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2024年贵州省初升高模拟考试压轴数学试题
1．（2024九下·贵州模拟）分式 的值为零，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
2．（2024九下·贵州模拟）如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·贵州模拟）根据国家统计局数据显示，截止2024年中国的人口总数约为亿人，这个亿用科学法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·贵州模拟）若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），C(3+ ，y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y 2>y1>y3 D．y3>y1>y2
5．（2024九下·贵州模拟）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（　　）
A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
6．（2024九下·贵州模拟）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（　　）
A．23° B．16° C．20° D．26°
7．（2024九下·贵州模拟）矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·贵州模拟）如图．内接于，为直径，，，D是弧的中点，与的交点为E，则 等于（　　）
A．4
B．3.5
C．3
D．2.8
9．（2024九下·贵州模拟）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2024九下·贵州模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：“这个四边形是等腰梯形”，下列推断正确的是（　　）
A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件
C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为
11．（2024九下·贵州模拟）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九下·贵州模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）
A．（4n﹣1，） B．（2n﹣1，）
C．（4n+1，） D．（2n+1，）
13．（2024九下·贵州模拟）在中，是斜边，，，则　 　．
14．（2024九下·贵州模拟）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 　．
15．（2024九下·贵州模拟）某坡面的坡度为，则坡角为　 　度．
16．（2024九下·贵州模拟）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为　 　
17．（2024九下·贵州模拟）（1）计算：
（2）解分式方程：
①
②
18．（2024九下·贵州模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
19．（2024九下·贵州模拟）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字、、1、2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球．
（1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，则小明赢．如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．
20．（2024九下·贵州模拟）如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73）
21．（2024九下·贵州模拟）星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
22．（2024九下·贵州模拟）已知：如图，在中，、是的中位线，连接、，其交点为．求证：
（1）；
（2）．
23．（2024九下·贵州模拟）如图，内接于，连接并延长交与点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，设，．
求与的函数关系式；
当的长等于多少时，的面积最大，最大面积是多少？
24．（2024九下·贵州模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．
25．（2024九下·贵州模拟）如图，已知抛物线图象经过两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交于E，交于F.
①求证：四边形是矩形；
②连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0，即分式的分子为0，分子不为0；绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体为圆锥，它的主视图为等腰三角形．故选：C．
【分析】利用直角三角形绕直角边旋转一周得到的几何图形是圆锥，在利用从正面看得到的图形是主视图解答．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：14.1亿，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的表示方法求解．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，得
y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；
y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c；
y3=9+2+6 -18-6 +c=-7+c，
即y3=-7+c；
∵7＞-7＞-8，
∴7+c＞-7+c＞-8+c，
即y1＞y3＞y2．
故答案为：B．
【分析】分别把A，B，C三点的坐标代入函数解析式，算出y1，y2，y3的值，要不就和的大小，一个加数一定，只需比较另一个加数的大小即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：，
将代入得，
∴，
将代入，解得；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是分钟，
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入，解得，最后求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，
∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．
故选C．【分析】根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD的度数，然后利用角的和差解答．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连结，
四边形为矩形，，，
，，，
为直径，
、与半圆相切，
∵切于点，
，，
设，则，
，
，
，解得，
．
故答案为：B．
【分析】先根据矩形的性质，来证明、与半圆相切，再利用切线长定理求得DE，证得BF=EF，然后设，用x表示出BF，进而利用线段的和表示用x表示出DF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，再求得的值 ．
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2 ，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点（含B点），即满足△ABC是等腰三角形的P点有3个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的P点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
在一条直线上的要舍去，
所以点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有 5个．
故选A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．由点A、B的坐标可得到AB=2 ，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．
10．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；概率的意义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵正五边形，
∴，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴事件M是必然事件，
故答案为：B．
【分析】先利用正五边形的性质得到，再利用多边形的内角和定理求出，然后利用等边对等角求，再利用两角的差求出，接着根据平行线的判定推出，从而可得到四边形是等腰梯形，即可得出答案．
11．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
12．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
故选：C．
【分析】首先根据 是边长为2的等边三角形，可得的坐标为 的坐标为 (2，0) ；然后根据中心对称的性质，分别求出点 的坐标；得出 的坐标的规律，求出 的坐标解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出，再利用余弦的定义式计算．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CB于F，
设菱形组成的网格单位长度为1．
∵DE∥AO，OB=3DB，
∴DE=AO=，
∴CE==，
∵△CDB是等边三角形，
∴∠DCF=60°，
∴∠CEF=90°-∠DCF=30°，
∴CF=CE=，
∴EF=，
∴BF==，
∴tan∠ABC==．
故答案为．
【点睛】先利用平行线分线段成比例定理求出DE，再利用线段差求得CE，然后利用等边三角形的性质求得∠DCF=60°，再利用直角三角形的两个锐角互余求得∠CEF=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得CF，再利用勾股定理求得EF，进而求得BF，再利用正切定义式求出tan∠ABC．
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡角为，
∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用坡度求出坡角的正切值，再利用特殊角的三角函数值求得角度．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据题意得：BD=AD，弓形BD的面积等于弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积等于△ACD的面积减去弓形BD的面积，
∴CD是斜边AB边上的中线，
∴CD=BD=AD，△ACD的面积等于△BCD的面积，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BAC=30°，
∵
∴，
∴，
∴弓形BD的面积等于，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据旋转可得BD=AD，根据阴影部分的面积等于△ACD的面积减去弓形的面积计算解题．
17．【答案】解：（1）
；
（2）①，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解；
②，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为．
【知识点】解分式方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的运算法则计算；
（2）①先将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验根；
②先将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验根．
18．【答案】解：（1）如图，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵BP平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠ABC=30°，
∵ ∠A=90°，
∴BP=2AP，
∵，AB=3，
∴，解得：AP=，
∴ ⊙P的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的面积；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠ABC的平分线，与AC于点P，再以P为圆心，AP的半径作圆即可；
（2）先利用角平分线的意义求出∠ABP，再利用30°角的直角三角形的性质求出半径，然后利用圆的面积公式求解．
19．【答案】（1）解：可能出现的所有结果如下：
1 2
-
-
1 -
2 -
共12种结果；
（2）解：∵，
∴，
∴，；
∵摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有2种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有2种，
∴，，
∴游戏公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用；一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】（1）利用列表法求出摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的根，再分别求出小明赢与小亮赢的各自的概率，再比较后得出结论．
（1）解：可能出现的所有结果如下：
1 2
-
-
1 -
2 -
共12种结果；
（2）∵，
∴，
∴，；
∵摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有2种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有2种，
∴，，
∴游戏公平．
20．【答案】【解答】解：如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，
过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，
则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，
设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°，
∴Rt△ODH中，DH＝OD＝r，
∴DF＝r+3r，
∵Rt△ABC中，AB＝2，
∴BC＝4，
∴AC，
∴CE＝CD＝AC﹣AE＝2﹣3r，
∵AC∥DF，
∴，
∴，
解得：r≈1.06，
∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】设⊙O的半径为r，先用r表示出OG，OD，再利用∠ACB=30°，∠DOE=30°，求得DH，DF，再利用勾股定理求得AC，然后利用线段差求得CE，再根据AC∥DF，列出比例式，得到关于r的方程求解，再求出这个雕塑的高度．
21．【答案】解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
理由：测量出CD、DE、BE的长，
∵∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△CDE.
∴＝，即可算出AB的高．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】构造出相似三角形，根据相似三角形的性质，列出比例式求解．
22．【答案】（1）证明：∵、是的中位线，
∴，，．
，
．
在和中，
，
（）．
（2）证明：∵、是的中位线，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理，证得=，DF//CE，=，再利用，证明；
（2）先利用三角形的中位线，证得四边形DEAF有两组对边分别平行，再得出四边形DEAF是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线的性质得出结论．
（1）证明：∵、是的中位线，
∴，，．
，
．
在和中，
（）；
（2）∵、是的中位线，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
则与的函数关系式为；
由得：与的函数关系式为，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，即有的面积最大，此时，
∴的面积最大为，
∴当时，的面积最大，最大面积为为．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；圆的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
24．【答案】解：（1），，；
（2）的大小无变化，理由如下：
如图，连接AC，
∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4
∴，
∴=
∵∠CEF＝∠ABC＝90°，
∴△CEF∽△CBA，
∴，∠ECF＝∠ACB，
∴，∠ACF＝∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴的大小无变化；
（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：
①如图，点E在A、F之间，连接AC
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10
同理可得：CF＝5
∵
∴
∴AF＝AE+EF＝
∴BE＝AF＝＝；
②如图，点F在A、E之间时，连接AC
同理可得：AF＝AE﹣EF＝
∴BE＝AF＝＝；
综上所述，BE的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
25．【答案】（1）解：∵抛物线图象经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①证明：∵是抛物线上位于第一象限内的点，
∴，
解得：或，
∵位于第一象限，
∴，
∴，
∴舍去，
∴，
∴点C坐标为，
过C点作，垂足为H，则，
由得，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是矩形；
②存在；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴的最小值是2，
∴的最小值是2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入抛物线的解析式，求出待定系数，再代回写出解析式；
（2）先根据点C在抛物线上，得到关于m的方程求解，再根据点C在第一象限，列出不等式组求出m的范围，确定m的值，得出C点的坐标，再证明，根据相似三角形的性质可得，进而说明，然后根据有两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，从而证得是矩形；
（3）先根据矩形的对角线相等，求得，再根据当时，的值最小，求出此时的值为2，从而可得的最小值是2．
（1）解：∵抛物线图象经过两点，
∴，解得，
所以抛物线的解析式为：；
（2）①证明：把代入，得，
解得：或，
∵位于第一象限，
∴，
∴，
∴舍去，
∴，
∴点C坐标为，
过C点作，垂足为H，则，
由得，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是矩形；
②存在；
连接
∵四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴的最小值是2，
∴的最小值是2．
1 / 12024年贵州省初升高模拟考试压轴数学试题
1．（2024九下·贵州模拟）分式 的值为零，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0，即分式的分子为0，分子不为0；绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.
2．（2024九下·贵州模拟）如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示的Rt△ABC绕直角边AB旋转一周，所得几何体为圆锥，它的主视图为等腰三角形．故选：C．
【分析】利用直角三角形绕直角边旋转一周得到的几何图形是圆锥，在利用从正面看得到的图形是主视图解答．
3．（2024九下·贵州模拟）根据国家统计局数据显示，截止2024年中国的人口总数约为亿人，这个亿用科学法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：14.1亿，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的表示方法求解．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
4．（2024九下·贵州模拟）若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），C(3+ ，y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y 2>y1>y3 D．y3>y1>y2
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，得
y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；
y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c；
y3=9+2+6 -18-6 +c=-7+c，
即y3=-7+c；
∵7＞-7＞-8，
∴7+c＞-7+c＞-8+c，
即y1＞y3＞y2．
故答案为：B．
【分析】分别把A，B，C三点的坐标代入函数解析式，算出y1，y2，y3的值，要不就和的大小，一个加数一定，只需比较另一个加数的大小即可得出答案。
5．（2024九下·贵州模拟）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（　　）
A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：，
将代入得，
∴，
将代入，解得；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是分钟，
故答案为：．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入，解得，最后求解即可.
6．（2024九下·贵州模拟）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（　　）
A．23° B．16° C．20° D．26°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，
∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，
∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．
故选C．【分析】根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD的度数，然后利用角的和差解答．
7．（2024九下·贵州模拟）矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连结，
四边形为矩形，，，
，，，
为直径，
、与半圆相切，
∵切于点，
，，
设，则，
，
，
，解得，
．
故答案为：B．
【分析】先根据矩形的性质，来证明、与半圆相切，再利用切线长定理求得DE，证得BF=EF，然后设，用x表示出BF，进而利用线段的和表示用x表示出DF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，再求得的值 ．
8．（2024九下·贵州模拟）如图．内接于，为直径，，，D是弧的中点，与的交点为E，则 等于（　　）
A．4
B．3.5
C．3
D．2.8
【答案】C
【知识点】垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
9．（2024九下·贵州模拟）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2 ，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点（含B点），即满足△ABC是等腰三角形的P点有3个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的P点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
在一条直线上的要舍去，
所以点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有 5个．
故选A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．由点A、B的坐标可得到AB=2 ，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．
10．（2024九下·贵州模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：“这个四边形是等腰梯形”，下列推断正确的是（　　）
A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件
C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；概率的意义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵正五边形，
∴，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴事件M是必然事件，
故答案为：B．
【分析】先利用正五边形的性质得到，再利用多边形的内角和定理求出，然后利用等边对等角求，再利用两角的差求出，接着根据平行线的判定推出，从而可得到四边形是等腰梯形，即可得出答案．
11．（2024九下·贵州模拟）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
12．（2024九下·贵州模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）
A．（4n﹣1，） B．（2n﹣1，）
C．（4n+1，） D．（2n+1，）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
故选：C．
【分析】首先根据 是边长为2的等边三角形，可得的坐标为 的坐标为 (2，0) ；然后根据中心对称的性质，分别求出点 的坐标；得出 的坐标的规律，求出 的坐标解答即可.
13．（2024九下·贵州模拟）在中，是斜边，，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出，再利用余弦的定义式计算．
14．（2024九下·贵州模拟）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过E作EF⊥CB于F，
设菱形组成的网格单位长度为1．
∵DE∥AO，OB=3DB，
∴DE=AO=，
∴CE==，
∵△CDB是等边三角形，
∴∠DCF=60°，
∴∠CEF=90°-∠DCF=30°，
∴CF=CE=，
∴EF=，
∴BF==，
∴tan∠ABC==．
故答案为．
【点睛】先利用平行线分线段成比例定理求出DE，再利用线段差求得CE，然后利用等边三角形的性质求得∠DCF=60°，再利用直角三角形的两个锐角互余求得∠CEF=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得CF，再利用勾股定理求得EF，进而求得BF，再利用正切定义式求出tan∠ABC．
15．（2024九下·贵州模拟）某坡面的坡度为，则坡角为　 　度．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设坡角为，
∵坡面的坡度为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用坡度求出坡角的正切值，再利用特殊角的三角函数值求得角度．
16．（2024九下·贵州模拟）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与边交于点，将 绕点旋转后点与点恰好重合，则图中阴影部分的面积为　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
根据题意得：BD=AD，弓形BD的面积等于弓形AD的面积，
∴阴影部分的面积等于△ACD的面积减去弓形BD的面积，
∴CD是斜边AB边上的中线，
∴CD=BD=AD，△ACD的面积等于△BCD的面积，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BAC=30°，
∵
∴，
∴，
∴弓形BD的面积等于，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据旋转可得BD=AD，根据阴影部分的面积等于△ACD的面积减去弓形的面积计算解题．
17．（2024九下·贵州模拟）（1）计算：
（2）解分式方程：
①
②
【答案】解：（1）
；
（2）①，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解；
②，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为．
【知识点】解分式方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的运算法则计算；
（2）①先将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验根；
②先将原方程去分母，化为整式方程，再根据解整式方程的步骤求解，最后检验根．
18．（2024九下·贵州模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
【答案】解：（1）如图，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵BP平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠ABC=30°，
∵ ∠A=90°，
∴BP=2AP，
∵，AB=3，
∴，解得：AP=，
∴ ⊙P的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的面积；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠ABC的平分线，与AC于点P，再以P为圆心，AP的半径作圆即可；
（2）先利用角平分线的意义求出∠ABP，再利用30°角的直角三角形的性质求出半径，然后利用圆的面积公式求解．
19．（2024九下·贵州模拟）在不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字、、1、2．从袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一个小球．
（1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，则小明赢．如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）解：可能出现的所有结果如下：
1 2
-
-
1 -
2 -
共12种结果；
（2）解：∵，
∴，
∴，；
∵摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有2种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有2种，
∴，，
∴游戏公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用；一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】（1）利用列表法求出摸出小球上的数字可能出现的所有结果；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的根，再分别求出小明赢与小亮赢的各自的概率，再比较后得出结论．
（1）解：可能出现的所有结果如下：
1 2
-
-
1 -
2 -
共12种结果；
（2）∵，
∴，
∴，；
∵摸出的两个小球上的数字都是方程的根的可能一共有2种，摸出的两个小球上的数字都不是方程的根的可能一共有2种，
∴，，
∴游戏公平．
20．（2024九下·贵州模拟）如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73）
【答案】【解答】解：如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，
过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，
则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，
设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°，
∴Rt△ODH中，DH＝OD＝r，
∴DF＝r+3r，
∵Rt△ABC中，AB＝2，
∴BC＝4，
∴AC，
∴CE＝CD＝AC﹣AE＝2﹣3r，
∵AC∥DF，
∴，
∴，
解得：r≈1.06，
∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】设⊙O的半径为r，先用r表示出OG，OD，再利用∠ACB=30°，∠DOE=30°，求得DH，DF，再利用勾股定理求得AC，然后利用线段差求得CE，再根据AC∥DF，列出比例式，得到关于r的方程求解，再求出这个雕塑的高度．
21．（2024九下·贵州模拟）星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
【答案】解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
理由：测量出CD、DE、BE的长，
∵∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△CDE.
∴＝，即可算出AB的高．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】构造出相似三角形，根据相似三角形的性质，列出比例式求解．
22．（2024九下·贵州模拟）已知：如图，在中，、是的中位线，连接、，其交点为．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵、是的中位线，
∴，，．
，
．
在和中，
，
（）．
（2）证明：∵、是的中位线，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理，证得=，DF//CE，=，再利用，证明；
（2）先利用三角形的中位线，证得四边形DEAF有两组对边分别平行，再得出四边形DEAF是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线的性质得出结论．
（1）证明：∵、是的中位线，
∴，，．
，
．
在和中，
（）；
（2）∵、是的中位线，
，，
∴四边形是平行四边形，
∴
23．（2024九下·贵州模拟）如图，内接于，连接并延长交与点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，设，．
求与的函数关系式；
当的长等于多少时，的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）证明：如图，连接，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
则与的函数关系式为；
由得：与的函数关系式为，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，即有的面积最大，此时，
∴的面积最大为，
∴当时，的面积最大，最大面积为为．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；圆的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
24．（2024九下·贵州模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．
【答案】解：（1），，；
（2）的大小无变化，理由如下：
如图，连接AC，
∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4
∴，
∴=
∵∠CEF＝∠ABC＝90°，
∴△CEF∽△CBA，
∴，∠ECF＝∠ACB，
∴，∠ACF＝∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴的大小无变化；
（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：
①如图，点E在A、F之间，连接AC
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10
同理可得：CF＝5
∵
∴
∴AF＝AE+EF＝
∴BE＝AF＝＝；
②如图，点F在A、E之间时，连接AC
同理可得：AF＝AE﹣EF＝
∴BE＝AF＝＝；
综上所述，BE的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
25．（2024九下·贵州模拟）如图，已知抛物线图象经过两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交于E，交于F.
①求证：四边形是矩形；
②连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线图象经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①证明：∵是抛物线上位于第一象限内的点，
∴，
解得：或，
∵位于第一象限，
∴，
∴，
∴舍去，
∴，
∴点C坐标为，
过C点作，垂足为H，则，
由得，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是矩形；
②存在；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴的最小值是2，
∴的最小值是2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入抛物线的解析式，求出待定系数，再代回写出解析式；
（2）先根据点C在抛物线上，得到关于m的方程求解，再根据点C在第一象限，列出不等式组求出m的范围，确定m的值，得出C点的坐标，再证明，根据相似三角形的性质可得，进而说明，然后根据有两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，从而证得是矩形；
（3）先根据矩形的对角线相等，求得，再根据当时，的值最小，求出此时的值为2，从而可得的最小值是2．
（1）解：∵抛物线图象经过两点，
∴，解得，
所以抛物线的解析式为：；
（2）①证明：把代入，得，
解得：或，
∵位于第一象限，
∴，
∴，
∴舍去，
∴，
∴点C坐标为，
过C点作，垂足为H，则，
由得，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是矩形；
②存在；
连接
∵四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴的最小值是2，
∴的最小值是2．
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