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湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·张家界期末）在复平面内，复数，则对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·张家界期末）已知向量，向量，若，则m等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·张家界期末）某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （　　）
A．195 B．105 C．100 D．95
4．（2024高一下·张家界期末）已知边长为2的正方形中，为的中点，连接，则
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2024高一下·张家界期末）甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为
A． B． C． D．
6．（2024高一下·张家界期末）对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2024高一下·张家界期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（　　）
（参考数据：，，，）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·张家界期末）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（　　）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
9．（2024高一下·张家界期末）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（　　）
A． B．
C．70分以下的人数约为6人 D．本次考试的平均分约为93.6
10．（2024高一下·张家界期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（　　）
A． B．之间的距离为海里
C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里
11．（2024高一下·张家界期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．可能为直角三角形
D．平面与平面所成的锐二面角的范围是
12．（2024高一下·张家界期末）在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是　 　．
13．（2024高一下·张家界期末）已知复数为纯虚数，则　 　．
14．（2024高一下·张家界期末）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，则球O的表面积为　 　．
15．（2024高一下·张家界期末）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
①； ②； ③（i是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
16．（2024高一下·张家界期末）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
17．（2024高一下·张家界期末）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
18．（2024高一下·张家界期末）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
（1）小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.
19．（2024高一下·张家界期末）已知G点为的重心，内角的对边分别为．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且
（i），求实数的值；
（ii），求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】根据题意，，，，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量平行的坐标转化.根据，利用平面向量平行的坐标转化公式，可列出方程，解方程可求出m的值.
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知：抽样比为，
则高一年级抽取的人数是人.
故答案为：B．
【分析】根据分层抽样的定义求各层中的抽样比，再计算抽取高一年级学生的人数即可.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则， .
故答案为：B.
【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用平面向量法求解即可.
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 锤 剪子 包袱
锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱)
剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱)
包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱)
其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)，
设为“甲和乙平局”，则.
故答案为：A．
【分析】先列表得到所有的基本事件的个数以及平局对应的基本事件的个数，再根据古典概型概率公式求概率即可.
6．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、 若， 则可能在内，故A错误；
B、 若，可能在内，故B错误；
C、若，则与可能平行，故C错误；
D、 若，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断即可．
7．【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将“极目一号”Ⅲ型浮空艇近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体 ，该组合体的直观图如图所示：
因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为，
所以，
，
，
所以浮空艇的体积为：
，
故选：A.
【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：甲、乙两人所选课程可能，有一门相同、两门都相同、两门都不相同；
则与互斥不对立，与不互斥，
，，，
且，，，，
即与相互独立，与不相互独立.
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断AB；再根据古典概型的概率公式求出、、、、，根据相互独立事件的定义即可判断CD.
9．【答案】A,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，故A正确；
B、因为第六组有40人，第五组有160人，所以，故B错误；
C、70分以下的人数为人，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据频率分布直方图求解即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，，，
所以，故A正确；
B、在中，由正弦定理，
可得 (海里)，故B正确；
C、在中，因为，，所以 (海里)，故C错误；
D、在中，，
由余弦定理可得
(海里)，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角形的内角求得即可判断A；利用正弦定理求得即可判断B；利用等腰直角三角形性质求得即可判断C；利用余弦定理求得AB即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，取、的中点、，连接、、.
因为、分别为、的中点，所以，则，
且，
所以四边形为平行四边形，，
为等边三角形，为的中点，则，
平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
平面，因此平面平面，故选项A正确；
对于B，因为的面积为定值，
，平面，平面，所以平面，
因为，所以点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，故选项B正确；
对于C，平面，平面，，
为的中点，则，
若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则，
设正三棱柱的棱长为，则，则，
因为，故，所以不可能为直角三角形，故选项C错误.
当、分别为，中点时，平面与平面所成的角为，
当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；
延长交于，连接，则平面平面，
由于为的中点，，所以且，
故在中，为中点，为中点，
在中，为中点，为中点，故，由于平面，
所以平面，平面，所以，，
所以平面与平面所成锐二面角最大为，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故选项D正确．
故选：ABD．
【分析】取、的中点、，连接、、，证明平面，结合面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直）可判断选项A；由为定值，结合锥体的体积公式可判断选项B；利用反证法可判断选项C，平面与平面平行时所成角为，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大，即可判断选项D.
12．【答案】12
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则第50百分位数是.
故答案为：12.
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，，
则，则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的乘法化简求得复数，再由纯虚数的定义求出的值，最后求和即可.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
由题意，设球O的半径为，
在中，由余弦定理得，，
的外接圆直径，，
根据线面垂直模型知：
故球O的表面积为.
故答案为：.
【分析】设球O的半径为，在中，利用余弦定理结合同角三角函数基本关系、球的表面积公式求解即可.
15．【答案】（1）解：①、，
②、，
③、；
（2）解：根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：（且不同时为零），
下面进行证明：
要证：，
只需证：，
因为，所以成立 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算法则求解即可；
（2）归纳得，运用综合法证明.
（1）选①：，
选②：，
选③： ．
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：
（且不同时为零），
下面进行证明：
要证：，
只需证：，
∵，∴成立 .
16．【答案】解：（1）易知，
，
，
，
显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好；
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个，
根据古典概型概率公式可的：.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义判断即可；
（2）利用古典概型公式求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率即可.
17．【答案】证明：（1） 在四棱锥中 ，底面为平行四边形，O为的中点，
连接交AC于O，连接，如图所示：
因为分别是中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，如图所示：
因为是中点，所以，且，
平面，即为直线与平面所成角，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交AC于O，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）取中点，连接，由题意可知：为直线与平面所成角，在直角三角形中求解即可.
18．【答案】（1）解：记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），则，，；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
（2）解：记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意可得：，由事件的独立性和互斥性，
得，
则小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为；
（3）解：由题意可得：可能的取值为0，1，2，3，4，6，
，，
，，
，.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用互斥事件的加法公式列式计算即可；
（2）把所求概率的事件分拆成相互独立事件的积、彼此互斥事件的积，再利用乘法公式及加法公式计算即可；
（3）求出的可能值，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可.
（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，.
（2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
依题意，，由事件的独立性和互斥性，
得，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 ．
（3）依题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6，
由事件的独立性和互斥性，得：
，，
，，
，.
19．【答案】（1）解：若，则，
即，
因为点为的重心， 所以 ，所以，
则，解得；
（2）解：连接，并延长交AB于点，如图所示：
G点为的重心， 则D为AB的中点，由得；
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
因为，，
所以，，
即，则 ；
（ii）又，∴
则
．
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，结合三角形重心性质得出，求的值即可；
（2）（i）结合三角形重心性质和余弦定理即可求出；
（ii）先用同角基本关系式统一成正余弦后，结合正余弦定理以及两角和差的正弦公式化简可求得结果.
（1）由，即，
得，
∵点为的重心， ∴ ，，
∴，解得： ．
（2）如图，连接，并延长交AB于点，G点为的重心， 则D为AB的中点，
由得，
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
∵，，
∴，，
即，∴ ；
（ii）又，∴
∴
．
1 / 1湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·张家界期末）在复平面内，复数，则对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．（2024高一下·张家界期末）已知向量，向量，若，则m等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】根据题意，，，，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量平行的坐标转化.根据，利用平面向量平行的坐标转化公式，可列出方程，解方程可求出m的值.
3．（2024高一下·张家界期末）某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （　　）
A．195 B．105 C．100 D．95
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知：抽样比为，
则高一年级抽取的人数是人.
故答案为：B．
【分析】根据分层抽样的定义求各层中的抽样比，再计算抽取高一年级学生的人数即可.
4．（2024高一下·张家界期末）已知边长为2的正方形中，为的中点，连接，则
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则， .
故答案为：B.
【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用平面向量法求解即可.
5．（2024高一下·张家界期末）甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 锤 剪子 包袱
锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱)
剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱)
包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱)
其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)，
设为“甲和乙平局”，则.
故答案为：A．
【分析】先列表得到所有的基本事件的个数以及平局对应的基本事件的个数，再根据古典概型概率公式求概率即可.
6．（2024高一下·张家界期末）对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、 若， 则可能在内，故A错误；
B、 若，可能在内，故B错误；
C、若，则与可能平行，故C错误；
D、 若，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断即可．
7．（2024高一下·张家界期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（　　）
（参考数据：，，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：将“极目一号”Ⅲ型浮空艇近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体 ，该组合体的直观图如图所示：
因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为，
所以，
，
，
所以浮空艇的体积为：
，
故选：A.
【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果.
8．（2024高一下·张家界期末）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（　　）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：甲、乙两人所选课程可能，有一门相同、两门都相同、两门都不相同；
则与互斥不对立，与不互斥，
，，，
且，，，，
即与相互独立，与不相互独立.
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断AB；再根据古典概型的概率公式求出、、、、，根据相互独立事件的定义即可判断CD.
9．（2024高一下·张家界期末）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（　　）
A． B．
C．70分以下的人数约为6人 D．本次考试的平均分约为93.6
【答案】A,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，故A正确；
B、因为第六组有40人，第五组有160人，所以，故B错误；
C、70分以下的人数为人，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据频率分布直方图求解即可.
10．（2024高一下·张家界期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（　　）
A． B．之间的距离为海里
C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里
【答案】A,B,D
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，，，，
所以，故A正确；
B、在中，由正弦定理，
可得 (海里)，故B正确；
C、在中，因为，，所以 (海里)，故C错误；
D、在中，，
由余弦定理可得
(海里)，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角形的内角求得即可判断A；利用正弦定理求得即可判断B；利用等腰直角三角形性质求得即可判断C；利用余弦定理求得AB即可判断D.
11．（2024高一下·张家界期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．可能为直角三角形
D．平面与平面所成的锐二面角的范围是
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，取、的中点、，连接、、.
因为、分别为、的中点，所以，则，
且，
所以四边形为平行四边形，，
为等边三角形，为的中点，则，
平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
平面，因此平面平面，故选项A正确；
对于B，因为的面积为定值，
，平面，平面，所以平面，
因为，所以点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，故选项B正确；
对于C，平面，平面，，
为的中点，则，
若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则，
设正三棱柱的棱长为，则，则，
因为，故，所以不可能为直角三角形，故选项C错误.
当、分别为，中点时，平面与平面所成的角为，
当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；
延长交于，连接，则平面平面，
由于为的中点，，所以且，
故在中，为中点，为中点，
在中，为中点，为中点，故，由于平面，
所以平面，平面，所以，，
所以平面与平面所成锐二面角最大为，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故选项D正确．
故选：ABD．
【分析】取、的中点、，连接、、，证明平面，结合面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直）可判断选项A；由为定值，结合锥体的体积公式可判断选项B；利用反证法可判断选项C，平面与平面平行时所成角为，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大，即可判断选项D.
12．（2024高一下·张家界期末）在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是　 　．
【答案】12
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则第50百分位数是.
故答案为：12.
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
13．（2024高一下·张家界期末）已知复数为纯虚数，则　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，，
则，则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的乘法化简求得复数，再由纯虚数的定义求出的值，最后求和即可.
14．（2024高一下·张家界期末）已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，则球O的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
由题意，设球O的半径为，
在中，由余弦定理得，，
的外接圆直径，，
根据线面垂直模型知：
故球O的表面积为.
故答案为：.
【分析】设球O的半径为，在中，利用余弦定理结合同角三角函数基本关系、球的表面积公式求解即可.
15．（2024高一下·张家界期末）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
①； ②； ③（i是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
【答案】（1）解：①、，
②、，
③、；
（2）解：根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：（且不同时为零），
下面进行证明：
要证：，
只需证：，
因为，所以成立 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的除法运算法则求解即可；
（2）归纳得，运用综合法证明.
（1）选①：，
选②：，
选③： ．
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：
（且不同时为零），
下面进行证明：
要证：，
只需证：，
∵，∴成立 .
16．（2024高一下·张家界期末）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
【答案】解：（1）易知，
，
，
，
显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好；
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个，
根据古典概型概率公式可的：.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义判断即可；
（2）利用古典概型公式求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率即可.
17．（2024高一下·张家界期末）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】证明：（1） 在四棱锥中 ，底面为平行四边形，O为的中点，
连接交AC于O，连接，如图所示：
因为分别是中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，如图所示：
因为是中点，所以，且，
平面，即为直线与平面所成角，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在直角三角形中，，，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交AC于O，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）取中点，连接，由题意可知：为直线与平面所成角，在直角三角形中求解即可.
18．（2024高一下·张家界期末）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
（1）小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.
【答案】（1）解：记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），则，，；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
（2）解：记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意可得：，由事件的独立性和互斥性，
得，
则小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为；
（3）解：由题意可得：可能的取值为0，1，2，3，4，6，
，，
，，
，.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用互斥事件的加法公式列式计算即可；
（2）把所求概率的事件分拆成相互独立事件的积、彼此互斥事件的积，再利用乘法公式及加法公式计算即可；
（3）求出的可能值，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可.
（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，.
（2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
依题意，，由事件的独立性和互斥性，
得，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 ．
（3）依题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6，
由事件的独立性和互斥性，得：
，，
，，
，.
19．（2024高一下·张家界期末）已知G点为的重心，内角的对边分别为．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且
（i），求实数的值；
（ii），求实数的值.
【答案】（1）解：若，则，
即，
因为点为的重心， 所以 ，所以，
则，解得；
（2）解：连接，并延长交AB于点，如图所示：
G点为的重心， 则D为AB的中点，由得；
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
因为，，
所以，，
即，则 ；
（ii）又，∴
则
．
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，结合三角形重心性质得出，求的值即可；
（2）（i）结合三角形重心性质和余弦定理即可求出；
（ii）先用同角基本关系式统一成正余弦后，结合正余弦定理以及两角和差的正弦公式化简可求得结果.
（1）由，即，
得，
∵点为的重心， ∴ ，，
∴，解得： ．
（2）如图，连接，并延长交AB于点，G点为的重心， 则D为AB的中点，
由得，
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
∵，，
∴，，
即，∴ ；
（ii）又，∴
∴
．
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