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贵州省毕节市织金县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·织金期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2024八下·织金期末）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360 ° C．540° D．720°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】五边形的外角和是360°．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
3．（2024八下·织金期末）如图，，，垂足为E，若，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先根据平行线的性质求得，再，利用直角三角形的两个锐角互余求解．
4．（2024八下·织金期末）用不等式表示：的倍与的差是正数(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得：2x-4>0
故答案为：A
【分析】根据题意，x的2倍即2x，与4的差即2x-4，差为正数即“>0”，据此列不等式即可.
5．（2024八下·织金期末）如图， 于点， 于点， ， 如果添加一个条件后，可以直接利用“”来证明， 则这个条件应该是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵于点，于点，
∴，
∵，
∴根“”定理，要证明，还需补充一对斜边相等，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据HL定理证明全等三角形求解．
6．（2024八下·织金期末）把分解因式，结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式因式分解.
7．（2024八下·织金期末）当时， 分式的值为（　　）
A． B． C． D．分式无意义
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，，分母等于0，
∴分式无意义，
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件，将x的值代入分母验证，再作判断．
8．（2024八下·织金期末）函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数的图象可知， 当时， 函数图象在轴下方，此时，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数函数图象，找出函数值小于0的部分，再写出x 的取值范围 ．
9．（2024八下·织金期末）如图， 在中， 将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和， 连接， 则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和，
∴，，
，
故答案为：D．
【分析】先根据旋转的性质得出，，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理求解．
10．（2024八下·织金期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故答案为：D．
【分析】作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，再结合S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，可得×4×7＋×4×AC＝24，最后求出AC的长即可.
11．（2024八下·织金期末）计算的结果等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可.
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
13．（2024八下·织金期末）不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：．
所以，不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】直接解不等式即可．
14．（2024八下·织金期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 解：点关于原点对称的点的坐标是（-4，1）
故答案为：（-4，1）
【分析】关于原点对称的点的纵横坐标都互为相反数，据此计算即可.
15．（2024八下·织金期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，现将△ABC沿着CB的方向平移到△A'B'C'的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=5，平移的距离为2，
∴BC'=DC'=3，A'C'=AC=5，B'C'=BC=5，
∴阴影面积==5×5÷2-3×3÷2=8．
故答案为8．
【分析】先求出BC'，DC'，A'C'，B'C'，再根据阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积求解．
16．（2024八下·织金期末）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再根据全等三角形的性质证得，求得AF，然后利用中位线定理可得，再利用线段差求得DE．
17．（2024八下·织金期末）（1）解不等式组：；
（2）因式分解：．
【答案】解：（1）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出每一个不等式的解，再利用口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．
18．（2024八下·织金期末）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
（1）以点为旋转中心， 将旋转， 得到， 请画出；
（2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段．点与点 对应，点 与点对应 ．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据图形的旋转的性质，找到的对应点，，顺次连接即可；
（2）根据平移的性质画出图形．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
19．（2024八下·织金期末）已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点．
（1）求证∶；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先利用HL证明，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先利用含有30度角的直角三角形的性质求得OA，再根据勾股定理求出，即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），，，
，
，
．
20．（2024八下·织金期末）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格；
（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
【答案】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元，
可列方程组为：，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球．
可列不等式：，
解得：，
的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个足球和篮球的价格分别为元，元，根据图形提供的等量关系列出方程组求解；
（2）设八年级购买了个足球，先用m表示出购买篮球的个数，再根据“消费金额不超过460元”列出不等式求出最大值．
（1）解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元，
由题意得，，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球．
由题意得，，
解得，
的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
21．（2024八下·织金期末）如图，在等腰中，，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且始终保持，连接、、，
（1）求证：；
（2）试证明是等腰直角三角形．
【答案】（1）证明：在等腰中，，
，
又∵F是中点，
，
即，
，
在与中，
，
．
（2）证明：由（1）可知，
，
是等腰三角形，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据角的和差得到，即可得到结论．
（1）证明：在等腰中，，
，
又∵F是中点，
，
即，
，
在与中，
，
．
（2）证明：由（1）可知，
，
是等腰三角形，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
22．（2024八下·织金期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
（1）给出以下条件；①，②，③，请你从中选取两个条件证明；
（2）在(1)条件中你所选条件的前提下，添加，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明：选取①②，
∵在和中，
∴（ASA）；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）选取①②，利用ASA判定；也可选取②③，利用AAS判定；还可选取①③，利用SAS判定；
（2）先根据全等三角形的性质得出，，再根据等式的性质可得，然后根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
（1）证明：选取①②，
∵在和中，
∴（ASA）；
（2）由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．（2024八下·织金期末）某学校决定购买一些杂志．如果分别用元购买，两种杂志，则购买杂志的数量比杂志的数量多本，已知杂志的单价为杂志单价的 ．
（1）求，两种杂志的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买，两种杂志共本，如果杂志本，总费用为元，请写出与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划购买杂志的数量不能超过本，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）解：设杂志的单价为，则杂志的单价为，
可列出方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
，
杂志的单价为元，杂志的单价为元；
（2）解：设杂志本，则杂志有本，
，
与的函数关系式为；
（3）解：根据题意可得：，
在中，，
随的增大而减小，
当时，最小，最小费用为（元），
购买杂志本，杂志本才能使费用最少，最少费用应为元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设杂志的单价为，先用x表示出杂志的单价，再根据“购买杂志的数量比杂志的数量多本”列出分式方程求解，解后需要验根；
（2）设杂志本，先用m表示出杂志的数量，再根据“费用单价数量”列出函数关系式；
（3）先根据题意得到m的范围，再利用函数的增减性，求出最小费用即可．
（1）解：设杂志的单价为，则杂志的单价为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
，
杂志的单价为元，杂志的单价为元；
（2）设杂志本，则杂志有本，
，
与的函数关系式为；
（3）根据题意可得：，
在中，，
随的增大而减小，
当时，最小，最小费用为（元），
购买杂志本，杂志本才能使费用最少，最少费用应为元．
24．（2024八下·织金期末）（1）求图1中直线的函数表达式；
（2）如图2，点在过点且平行于轴的直线上，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．
①当时，试用含的代数式表示与；
②在①的条件下，若，求的取值范围．
【答案】解：（1）设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的函数表达式为；
（2）①， 过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点 ，
，，
，
，；
②，
，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先设直线的函数表达式为，再将A点坐标代入求解，然后写出OA的函数表达式；
（2）①根据P点坐标及作法，可用含有的式子表示出点、，再用含的代数式表示出与；
②根据并结合①列出关于的不等式，即可求解．
25．（2024八下·织金期末）在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接；
（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是________．
（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．
（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段，连接，试求线段长度的最小值．
【答案】（1）
（2）解：结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F，
由旋转知，，，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点，
∴当（点P和点F重合）时，最小，
∴点P与点F重合，最小，最小值为，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴．
故线段长度最小值是1．
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵ 将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，∴AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
【分析】（1）先利用旋转的性质，证明AQ=AP，再利用两角的差证得∠BAQ=∠CAP，然后利用SAS证明△BAQ≌△CAP，再根据全等三角形的性质可得BQ=CP；
（2）结论：BQ=PC仍然成立，理由：先利用旋转的性质，证明AQ=AP，再由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，然后利用SAS证明△BAQ≌△CAP，再根据全等三角形的性质可得BQ=CP；
（3）先利用旋转的性质，证明AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，再利用SAS证明△CAQ≌△EAP，根据全等三角形的性质可得CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出EF．
（1）解：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
（2）结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F，
由旋转知，，，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点，
∴当（点P和点F重合）时，最小，
即：点P与点F重合，最小，最小值为，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故线段长度最小值是1．
1 / 1贵州省毕节市织金县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·织金期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·织金期末）五边形的外角和等于（　　）
A．180° B．360 ° C．540° D．720°
3．（2024八下·织金期末）如图，，，垂足为E，若，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．90°
4．（2024八下·织金期末）用不等式表示：的倍与的差是正数(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·织金期末）如图， 于点， 于点， ， 如果添加一个条件后，可以直接利用“”来证明， 则这个条件应该是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·织金期末）把分解因式，结果是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·织金期末）当时， 分式的值为（　　）
A． B． C． D．分式无意义
8．（2024八下·织金期末）函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·织金期末）如图， 在中， 将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和， 连接， 则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·织金期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
11．（2024八下·织金期末）计算的结果等于(　　)
A． B． C． D．
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
13．（2024八下·织金期末）不等式的解集是　 　．
14．（2024八下·织金期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
15．（2024八下·织金期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，现将△ABC沿着CB的方向平移到△A'B'C'的位置．若平移的距离为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2024八下·织金期末）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　 　．
17．（2024八下·织金期末）（1）解不等式组：；
（2）因式分解：．
18．（2024八下·织金期末）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
（1）以点为旋转中心， 将旋转， 得到， 请画出；
（2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段．点与点 对应，点 与点对应 ．
19．（2024八下·织金期末）已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点．
（1）求证∶；
（2）若，，求的长．
20．（2024八下·织金期末）某学校八年级共甲、乙两个班，为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
（1）求每个足球和篮球的价格；
（2）若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不超过460元，该校八年级最多购买了多少个足球？
21．（2024八下·织金期末）如图，在等腰中，，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且始终保持，连接、、，
（1）求证：；
（2）试证明是等腰直角三角形．
22．（2024八下·织金期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
（1）给出以下条件；①，②，③，请你从中选取两个条件证明；
（2）在(1)条件中你所选条件的前提下，添加，求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．（2024八下·织金期末）某学校决定购买一些杂志．如果分别用元购买，两种杂志，则购买杂志的数量比杂志的数量多本，已知杂志的单价为杂志单价的 ．
（1）求，两种杂志的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买，两种杂志共本，如果杂志本，总费用为元，请写出与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划购买杂志的数量不能超过本，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
24．（2024八下·织金期末）（1）求图1中直线的函数表达式；
（2）如图2，点在过点且平行于轴的直线上，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．
①当时，试用含的代数式表示与；
②在①的条件下，若，求的取值范围．
25．（2024八下·织金期末）在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接；
（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是________．
（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．
（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段，连接，试求线段长度的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】五边形的外角和是360°．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
3．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先根据平行线的性质求得，再，利用直角三角形的两个锐角互余求解．
4．【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得：2x-4>0
故答案为：A
【分析】根据题意，x的2倍即2x，与4的差即2x-4，差为正数即“>0”，据此列不等式即可.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵于点，于点，
∴，
∵，
∴根“”定理，要证明，还需补充一对斜边相等，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据HL定理证明全等三角形求解．
6．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式因式分解.
7．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，，分母等于0，
∴分式无意义，
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件，将x的值代入分母验证，再作判断．
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由函数的图象可知， 当时， 函数图象在轴下方，此时，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数函数图象，找出函数值小于0的部分，再写出x 的取值范围 ．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和，
∴，，
，
故答案为：D．
【分析】先根据旋转的性质得出，，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理求解．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故答案为：D．
【分析】作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，再结合S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，可得×4×7＋×4×AC＝24，最后求出AC的长即可.
11．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可.
12．【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：．
所以，不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】直接解不等式即可．
14．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 解：点关于原点对称的点的坐标是（-4，1）
故答案为：（-4，1）
【分析】关于原点对称的点的纵横坐标都互为相反数，据此计算即可.
15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；平移的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=5，平移的距离为2，
∴BC'=DC'=3，A'C'=AC=5，B'C'=BC=5，
∴阴影面积==5×5÷2-3×3÷2=8．
故答案为8．
【分析】先求出BC'，DC'，A'C'，B'C'，再根据阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积求解．
16．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先利用ASA证明，再根据全等三角形的性质证得，求得AF，然后利用中位线定理可得，再利用线段差求得DE．
17．【答案】解：（1）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出每一个不等式的解，再利用口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据图形的旋转的性质，找到的对应点，，顺次连接即可；
（2）根据平移的性质画出图形．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
19．【答案】（1）证明：如图，连接，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先利用HL证明，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先利用含有30度角的直角三角形的性质求得OA，再根据勾股定理求出，即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），，，
，
，
．
20．【答案】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元，
可列方程组为：，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球．
可列不等式：，
解得：，
的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每个足球和篮球的价格分别为元，元，根据图形提供的等量关系列出方程组求解；
（2）设八年级购买了个足球，先用m表示出购买篮球的个数，再根据“消费金额不超过460元”列出不等式求出最大值．
（1）解：设每个足球和篮球的价格分别为元，元，
由题意得，，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）解：设八年级购买了个足球，则购买了个篮球．
由题意得，，
解得，
的最大值为6，
答：该校八年级最多购买了6个足球．
21．【答案】（1）证明：在等腰中，，
，
又∵F是中点，
，
即，
，
在与中，
，
．
（2）证明：由（1）可知，
，
是等腰三角形，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据角的和差得到，即可得到结论．
（1）证明：在等腰中，，
，
又∵F是中点，
，
即，
，
在与中，
，
．
（2）证明：由（1）可知，
，
是等腰三角形，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
22．【答案】（1）证明：选取①②，
∵在和中，
∴（ASA）；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）选取①②，利用ASA判定；也可选取②③，利用AAS判定；还可选取①③，利用SAS判定；
（2）先根据全等三角形的性质得出，，再根据等式的性质可得，然后根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
（1）证明：选取①②，
∵在和中，
∴（ASA）；
（2）由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．【答案】（1）解：设杂志的单价为，则杂志的单价为，
可列出方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
，
杂志的单价为元，杂志的单价为元；
（2）解：设杂志本，则杂志有本，
，
与的函数关系式为；
（3）解：根据题意可得：，
在中，，
随的增大而减小，
当时，最小，最小费用为（元），
购买杂志本，杂志本才能使费用最少，最少费用应为元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设杂志的单价为，先用x表示出杂志的单价，再根据“购买杂志的数量比杂志的数量多本”列出分式方程求解，解后需要验根；
（2）设杂志本，先用m表示出杂志的数量，再根据“费用单价数量”列出函数关系式；
（3）先根据题意得到m的范围，再利用函数的增减性，求出最小费用即可．
（1）解：设杂志的单价为，则杂志的单价为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
，
杂志的单价为元，杂志的单价为元；
（2）设杂志本，则杂志有本，
，
与的函数关系式为；
（3）根据题意可得：，
在中，，
随的增大而减小，
当时，最小，最小费用为（元），
购买杂志本，杂志本才能使费用最少，最少费用应为元．
24．【答案】解：（1）设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的函数表达式为；
（2）①， 过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点 ，
，，
，
，；
②，
，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先设直线的函数表达式为，再将A点坐标代入求解，然后写出OA的函数表达式；
（2）①根据P点坐标及作法，可用含有的式子表示出点、，再用含的代数式表示出与；
②根据并结合①列出关于的不等式，即可求解．
25．【答案】（1）
（2）解：结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F，
由旋转知，，，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点，
∴当（点P和点F重合）时，最小，
∴点P与点F重合，最小，最小值为，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴．
故线段长度最小值是1．
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵ 将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，∴AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
【分析】（1）先利用旋转的性质，证明AQ=AP，再利用两角的差证得∠BAQ=∠CAP，然后利用SAS证明△BAQ≌△CAP，再根据全等三角形的性质可得BQ=CP；
（2）结论：BQ=PC仍然成立，理由：先利用旋转的性质，证明AQ=AP，再由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，然后利用SAS证明△BAQ≌△CAP，再根据全等三角形的性质可得BQ=CP；
（3）先利用旋转的性质，证明AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，再利用SAS证明△CAQ≌△EAP，根据全等三角形的性质可得CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出EF．
（1）解：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
（2）结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F，
由旋转知，，，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点，
∴当（点P和点F重合）时，最小，
即：点P与点F重合，最小，最小值为，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
故线段长度最小值是1．
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