标为，
∴，，
∴，P点坐标为，
因为P在上，
∴，
∴
∴点坐标；
综上所述，满足条件的点的坐标分别为或．
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质可得出，，再得出，然后利用可证明；
（2）①先根据直线解析式可求得、的坐标，再利用模型结论可得，然后得出，，求的，从而可求得点坐标．
②分两种情况考虑：如图3、图4所示，构造如图（1）模型，由全等三角形性质可得线段相等，设点D坐标为，即可用x表示P点坐标，根据点P在上列方程即可求出的坐标．
1 / 1贵州省铜仁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·铜仁期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（　　）
A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处
B．梵净山地处北纬，东经
C．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米
D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处
2．（2024八下·铜仁期末）已知一组数据，，，0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）这组数据中，无理数出现的频数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024八下·铜仁期末）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．以上都不正确
4．（2024八下·铜仁期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·铜仁期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．（2024八下·铜仁期末）若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2024八下·铜仁期末）已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·铜仁期末）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（　　）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
9．（2024八下·铜仁期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．1
10．（2024八下·铜仁期末）如图，在矩形中，依据尺规作图的痕迹，可求得的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·铜仁期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（　　）
a 3 5 7 9 11 …
b 4 12 24 40 60 …
c 5 13 25 41 61 …
A．611 B．612 C．613 D．614
12．（2024八下·铜仁期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（　　）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2024八下·铜仁期末）分式有意义的条件是　 　．
14．（2024八下·铜仁期末）不等式的解集为　 　．
15．（2024八下·铜仁期末）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为　 　．
16．（2024八下·铜仁期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为　 　．
17．（2024八下·铜仁期末）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2024八下·铜仁期末）若的平方根为，．
（1）求的立方根；
（2）求的算术平方根．
19．（2024八下·铜仁期末）神舟十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______，扇形统计图中A组占______；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，试估计全校2000名竞赛学生中，成绩优秀的学生有多少人？
20．（2024八下·铜仁期末）学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离；
第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形．
【问题解决】
（1）小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？
（2）爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由．
21．（2024八下·铜仁期末）铜仁市水果种类繁多，沿河空心李、玉屏黄桃、万山香柚、印江红香柚、松桃猕猴桃等特色优势产品一直备受大众青睐．数学兴趣小组调查今年4月初我市新上市一种水果的价格与前几天的销售旺季价格变化情况：
日期x 1 3 5 7
价格y（元/千克） 20 18 16 14
（1）请建立该水果价格y与日期x之间的函数表达式；
（2）请用求出的函数表达式预测该水果今年4月8日的价格；
（3）你能用求出的函数表达式预测该水果今年4月30日的价格吗？为什么？
22．（2024八下·铜仁期末）为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．
（1）问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？
（2）该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？
23．（2024八下·铜仁期末）（1）【课本再现】（湘教版教材八年级下册例2）
如图1，直线与平行，，是与之间的任意两条平行线段，则，请说明理由；
（2）（类比迁移）
如图2，，，，求证：；
（3）【方法运用】
如图3，铜仁河滨公园内有一块四边形绿地，其中，现准备在绿地内修两条互相垂直的景观道与，即要求，现测得米，米，求四边形绿地的两边与长度之和（即求的长）．
24．（2024八下·铜仁期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数．
（1）根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______；
（2）试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
25．（2024八下·铜仁期末）（1）【建构模型】
如图1，在正方形中，直线l经过点D，过点A、C分别作，交l于点F，E，求证：；
（2）【应用模型】
已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标；
（3）【拓展模型】
如图3，四边形是矩形，O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】确定位置的方法
【解析】【解答】解：梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山地处北纬，东经，可以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故不符合；
梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故符合；
故答案为：D．
【分析】根据实际生活中位置的确定的表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，对四个选项逐一分析，作出判断即可．
2．【答案】A
【知识点】频数与频率；无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：在四个数中，，都是有理数，
只有0.4141141114…（每两个4之间的1依次增加）一个无理数，
∴无理数出现的频数是1，
故答案为：A．
【分析】先根据无理数的定义（无限不循环小数），找出无理数的个数，再根据频数的定义，求出落在各类分组中的数据个数，就可得出频数．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
4．【答案】B
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
，故符合题意；
，底数不能为0，原算式无意义，故不符合题意；
=3，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加法，二次根式乘法，二次根式除法，以及零指数幂，对四个选项逐一计算后作出判断．
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰是时，三角形的三边是：，，，
∵能构成三角形，
∴等腰三角形的周长；
当腰是时，三角形的三边是：，，，
∵，能构成三角形，
∴等腰三角形的周长．
∴这个等腰三角形的周长为或．
故答案为：C．
【分析】由于等腰三角形的腰不确定时，要分情况进行讨论，分腰是4cm和腰是6cm两种情况，结合三角形的三边关系验证能否组成三角形求解．
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，，
解得．
故这个多边形的边数是12．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程求解．
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
∵，
∴，
∴判定和全等的方法是是，
故答案为：C．
【分析】先证明两个三角形全等，再确定全等三角形的判定条件即可求解．
9．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵是的平分线，垂直平分线段，
∴，，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质求出，然后由角平分线的定义求出，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据直角三角形两锐角互余得出的度数，进而根据对顶角相等可得出结论．
11．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：由表格中的数据得：，，
∴，
∴当时，则，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先根据表格中的数据得：，，再得出，然后代入可求出b的值．
12．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，
由折叠的性质可得出，
在中，，
∴，
故O不是的中点，即①错误，
∵在矩形纸片中，，
∴，
由折叠性质可知，，
在中，，故③正确，
∴，
设．则．
在中， ，
即，
解得：，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为：故②正确．
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴．
∴，
∴，
∴故④正确，
综上②③④正确，
故答案为：B．
【分析】利用矩形的性质可得出，再根据折叠的性质可得出，然后根据直角三角形可得出，可判断①；
利用勾股定理可判断③；
设．则，则，由勾股定理可求出a的值，进一步即可得出点点的坐标为可判断②；
先求出直线的解析式，再求出点E的坐标，从而可求得EO，再利用勾股定理求得ED，从而可判断④．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义 ，
∴，
解得：，
故答案为：
【分析】先利用分式的分母不为0的条件，列出不等式求解．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以-3，得，
故答案为：．
【分析】根据求一元一次不等式的解集的一般步骤解不等式．
15．【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为：45．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据菱形的性质得到，进而求出∠ABD的度数，根据角的和差解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点P在点B处时，最大，即的长度，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大长度为．
故答案为：．
【分析】先利用三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，再利用勾股定理的长度，即可得出答案．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．【答案】（1）解：∵的平方根为，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为3．
（2）解：当，时，
，
∴的算术平方根为：．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据平方根的定义和立方根的定义，列出方程得出a，b的值，再代入代数式求值，然后再根据立方根的定义求解；
（2）先将a，b的值，代入代数式求值，再求算术平方根．
（1）解：根据题意有：，，
解得：，，
则，
∴的立方根为3．
（2）由（1）知，，
∴，
∴的算术平方根为：
19．【答案】（1）400，60，
（2）解：组学生人数为：（人）；
补全直方图如下：
（3）解：．
答：估计全校成绩优秀的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为（名）；
∴；
∴扇形统计图中A组所占百分比为；
∴本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中，扇形统计图中A组占；
故答案为：400，60，；
【分析】（1）先利用组人数除以所占百分比求出总人数，再利用总人数乘以组所占的百分比求出，然后利用组人数除以总人数，求出扇形统计图中A组占百分比；
（2）先利用总数减去其他组的人数，再求出组人数，然后补全直方图；
（3）利用样本估计总体进行求解．
（1）解：（名）；
；
；
∴本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中，扇形统计图中A组占；
故答案为：400，60，；
（2）解：组学生人数为：（人）；
补全直方图如下：
；
（3）解：．
答：估计全校成绩优秀的学生约有人．
20．【答案】（1）解：垂直，
理由为：
如图，
∵在中，厘米，厘米，厘米，
∴厘米，
，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
在边上量取3个相等的小段，记，
在边上量取4个相等的小段，记，，
这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理求出，再得出结论；
（2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于．
（1）解：垂直，理由为：
在中，因为厘米，厘米，厘米，
所以厘米，
，
所以，
所以四边形是矩形；
（2）解：在边上量取3个相等的小段，记，
在边上量取4个相等的小段，记，，
这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形．
21．【答案】（1）解：根据表格数据可知，每增加两天，价格降低2元，价格y随日期x的变化是均匀的，
∴价格y与日期x之间的函数为一次函数，
设，
把，代入，
可得：，
解得：，
∴该水果价格y与日期x之间的函数表达式为：．
（2）解：当时，，
该水果今年4月8日的价格预测为13元/千克 ；
（3）解：不能，∵4月30日远远大于4月初，所建立的函数模型远离已知数据，这样作预测是不可靠的．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据表格数据判断出价格y与日期x之间的函数为一次函数，再用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）当时，求出对应的一次函数值．
（3）根据日期以及函数模型回答．
（1）解：根据表格数据可知，每增加两天，价格降低2元，价格y随日期x的变化是均匀的，
∴价格y与日期x之间的函数为一次函数，
设，
把，代入，
可得：，
解得：，
∴该水果价格y与日期x之间的函数表达式为：．
（2）当时，，
该水果今年4月8日的价格预测为13元/千克
（3）不能，∵4月30日远远大于4月初，所建立的函数模型远离已知数据，这样作预测是不可靠的．
22．【答案】（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元，
根据题意有：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴
∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元．
（2）解：设租用45座客车m辆，60座客车辆，
可列不等式组为：，
解得：，
∵m，均为正整数，
∴m可是4，5，
∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元，
当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元，
综上所述，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）先设每辆45座客车租费是x元，再用x表示出每辆60座客车租费，然后根据“花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆”列出分式方程求解；
（2）先设租用45座客车m辆，再用m表示出60座客车辆数，然后根据题意列出关于m的一元一次不等式组求解，再根据m，均为正整数，解出整数解，得出可行的方案，最后再计算哪种方案更省钱．
（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元，
根据题意有：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴
∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元．
（2）设租用45座客车m辆，60座客车辆，
根据题意有：，
解得：，
∵m，均为正整数，
∴m可是4，5，
∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元，
当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元，
综上，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元．
23．【答案】解：（1）理由如下：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）过点A作于点E，过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（3）过点D作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过证明两组对边分别，来证明平行四边形；
（2）先根据平行线之间的距离相等可得，再利用HL定理证得，然后根据全等三角形的性质得出结论；
（3）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再根据平行线的性质可得，利用勾股定理求出BF，再利用线段和求解．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵一次函数的交换函数是；
∴，解得，
∴，
∴一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）解：作于点，
∵点是一次函数与其交换函数的交点，
∴，解得：，
∴，，
当时，，，
∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，取得最小值，
∵，
∴，，
此时是等腰直角三角形，
∴，，
∴点P的坐标为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得一次函数的交换函数是；
故答案为：；
【分析】（1）根据交换函数的定义，直接写出；
（2）先根据交换函数的定义，列出方程求解，求出一次函数与其交换函数的交点坐标；
（3）先求得，当时，取得最小值，作于点，得到是等腰直角三角形，据此求解即可．
（1）解：由题意得一次函数的交换函数是；
故答案为：；
（2）解：由题意得一次函数的交换函数是；
联立得，解得，
∴，
∴一次函数与其交换函数的交点坐标为；
（3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点，
∴，解得，
∴，，
令，则，，
∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，
令，则，解得，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，取得最小值，
∵，
∴，，
作于点，
此时是等腰直角三角形，
∴，，
∴点P的坐标为．
25．【答案】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过作轴于点，
∵在中，当时，；当时，，
∴，
，，
∵ 将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，
同（1）可证明：，
，，
，
，
（2）∵矩形，O为坐标原点，B的坐标为，
∴A点坐标为，C点坐标为，
当四边形是正方形时，，，
如图3，当D在A点下方时，
过D点作轴，垂足为N，交于M，
同（1）可证明：，，，
设D点坐标为，则N点坐标为，
∴，，
∴，P点坐标为，
∵P在上，
∴，
∴
∴点坐标；
如图4，当D在A点上方时，
同理（1）：，，，
设D点坐标为，则N点坐标为，
∴，，
∴，P点坐标为，
因为P在上，
∴，
∴
∴点坐标；
综上所述，满足条件的点的坐标分别为或．
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质可得出，，再得出，然后利用可证明；
（2）①先根据直线解析式可求得、的坐标，再利用模型结论可得，然后得出，，求的，从而可求得点坐标．
②分两种情况考虑：如图3、图4所示，构造如图（1）模型，由全等三角形性质可得线段相等，设点D坐标为，即可用x表示P点坐标，根据点P在上列方程即可求出的坐标．
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