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浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·苍南期末）当时，二次根式的值为(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·苍南期末）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·苍南期末）下列选项中，化简正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·苍南期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（　　）
A．10米 B．20米 C．30米 D．40米
5．（2024八下·苍南期末）用反证法证明“如果，则”是真命题时，应假设(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·苍南期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·苍南期末）某品牌新能源汽车经过连续两次降价后，每台售价从万元降为万元，假设平均每次降价百分率为，则可列方程(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024八下·苍南期末）根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，则灯泡就越亮当电阻时，可测得某灯泡的电流若电压保持不变，电阻减小为时，该灯泡亮度的变化情况为(　　)
A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定
9．（2024八下·苍南期末）方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·苍南期末）二次根式 中字母x的取值范围是　 　。
12．（2024八下·苍南期末）某果园随机从甲、乙两个品种的葡萄树中各采摘10棵，得到两个品种产量的方差分别为（），（），则产量比较稳定的品种是　 　．（填“甲”或“乙”）
13．（2024八下·苍南期末）如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是　 　．
14．（2024八下·苍南期末）如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为　 　．
15．（2024八下·苍南期末）如图，在矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D，E为的三等分点，作矩形使点G落在上，反比例函数（）的图象同时经过点D，F．若矩形的面积为3，则k的值为　 　．
16．（2024八下·苍南期末）图1是一款可升降篮球架，支架，，的长度固定，A，D，G为立柱上的点，地面，篮板地面，，米，米，若改变伸缩臂的长度，则，可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当时，可测得篮筐的固定点C距离地面为2.9米，则支架的长为　 　米．降低篮筐高度如图3，连结交于点O，平分，，此时篮筐的固定点C离地面的距离为　 　米．
17．（2024八下·苍南期末）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2024八下·苍南期末）小林抽取名客户调查甲、乙两家酒店的满意情况，得分如下满分为分：
甲：，，，，，，，，，．
乙：，，，，，，，，，．
并根据满意度的得分情况，统计分析如下：
酒店 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表格中，，的值．
（2）从平均数、中位数和众数等角度进行分析，在甲、乙两家酒店中，你建议小林预定哪家酒店？请说明理由．
19．（2024八下·苍南期末）如图是由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．
（1）在图1中画出一个以为对角线的平行四边形．
（2）若小长方形的宽为1，请在图2中画出一个边长为的菱形．
20．（2024八下·苍南期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标．
（2）请直接写出当时，x的取值范围．
（3）点是反比例函数图象上的点，连接AC，BC，求的面积．
21．（2024八下·苍南期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
22．（2024八下·苍南期末）如图1，，过点D作交于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，E为的中点．
①求的长．
②如图2，在边上取一点F，连结并延长交的延长线于点G，记的面积为，的面积为，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
原式，
故答案为：C
【分析】将代入二次根式中计算即可．
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
不是中心对称图形，故B不符合题意；
是中心对称图形，故C符合题意；
不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义，对四个图形逐一识别，作出判断．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故选项A错误，不符合题意；
与不能合并，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法和减法法则计算后判定即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： D，E是，的中点，
是的中位线，
，
∵，
（米）．
故答案为：D．
【分析】先说明DE是的中位线，再根据三角形中位线定理求出BC．
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“若，则”时，假设，
故答案为：B
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是矩形，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用矩形的性质，得出OA=OD，再根据等边对等角求得，然后三角形外角的性质求出，再利用直角三角形的两个锐角互余求得的度数 .
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，．
故答案为：A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1-降价百分率）2=现价，据此列方程即可．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： ，当时，A，
（V），
若电压保持不变，即（V），电阻R减小为15Ω时，
则，电流变大了，
灯泡亮度的变化情况为变亮．
故答案为：B．
【分析】根据欧姆定律，结合已知条件可求出电压（V），若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故答案为：B．
【分析】结合已知方程的解，设y=2x-1，利用换元法解一元二次方程即可得．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
11．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x-5≥0，解得x≥5.
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-5≥0，求解即可.
12．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解： ，
根据方差的意义可知：方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好．
产量比较稳定的品种是乙．
故答案为：乙．
【分析】根据方差的定义求解．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好．
13．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形内角和，
，
故答案为：6．
【分析】根据正多边形的内角和公式列方程，求出多边形的边数解答．
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质求得，再根据平行四边形的对角相等求得．
15．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴，过点作轴，如图，
设矩形的长为，宽为，矩形的长为，
D，E为的三等分点，
，
，，
，，在反比例函数（）的图象上，
，，
，解得：，
∵矩形的面积为3，
∴，
，
．
故答案为：6．
【分析】先表示出D，F两点的坐标，再根据这两点在反比例函数的图象上，得到，，进而可得，再根据矩形BEFG的面积为3，求得ab=3，从而可求得ad，即k的值．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长交地面于点，过点作于点，
地面，篮板地面，
，
，
，
，
，
又
，
米，
故支架的长为米．
如图，设于相交于，连接，连接，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，
，
∵，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
平行四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
米．
故此时篮筐的固定点C离地面的距离为米．
故答案为：1.2，1.7.
【分析】先利用含有30度角直角三角形的性质求得CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，就可求得AB=1.2，再利用角平分线的意义和平行线的性质证明，然后根据等角对等边求得AN，再利用线段差求得DN，接着证明四边形DNCB、四边形是矩形，从而可用线段差求得CI即篮筐的固定点C离地面的距离．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2），
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，二次根式的乘法法则运算，再计算二次根式的减法；
（2）利用因式分解法解方程．
18．【答案】（1）解： ，
．
乙：6，7，7，8，8，9，9，9，9，9．一共10个数，第5，6个数为8和9，
中位数
甲：7，7，7，8，8，8，8，9，9，10．其中8出现次数最多，
众数．
（2）解： 两家酒店的平均数都是8.1；
从中位数的角度，甲的中位数是8，乙的中位数是8.5，乙比甲满意度更高；
从众数角度，甲的众数为8，乙的众数为9，也是乙比甲满意度更高，
综合比较，乙比甲的满意度更高，推荐预定酒店乙．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念求解即可；
（2）通过比较甲、乙的平均数相同，乙的中位数和众数都比甲大，可知酒店乙的满意度更高；
19．【答案】（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：延长交矩形网格于，取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1，
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）取格点，连接，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形；
（2）取格点，依次连接得到四边形，再利用矩形的性质，勾股定理可求得四边形四条边都是，然后根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形为所求作菱形.
（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
延长交矩形网格于，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1；
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
20．【答案】（1）解： 点在图象上，
，
点A的坐标为（1，3）
点A在图象上，
，
反比例函数的解析式 为，
，
解得，，
点B的坐标为．
（2）解：如图，
当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，
根据图象可得，或．
（3）解： 点是反比例函数图象上的点，
，即，
过点作轴交于点，则点的纵坐标为1，
点在上，纵坐标为1，
横坐标为，
点，
，
，
．
∴的面积为8．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据点A在一次函数的图象上，代入可求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的解析式，可求得反比例函数的解析式，再求出两个函数图象的交点，可求得点B的坐标；
（2）当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，利用函数图象即可得解；
（3）先求出点C的坐标，再过点作轴交于点，可得点的纵坐标为1，再利用三角形面积公式，可得，代入即可求解.
（1）解： 点在图象上，
，
，
在图象上，
，
，
联立和得，
，
解得，，
点B的坐标为．
（2）解：如图，
当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，
根据图象可得，或．
（3）解： 点是反比例函数图象上的点，
，即，
过点作轴交于点，则点的纵坐标为1，
点在上，纵坐标为1，
横坐标为，
点，
，
，
．
故的面积为8．
21．【答案】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）18，；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）设所用的篱笆为米，
则，
∴，
，
，
解得：，或（舍去），
∴m的最小值为18米，
此时，
解得．
所以米．
故答案为：18，．
【分析】目标1：设的长为x米，先用x表示出BC，再根据“现可用的篱笆总长为20米”列出关于x的方程求解；
目标2：（1）设的长为x米，先用x表示出BC，再根据所用的篱笆长求出m，然后列出关于x的方程求解，根据判别式小于零，无解，故不能围成；
（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
22．【答案】（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，
则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，
，，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
，
，
∴，解得： ．
，，，
，
，
，
，
，
解得：．
所以．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据全等三角形的性质，得出，，再利用平行线的性质得到，从而可得到，再根据等角对等边，得到，从而可得，可证得四边形是平行四边形，再结合一组邻边相等即可证得四边形是菱形；
（2）① 先根据菱形性质，得到，，，再设，可用a表示出CE与AE，再利用勾股定理求解；
②先利用勾股定理求得BD，再利用等面积法得，到关于DM的方程求解求得DM，然后利用，，，得到，代入后转化关于BG的方程求解.
（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，，，又E为的中点，
，，，
，
，即，
．
，，，
，
，
，，
，
解得．
故．
1 / 1浙江省温州市苍南县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·苍南期末）当时，二次根式的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：当时，
原式，
故答案为：C
【分析】将代入二次根式中计算即可．
2．（2024八下·苍南期末）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
不是中心对称图形，故B不符合题意；
是中心对称图形，故C符合题意；
不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义，对四个图形逐一识别，作出判断．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．（2024八下·苍南期末）下列选项中，化简正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故选项A错误，不符合题意；
与不能合并，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法和减法法则计算后判定即可。
4．（2024八下·苍南期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（　　）
A．10米 B．20米 C．30米 D．40米
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： D，E是，的中点，
是的中位线，
，
∵，
（米）．
故答案为：D．
【分析】先说明DE是的中位线，再根据三角形中位线定理求出BC．
5．（2024八下·苍南期末）用反证法证明“如果，则”是真命题时，应假设(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“若，则”时，假设，
故答案为：B
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
6．（2024八下·苍南期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是矩形，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用矩形的性质，得出OA=OD，再根据等边对等角求得，然后三角形外角的性质求出，再利用直角三角形的两个锐角互余求得的度数 .
7．（2024八下·苍南期末）某品牌新能源汽车经过连续两次降价后，每台售价从万元降为万元，假设平均每次降价百分率为，则可列方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得，．
故答案为：A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1-降价百分率）2=现价，据此列方程即可．
8．（2024八下·苍南期末）根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压保持不变，通过灯泡的电流越大，则灯泡就越亮当电阻时，可测得某灯泡的电流若电压保持不变，电阻减小为时，该灯泡亮度的变化情况为(　　)
A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： ，当时，A，
（V），
若电压保持不变，即（V），电阻R减小为15Ω时，
则，电流变大了，
灯泡亮度的变化情况为变亮．
故答案为：B．
【分析】根据欧姆定律，结合已知条件可求出电压（V），若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解．
9．（2024八下·苍南期末）方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
令，则方程可转化为，
由题意得：，
即，
解得，
故答案为：B．
【分析】结合已知方程的解，设y=2x-1，利用换元法解一元二次方程即可得．
10．（2024八下·苍南期末）如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∵在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理可用a表示出，再用a表示出的长，根据，列出关于a的方程求出的值，从而求出的长．
11．（2024八下·苍南期末）二次根式 中字母x的取值范围是　 　。
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得x-5≥0，解得x≥5.
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-5≥0，求解即可.
12．（2024八下·苍南期末）某果园随机从甲、乙两个品种的葡萄树中各采摘10棵，得到两个品种产量的方差分别为（），（），则产量比较稳定的品种是　 　．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解： ，
根据方差的意义可知：方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好．
产量比较稳定的品种是乙．
故答案为：乙．
【分析】根据方差的定义求解．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，数据波动越大，稳定性越小；方差越小，数据波动越小，稳定性越好．
13．（2024八下·苍南期末）如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形内角和，
，
故答案为：6．
【分析】根据正多边形的内角和公式列方程，求出多边形的边数解答．
14．（2024八下·苍南期末）如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质求得，再根据平行四边形的对角相等求得．
15．（2024八下·苍南期末）如图，在矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D，E为的三等分点，作矩形使点G落在上，反比例函数（）的图象同时经过点D，F．若矩形的面积为3，则k的值为　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴，过点作轴，如图，
设矩形的长为，宽为，矩形的长为，
D，E为的三等分点，
，
，，
，，在反比例函数（）的图象上，
，，
，解得：，
∵矩形的面积为3，
∴，
，
．
故答案为：6．
【分析】先表示出D，F两点的坐标，再根据这两点在反比例函数的图象上，得到，，进而可得，再根据矩形BEFG的面积为3，求得ab=3，从而可求得ad，即k的值．
16．（2024八下·苍南期末）图1是一款可升降篮球架，支架，，的长度固定，A，D，G为立柱上的点，地面，篮板地面，，米，米，若改变伸缩臂的长度，则，可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当时，可测得篮筐的固定点C距离地面为2.9米，则支架的长为　 　米．降低篮筐高度如图3，连结交于点O，平分，，此时篮筐的固定点C离地面的距离为　 　米．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长交地面于点，过点作于点，
地面，篮板地面，
，
，
，
，
，
又
，
米，
故支架的长为米．
如图，设于相交于，连接，连接，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，
，
∵，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
平行四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
米．
故此时篮筐的固定点C离地面的距离为米．
故答案为：1.2，1.7.
【分析】先利用含有30度角直角三角形的性质求得CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，就可求得AB=1.2，再利用角平分线的意义和平行线的性质证明，然后根据等角对等边求得AN，再利用线段差求得DN，接着证明四边形DNCB、四边形是矩形，从而可用线段差求得CI即篮筐的固定点C离地面的距离．
17．（2024八下·苍南期末）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）原式
；
（2），
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，二次根式的乘法法则运算，再计算二次根式的减法；
（2）利用因式分解法解方程．
18．（2024八下·苍南期末）小林抽取名客户调查甲、乙两家酒店的满意情况，得分如下满分为分：
甲：，，，，，，，，，．
乙：，，，，，，，，，．
并根据满意度的得分情况，统计分析如下：
酒店 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表格中，，的值．
（2）从平均数、中位数和众数等角度进行分析，在甲、乙两家酒店中，你建议小林预定哪家酒店？请说明理由．
【答案】（1）解： ，
．
乙：6，7，7，8，8，9，9，9，9，9．一共10个数，第5，6个数为8和9，
中位数
甲：7，7，7，8，8，8，8，9，9，10．其中8出现次数最多，
众数．
（2）解： 两家酒店的平均数都是8.1；
从中位数的角度，甲的中位数是8，乙的中位数是8.5，乙比甲满意度更高；
从众数角度，甲的众数为8，乙的众数为9，也是乙比甲满意度更高，
综合比较，乙比甲的满意度更高，推荐预定酒店乙．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念求解即可；
（2）通过比较甲、乙的平均数相同，乙的中位数和众数都比甲大，可知酒店乙的满意度更高；
19．（2024八下·苍南期末）如图是由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．
（1）在图1中画出一个以为对角线的平行四边形．
（2）若小长方形的宽为1，请在图2中画出一个边长为的菱形．
【答案】（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：延长交矩形网格于，取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1，
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）取格点，连接，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形；
（2）取格点，依次连接得到四边形，再利用矩形的性质，勾股定理可求得四边形四条边都是，然后根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形为所求作菱形.
（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
延长交矩形网格于，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1；
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
20．（2024八下·苍南期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标．
（2）请直接写出当时，x的取值范围．
（3）点是反比例函数图象上的点，连接AC，BC，求的面积．
【答案】（1）解： 点在图象上，
，
点A的坐标为（1，3）
点A在图象上，
，
反比例函数的解析式 为，
，
解得，，
点B的坐标为．
（2）解：如图，
当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，
根据图象可得，或．
（3）解： 点是反比例函数图象上的点，
，即，
过点作轴交于点，则点的纵坐标为1，
点在上，纵坐标为1，
横坐标为，
点，
，
，
．
∴的面积为8．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据点A在一次函数的图象上，代入可求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的解析式，可求得反比例函数的解析式，再求出两个函数图象的交点，可求得点B的坐标；
（2）当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，利用函数图象即可得解；
（3）先求出点C的坐标，再过点作轴交于点，可得点的纵坐标为1，再利用三角形面积公式，可得，代入即可求解.
（1）解： 点在图象上，
，
，
在图象上，
，
，
联立和得，
，
解得，，
点B的坐标为．
（2）解：如图，
当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，
根据图象可得，或．
（3）解： 点是反比例函数图象上的点，
，即，
过点作轴交于点，则点的纵坐标为1，
点在上，纵坐标为1，
横坐标为，
点，
，
，
．
故的面积为8．
21．（2024八下·苍南期末）综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）18，；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）设所用的篱笆为米，
则，
∴，
，
，
解得：，或（舍去），
∴m的最小值为18米，
此时，
解得．
所以米．
故答案为：18，．
【分析】目标1：设的长为x米，先用x表示出BC，再根据“现可用的篱笆总长为20米”列出关于x的方程求解；
目标2：（1）设的长为x米，先用x表示出BC，再根据所用的篱笆长求出m，然后列出关于x的方程求解，根据判别式小于零，无解，故不能围成；
（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
22．（2024八下·苍南期末）如图1，，过点D作交于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，E为的中点．
①求的长．
②如图2，在边上取一点F，连结并延长交的延长线于点G，记的面积为，的面积为，当时，求的长．
【答案】（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，
则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，
，，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
，
，
∴，解得： ．
，，，
，
，
，
，
，
解得：．
所以．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据全等三角形的性质，得出，，再利用平行线的性质得到，从而可得到，再根据等角对等边，得到，从而可得，可证得四边形是平行四边形，再结合一组邻边相等即可证得四边形是菱形；
（2）① 先根据菱形性质，得到，，，再设，可用a表示出CE与AE，再利用勾股定理求解；
②先利用勾股定理求得BD，再利用等面积法得，到关于DM的方程求解求得DM，然后利用，，，得到，代入后转化关于BG的方程求解.
（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：① 连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
设，则，
E为的中点，
，
在，，
在，，
，
解得，
．
② 过点作于点，如图所示，
前面已证得四边形是菱形，，，又E为的中点，
，，，
，
，即，
．
，，，
，
，
，，
，
解得．
故．
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