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贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·黔东南期末）下列是无理数的是（　　）
A． B． C． D．5
2．（2024七下·黔东南期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·黔东南期末）下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．是的一个平方根 D．
4．（2024七下·黔东南期末）如果关于的不等式的解集为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·黔东南期末） 若，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024七下·黔东南期末）如图，直线a，b被直线c所截，若要使．则需满足的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·黔东南期末）若，则x，y的值为（　　）
A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1
8．（2024七下·黔东南期末）已知方程组，将①代入②得（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·黔东南期末）已知关于x，y的方程组，以下结论其中成立的是（　　）
①不论k取什么实数，的值始终不变
②存在实数k，使得
③当时，
④当，方程组的解也是方程的解
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
10．（2024七下·黔东南期末） 小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次经过计算发现爸爸比小华多得2分设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·黔东南期末） 比较大小：　 　（请填写“>”、“<”或“=”）．
12．（2024七下·黔东南期末）的相反数是　 　；的绝对值是　 　．
13．（2024七下·黔东南期末）若是关于的二元一次方程，则的值等于　 　．
14．（2024七下·黔东南期末）不等式组的解集为　 　；
15．（2024七下·黔东南期末）如图，直线、、相交于点O，则　 　°．
16．（2024七下·黔东南期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，平分，，则　 　．
17．（2024七下·黔东南期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为　 　．
18．（2024七下·黔东南期末）如图，直线，点、位于直线上，点、、位于直线上，且，若的面积为，则的面积为 　 　．
19．（2024七下·黔东南期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标　 　．
20．（2024七下·黔东南期末）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为　 　．
21．（2024七下·黔东南期末）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．（2024七下·黔东南期末）如图，直线和直线相交于点，，垂足为，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数
23．（2024七下·黔东南期末）如图，，交于点F，，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出图中与互余的所有角．
24．（2024七下·黔东南期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
25．（2024七下·黔东南期末）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、合唱社团、剪纸社团活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是______，条形统计图中的值为______；
（2）求扇形统计图中的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
26．（2024七下·黔东南期末）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O．
（1）求证：；
（2）若时，求α；
（3）将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中（除点M与点E重合时），求的度数（用含α的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】 解：A、，A不符合题意；
B、是有理数，B不符合题意；
C、是无理数，C符合题意；
D、5是有理数，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得：
，
．
由点P位于第四象限，得：P点坐标为
．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标的定义及点坐标与象限的关系求解即可。
3．【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴“的平方根是”正确，故项不符合题意；
∵，
∴的算术平方根是”错误，故项符合题意；
∵
∴“是的一个平方根”正确，故项不符合题意；
∵，
∴正确，故项不符合题意．
故答案为：．
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据算术平方根的定义求解；
（3）根据平方根的定义求解；
（4）根据立方根的定义求解．
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为，
，
解得：，
故选：C．
【分析】根据题意可得方程，解方程求出a的值即可．
5．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
①＋②得3x+3y=9，
∴x+y=3，
故答案为：A
【分析】根据加减消元法①＋②，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，∴（同位角相等两直线平行），故A符合题意；
，对顶角相等不能判定两直线平行，故B不符合题意；
，不能判定两直线平行，故C不符合题意；
，不能判定两直线平行，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定定理，对四个选项逐一分析，作出判断．
7．【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∴，，
故选答案为：D．
【分析】根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性列出方程组求解．
8．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
将①代入②得，，
即．
故选：A．
【分析】利用加减消元法解答即可．
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解得，
不论k取何值，，值始终不变，故①正确；
当时，解得：，则存在实数k，使得，故②正确；
当时，，解得，故③正确；
当时，，所以，故④错误．
故答案为：C．
【分析】先解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：两人一共投中30次，
；
小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，爸爸比小华多得2分，
.
根据题意得可列二元一次方程组.
故答案为：C.
【分析】根据两人一共投中30次可得x+y=30；根据爸爸比小华多得2分可得5x+2=3y，联立可得方程组.
11．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，12＜18，
∴
即
故答案为：＜.
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可得到答案.
12．【答案】；
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵与只有符号不同，
∴的相反数是，
的绝对值是．
故答案为：，．
【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案．
13．【答案】
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程的定义求出m和n的值，然后代入计算解答即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】先分别解两个不等式，再得到不等式组的解集．
15．【答案】180
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：180．
【分析】先根据对顶角相等得到，再利用平角的意义求解．
16．【答案】100
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
【分析】先根据角平分线的定义得到，再利用邻补角求出，从而求出，利用角的和求解．
17．【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：26．
【分析】根据平移得到，得到的周长等于的周长与的和计算解题．
18．【答案】
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：，
：，
．
故答案为：．
【分析】先根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，求得和的面积比等于，再根据的面积为求出的面积 ．
19．【答案】或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，
∴
的面积是面积的倍，
，
设点到的距离为，
∴，
，
，
解得：，
，或，．
故答案为：，或，．
【分析】设点到的距离为，根据三角形面积公式结合，列出关于h的方程求出的值，再确定点坐标．
20．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组，
∴．
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
解得：，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【分析】先将方程组变形为，再根据关于x、y的二元一次方程组的解为，可得出方程组求解即可得出结论．
21．【答案】（1）解：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：y＝，
所以方程组的解是；
（2）解：，
①×3＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（3）解：原方程组可化为：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（4）解：原方程组可化为：，
②×5-①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）、（2）直接利用加减法求解；
（3）先化简第一个方程，再利用加减法求解；
（4）先化简方程组中的两个方程，再利用加减法求解．
（1），
①＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：y＝，
所以方程组的解是；
（2），
①×3＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（3）整理得：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（4）整理得：，
②×5-①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
解：，
．
【知识点】垂线的概念；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角；角平分线的概念
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴都与互余．
【知识点】平行线的性质；同位角的概念
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出；
（2）根据（1）及对顶角相等的性质，得到，，即可得出结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
即都与互余．
24．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
25．【答案】（1）(书法社团)；
（2）解：由题意得，，
所以扇形统计图中的度数；
（3）解：名)，
答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：当点M在点E右侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴；
当点M在点E左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为或．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·黔东南期末）下列是无理数的是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】 解：A、，A不符合题意；
B、是有理数，B不符合题意；
C、是无理数，C符合题意；
D、5是有理数，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义进行判断即可.
2．（2024七下·黔东南期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得：
，
．
由点P位于第四象限，得：P点坐标为
．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标的定义及点坐标与象限的关系求解即可。
3．（2024七下·黔东南期末）下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．是的一个平方根 D．
【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴“的平方根是”正确，故项不符合题意；
∵，
∴的算术平方根是”错误，故项符合题意；
∵
∴“是的一个平方根”正确，故项不符合题意；
∵，
∴正确，故项不符合题意．
故答案为：．
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据算术平方根的定义求解；
（3）根据平方根的定义求解；
（4）根据立方根的定义求解．
4．（2024七下·黔东南期末）如果关于的不等式的解集为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为，
，
解得：，
故选：C．
【分析】根据题意可得方程，解方程求出a的值即可．
5．（2024七下·黔东南期末） 若，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
①＋②得3x+3y=9，
∴x+y=3，
故答案为：A
【分析】根据加减消元法①＋②，进而即可求解。
6．（2024七下·黔东南期末）如图，直线a，b被直线c所截，若要使．则需满足的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，∴（同位角相等两直线平行），故A符合题意；
，对顶角相等不能判定两直线平行，故B不符合题意；
，不能判定两直线平行，故C不符合题意；
，不能判定两直线平行，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定定理，对四个选项逐一分析，作出判断．
7．（2024七下·黔东南期末）若，则x，y的值为（　　）
A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∴，，
故选答案为：D．
【分析】根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性列出方程组求解．
8．（2024七下·黔东南期末）已知方程组，将①代入②得（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
将①代入②得，，
即．
故选：A．
【分析】利用加减消元法解答即可．
9．（2024七下·黔东南期末）已知关于x，y的方程组，以下结论其中成立的是（　　）
①不论k取什么实数，的值始终不变
②存在实数k，使得
③当时，
④当，方程组的解也是方程的解
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
解得，
不论k取何值，，值始终不变，故①正确；
当时，解得：，则存在实数k，使得，故②正确；
当时，，解得，故③正确；
当时，，所以，故④错误．
故答案为：C．
【分析】先解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
10．（2024七下·黔东南期末） 小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次经过计算发现爸爸比小华多得2分设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：两人一共投中30次，
；
小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，爸爸比小华多得2分，
.
根据题意得可列二元一次方程组.
故答案为：C.
【分析】根据两人一共投中30次可得x+y=30；根据爸爸比小华多得2分可得5x+2=3y，联立可得方程组.
11．（2024七下·黔东南期末） 比较大小：　 　（请填写“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，12＜18，
∴
即
故答案为：＜.
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可得到答案.
12．（2024七下·黔东南期末）的相反数是　 　；的绝对值是　 　．
【答案】；
【知识点】相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵与只有符号不同，
∴的相反数是，
的绝对值是．
故答案为：，．
【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案．
13．（2024七下·黔东南期末）若是关于的二元一次方程，则的值等于　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程的定义求出m和n的值，然后代入计算解答即可．
14．（2024七下·黔东南期末）不等式组的解集为　 　；
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】先分别解两个不等式，再得到不等式组的解集．
15．（2024七下·黔东南期末）如图，直线、、相交于点O，则　 　°．
【答案】180
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：180．
【分析】先根据对顶角相等得到，再利用平角的意义求解．
16．（2024七下·黔东南期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，平分，，则　 　．
【答案】100
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
【分析】先根据角平分线的定义得到，再利用邻补角求出，从而求出，利用角的和求解．
17．（2024七下·黔东南期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为　 　．
【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长为：．
故答案为：26．
【分析】根据平移得到，得到的周长等于的周长与的和计算解题．
18．（2024七下·黔东南期末）如图，直线，点、位于直线上，点、、位于直线上，且，若的面积为，则的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：，
：，
．
故答案为：．
【分析】先根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，求得和的面积比等于，再根据的面积为求出的面积 ．
19．（2024七下·黔东南期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标　 　．
【答案】或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，
∴
的面积是面积的倍，
，
设点到的距离为，
∴，
，
，
解得：，
，或，．
故答案为：，或，．
【分析】设点到的距离为，根据三角形面积公式结合，列出关于h的方程求出的值，再确定点坐标．
20．（2024七下·黔东南期末）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组，
∴．
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
解得：，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【分析】先将方程组变形为，再根据关于x、y的二元一次方程组的解为，可得出方程组求解即可得出结论．
21．（2024七下·黔东南期末）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：y＝，
所以方程组的解是；
（2）解：，
①×3＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（3）解：原方程组可化为：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（4）解：原方程组可化为：，
②×5-①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）、（2）直接利用加减法求解；
（3）先化简第一个方程，再利用加减法求解；
（4）先化简方程组中的两个方程，再利用加减法求解．
（1），
①＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：y＝，
所以方程组的解是；
（2），
①×3＋②×2，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（3）整理得：，
①＋②×2，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（4）整理得：，
②×5-①，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
22．（2024七下·黔东南期末）如图，直线和直线相交于点，，垂足为，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：设，则，
，
，
，
解：，
．
【知识点】垂线的概念；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角；角平分线的概念
23．（2024七下·黔东南期末）如图，，交于点F，，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出图中与互余的所有角．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴都与互余．
【知识点】平行线的性质；同位角的概念
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出；
（2）根据（1）及对顶角相等的性质，得到，，即可得出结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
即都与互余．
24．（2024七下·黔东南期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
25．（2024七下·黔东南期末）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、合唱社团、剪纸社团活动．该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是______，条形统计图中的值为______；
（2）求扇形统计图中的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【答案】（1）(书法社团)；
（2）解：由题意得，，
所以扇形统计图中的度数；
（3）解：名)，
答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
26．（2024七下·黔东南期末）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O．
（1）求证：；
（2）若时，求α；
（3）将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中（除点M与点E重合时），求的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：当点M在点E右侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴；
当点M在点E左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为或．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
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