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浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·诸暨期末）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·诸暨期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·诸暨期末）一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0经过配方可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x+2）2＝10
C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2
4．（2024八下·诸暨期末）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为，这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024八下·诸暨期末）三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为（　　）
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
6．（2024八下·诸暨期末）以下说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相平分且互相垂直
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
7．（2024八下·诸暨期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·诸暨期末）利用如图①的四个全等直角三角形，可以拼成如图②或图③所示的两个正方形，则图②与图③两个正方形的边长比值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·诸暨期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，反比例函数图象交线段，射线于点，，连接，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2024八下·诸暨期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（　　）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
11．（2024八下·诸暨期末）二次根式 中，字母 的取值范围是　 　．
12．（2024八下·诸暨期末）如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是　 　．
13．（2024八下·诸暨期末）用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设　 　．
14．（2024八下·诸暨期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是　 　．
15．（2024八下·诸暨期末）已知平行四边形，，，的平分线，交平行四边形的边于点，点，若，则平行四边形的周长是　 　．
16．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形中，，是边上的动点（可以和重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是　 　．
17．（2024八下·诸暨期末）（1）计算：
（2）计算：
18．（2024八下·诸暨期末）（1）解方程：
（2）解方程：
19．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题．
（1）在图①中，求的长；
（2）在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）；
（3）在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）
20．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
21．（2024八下·诸暨期末）数学小组对当地甲，乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查，两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
甲公司司机月收入扇形统计图 乙公司司机月收入条形统计图
甲乙公司月收入数据统计表
平均数 中位数 众数 方差
甲公司月收入 1.8
乙公司月收入 7 5 7.6
将以上信息整理分析如右上表：
（1）填空：______；______；______；
（2）某人计划从甲，乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
22．（2024八下·诸暨期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
（1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明；
23．（2024八下·诸暨期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．
（1）求的长度；
（2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；
①求该反比例函数解析式；
②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？
24．（2024八下·诸暨期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点．
（1）如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数；
（2）连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形．
①如图2，若，，，求四边形的面积；
②若的面积是，，的面积都是，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，A错误；
B、此图形旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形，符合题意，B正确；
C、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，C错误；
D、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】 根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可.中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵=3，所以不是最简二次根式，A错误；
B、是最简二次根式，B正确；
C、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，C错误；
D、∵=，∴不是最简二次根式，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据最简根式的概念逐一进行判断即可.最简二次根式必须满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可变形为：x2﹣4x＝6，
方程的两边同时加上4，得：x2﹣4x+4＝6+4，
即（x﹣2）2＝10．
故答案为：A．
【分析】根据配方法的概念：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大顺序进行排列为：2，2，2，3，3，4，5，
由此可知：3位于这组数据的中间位置，
因此，这组数据的中位数是3，
故答案为：B．
【分析】根据中位数得概念：将一组数据按大小排序后处于最中间的一位（或处于中间两数的平均数）即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】2×（3+4+5）=24
【分析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长=2×（3+4+5）=24。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等，故A错误；
B、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，故B错误；
C、正方形的对角线互相垂直且平分，故C正确；
D、平行四边形的对角线互相平分，故D错误．
故答案为：C．
【分析】分别根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质进行判断即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由绝对值的非负性可知：，
∴，
∴反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵-2＜-1＜0，
∴，位于第三象限，
∴，
∵3＞0，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由绝对值的非负性得出，进而得出＞0，再根据反比例函数图象的性质，当比例系数时，函数图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
设图①中较短直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，则，
∴
∴图②正方形的边长为，
在图③中，四边形是正方形，
∴四边形是正方形的边长为，
，
，
∴正方形的边长，
图②与图③两个正方形的边长比值是．
故答案为：C．
【分析】设图①中较短直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，则，可求得图②正方形的边长为，在图③正方形中，易知边长为b，根据正方形的性质可知，进而可计算出正方形的边长为，由此即可得出两个正方形的边长比值．
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为菱形，且顶点，
，
∴顶点，顶点A（5，0），
设直线的解析式为，
根据题意可知：顶点、在直线上，
∴，
解得，
直线的解析式为，
∴与反比例函数联立方程组为：，
解得，（不符合题意，舍去），
，
据图可知，反比例函数与直线BC相较于点F，则点，
．
．
故答案为：C．
【分析】先根据菱形的性质先求出点、点A，根据反比例函数图象求得点F，得到，再利用待定系数的方法求得直线AB的解析式，然后利用反比例函数和一次函数求出交点E的坐标，最后，根据三角形面积公式进行计算即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①：将代入原方程，得，
整理得：，即，
∴原方程无解，
∴不是方程的解．故①符合题意；
②：将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程有解，
∴可能是方程的解．故②不符合题意；
③：将代入原方程，得
整理得：
此方程有解，
∴可能是方程的解．故③不符合题意；
④将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程无解．
∴一定不是方程的解．故④符合题意，
综上所述：①④一定不是方程的实数解，
故答案为：A．
【分析】根据题意依次将各选项中的值代入方程，即可得到一个关于、b的二元二次方程，判断此方程解的情况，若此方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解 ：由题意得 ：x-2≥0，解得 x≥2.
故答案为： x≥2.
【分析】根据二次根式的被开方数必须是非负数即可得出关于x的不等式，求解即可得出答案。
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形内角和，
，
故答案为：6．
【分析】根据正多边形的内角和公式列方程，求出多边形的边数解答．
13．【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：在△ABC中，已知AB=AC，求证：∠B≠∠C，应首先假设∠B=∠C.
故答案为：∠B=∠C.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，据此解答.
14．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵根据题意可知阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴△ANL、是等腰直角三角形，
∴AN=NL，，
∵DF∥BC，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可知：右边5个三角形都是腰为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴S阴影部分总面积=S△ABC-5S等腰直角三角形-S△ANL=
，
故答案为：．
【分析】如图，先证明右边5个小三角形都是腰长为的等腰直角三角形，再求出是腰长为的等腰直角三角形，最后根据三角形的面积公式作差计算即可解决问题．
15．【答案】18或22
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DFC=∠DCF，
∴CD=DF，
∵AD=5，AF=1，
∴DF=AD-AF=4，
∴CD=4，
∴=2（AD+CD）=2×（5+4）=18，
如图所示，
同理可得：，
，
，
综上所述，或22，
故答案为：18或22，
【分析】根据平行四边形的边位置分两种情况画出平行四边形，然后利用角平分线的定义、平行四边形的性质以及周长公式进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当不与重合时，
∵正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△DAF中，
∴，
∴，
∵四边形DFGE是平行四边形
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
如图，
当点，分别与A，B重合时，是等腰直角三角形，
当点，分别与B，C重合时，是等腰直角三角形，
∵点E在边上运动，
∴点G在上运动，
∴当时，取最小值，
∵，，
∴，，
∴是直角边为1的等腰直角三角形，
∴G1G2==，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，再利用平行四边形的性质易得是等腰直角三角形，再根据临界情况判断出点G在上运动，由此得出时，取最小值，接着证明是直角边为1的等腰直角三角形，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理进行计算即可．
17．【答案】解：（1）原式=，
=；
（2）原式=（）×+，
=2-+
=2.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据实数的运算顺序，先算括号内的开平方运算，再算乘法，最后合并同类二次根式．
18．【答案】解：（1）
原方程变形为：x（x-2）-（x-2）=0，
将方程左边分解因式，得：（x-2）（x-1）=0，
则x-2=0或x-1=0，
解得：，；
（2）
原方程变形为：，
将方程左边分解因式，得：，
则7x-7=0或-x-1=0，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解的方法解方程即可.
19．【答案】（1）解：根据题意可知： ；
（2）解：如图①中，
菱形即为所求；
（3）解：由图可知，满足以AB为边的菱形若面积为3，则对角线应该为和， 因此作图情况如图②，
菱形即为所求.
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算线段AB的长度即可；
（2）根据菱形的判定与性质作出图形；
（3）根据菱形的判定与性质按要求作一个对角线分别为，的菱形即可．
（1）解：；
（2）解：如图①中，菱形即为所求；
（3）解：如图②中，菱形即为所求．
20．【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
21．【答案】（1）7，5.5，6
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲、乙两个公司平均数相等，但是甲公司司机收入的中位数、众数均大于乙公司，而且甲公司司机收入的方差小于乙公司，更稳定，所以选择甲公司.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：甲公司司机月收入为9千元所占比例=1-10%-10%-20%-40%=20%，
甲公司司机平均月收入：
（千元）；
将乙公司司机的收入按从小到大的顺序排列为：5，5，5，5，5，6，6，10，10，13，
∴乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知，乙公司司机收入中6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数，中位数、众数和方差的大小进行选择即可得出正确结论.
（1）解：甲公司司机平均月收入：
（千元）；
乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
22．【答案】（1）解：（1）设樱桃每篮售价定为x元时，每天能获得2400元的销售额，
根据题意可列一元二次方程为：，
解得：x=40或x=30，
∵规定每篮售价不低于35元，
∴x=30不符合题意，舍去，
答：樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额.
（2）解：设樱桃每篮售价定为y元时，每天能获得2500元的销售额，
根据题意可列一元二次方程为：，
整理可得：
∴
∴此方程无解，
答： 采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；
（1）设樱桃每篮售价定为x元， 每天能获得2400元的销售额， 根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可；
（2）设樱桃每篮售价定为y元时，该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，根据题意列出一元二次方程，判断出该方程有无实数解，即可判断销售额能否达到2500元．
（1）解：设樱桃每篮售价定为x元，
由题意得：，
解得：，，
∵规定每篮售价不低于35元，
∴应舍去，
答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（2）设樱桃每篮售价为x元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．
23．【答案】（1）解：长方形OABC中，A（10，0）、C（0，8），
∴BC=OA=10，AB=OC=8，∠AOC=∠OAB=∠B=90°，
由折叠可知：CE=BC=10，
在Rt△OCE中，OE==6，
∴OE的长度是6.
（2）解：①由（1）可得：，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
即
，
∴点D的坐标为，
关于的反比例函数图象经过点，
∴将点D（10，3）代入反比例函数，得：，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
根据题意可知，直线CD过点，，
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：，
令，
解得：或，
；
；
由折叠可知，，
延长至点M，使得，则，如图所示，
连接交于点，则点即为所求；
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线MF的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；数形结合
【解析】【分析】（1）由四边形是矩形，所以=10，=8，，由折叠可知，，即可求得；
（2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以AD=3，即可得出，将点代入反比例函数解析式可得，；
②延长至点M，使得，连接交于点，则点即为所求.根据待定系数法可分别求得直线CD、MF、CE的解析式 ，进而即可求得点P的坐标.
（1）解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
关于折叠得到，
，，
；
（2）①，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
，
，
关于的反比例函数图象经过点，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
，，
，
解得，
，
令，解得或，
；
；
由折叠可知，，
如图，延长至点，使得，则，
连接交于点，点即为所求；
设直线的解析式为：，
，解得，
，
同理可得直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
24．【答案】（1）解：∠MON=120°，不变化，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴∠MAB+∠ABC=∠CAN+∠ABC，
∴∠MAC=∠NAB，
在△AMC和△ABN中，
∴，
∴，
∵∠MON=∠OBM+∠BMO=（∠ABM+∠ABN）+（∠AMB-∠AMC）
即∠MON=∠ABM+∠BMA=60°+60°=120°.
（2）解：①连，如图所示，

由（1）可知，，
∴CM=BN，
∵D，G分别为的中点，E，F分别为BC、NC的中点，
∴，，DG∥BN∥EF，
∴DG=EF，
同理：DE=GF，
∵BN=CM，
∴，
∴四边形为菱形，
∵∠MON=120°，
∴∠MOB=180°-∠MON=60°，
∴∠GDE=60°，
∴为等边三角形，
∴△GDE的边DE上的高h=，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
∵是等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴三点共线，
在中，
，
∵，
∴，
∴四边形DEFG的面积=；
②过点M作交的延长线于点R，如图所示，
∵△ABM是等边三角形，
∴△ABM的高h=，
∴，
同理可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴MR=，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用证出，进而得出，即可求得∠MON=120°；
（2）由（1）可知，可得CM=BN，利用三角形中位线性质可证得四边形为菱形，为等边三角形，得出四边形的面积等于的面积的2倍，然后利用勾股定理得出的值，进而即可得出四边形的面积；②先利用面积公式得出的长，再证出为直角三角形，即可得出结论.
（1），不发生变化，理由如下：
如图，设与交于点P，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）①如图，连，设与交于点Q，连，
∵D，G分别为的中点，
∴，，
同理：，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
如图，在中，过点G作交于点K，
∴，
∴，
∴，
∵都为等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，三点共线，
∴在中，，
∵，
∴，
∴；
②如图，过点M作交的延长线于点R，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·诸暨期末）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，A错误；
B、此图形旋转180°后，与原图形完全重合，是中心对称图形，符合题意，B正确；
C、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，C错误；
D、此图形旋转180°后，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，不符合题意，D错误；
故答案为：B．
【分析】 根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可.中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2024八下·诸暨期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵=3，所以不是最简二次根式，A错误；
B、是最简二次根式，B正确；
C、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，C错误；
D、∵=，∴不是最简二次根式，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据最简根式的概念逐一进行判断即可.最简二次根式必须满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
3．（2024八下·诸暨期末）一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0经过配方可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x+2）2＝10
C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可变形为：x2﹣4x＝6，
方程的两边同时加上4，得：x2﹣4x+4＝6+4，
即（x﹣2）2＝10．
故答案为：A．
【分析】根据配方法的概念：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解进行判断即可．
4．（2024八下·诸暨期末）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为，这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大顺序进行排列为：2，2，2，3，3，4，5，
由此可知：3位于这组数据的中间位置，
因此，这组数据的中位数是3，
故答案为：B．
【分析】根据中位数得概念：将一组数据按大小排序后处于最中间的一位（或处于中间两数的平均数）即可得出结论.
5．（2024八下·诸暨期末）三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为（　　）
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】2×（3+4+5）=24
【分析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长=2×（3+4+5）=24。
6．（2024八下·诸暨期末）以下说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相平分且互相垂直
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等，故A错误；
B、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，故B错误；
C、正方形的对角线互相垂直且平分，故C正确；
D、平行四边形的对角线互相平分，故D错误．
故答案为：C．
【分析】分别根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质进行判断即可得出答案.
7．（2024八下·诸暨期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由绝对值的非负性可知：，
∴，
∴反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵-2＜-1＜0，
∴，位于第三象限，
∴，
∵3＞0，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先由绝对值的非负性得出，进而得出＞0，再根据反比例函数图象的性质，当比例系数时，函数图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小判断出、、的大小关系，即可得出答案.
8．（2024八下·诸暨期末）利用如图①的四个全等直角三角形，可以拼成如图②或图③所示的两个正方形，则图②与图③两个正方形的边长比值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
设图①中较短直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，则，
∴
∴图②正方形的边长为，
在图③中，四边形是正方形，
∴四边形是正方形的边长为，
，
，
∴正方形的边长，
图②与图③两个正方形的边长比值是．
故答案为：C．
【分析】设图①中较短直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，则，可求得图②正方形的边长为，在图③正方形中，易知边长为b，根据正方形的性质可知，进而可计算出正方形的边长为，由此即可得出两个正方形的边长比值．
9．（2024八下·诸暨期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，反比例函数图象交线段，射线于点，，连接，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为菱形，且顶点，
，
∴顶点，顶点A（5，0），
设直线的解析式为，
根据题意可知：顶点、在直线上，
∴，
解得，
直线的解析式为，
∴与反比例函数联立方程组为：，
解得，（不符合题意，舍去），
，
据图可知，反比例函数与直线BC相较于点F，则点，
．
．
故答案为：C．
【分析】先根据菱形的性质先求出点、点A，根据反比例函数图象求得点F，得到，再利用待定系数的方法求得直线AB的解析式，然后利用反比例函数和一次函数求出交点E的坐标，最后，根据三角形面积公式进行计算即可得出答案．
10．（2024八下·诸暨期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（　　）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①：将代入原方程，得，
整理得：，即，
∴原方程无解，
∴不是方程的解．故①符合题意；
②：将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程有解，
∴可能是方程的解．故②不符合题意；
③：将代入原方程，得
整理得：
此方程有解，
∴可能是方程的解．故③不符合题意；
④将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程无解．
∴一定不是方程的解．故④符合题意，
综上所述：①④一定不是方程的实数解，
故答案为：A．
【分析】根据题意依次将各选项中的值代入方程，即可得到一个关于、b的二元二次方程，判断此方程解的情况，若此方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解．
11．（2024八下·诸暨期末）二次根式 中，字母 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解 ：由题意得 ：x-2≥0，解得 x≥2.
故答案为： x≥2.
【分析】根据二次根式的被开方数必须是非负数即可得出关于x的不等式，求解即可得出答案。
12．（2024八下·诸暨期末）如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形内角和，
，
故答案为：6．
【分析】根据正多边形的内角和公式列方程，求出多边形的边数解答．
13．（2024八下·诸暨期末）用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设　 　．
【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：在△ABC中，已知AB=AC，求证：∠B≠∠C，应首先假设∠B=∠C.
故答案为：∠B=∠C.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，据此解答.
14．（2024八下·诸暨期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵根据题意可知阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴△ANL、是等腰直角三角形，
∴AN=NL，，
∵DF∥BC，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可知：右边5个三角形都是腰为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴S阴影部分总面积=S△ABC-5S等腰直角三角形-S△ANL=
，
故答案为：．
【分析】如图，先证明右边5个小三角形都是腰长为的等腰直角三角形，再求出是腰长为的等腰直角三角形，最后根据三角形的面积公式作差计算即可解决问题．
15．（2024八下·诸暨期末）已知平行四边形，，，的平分线，交平行四边形的边于点，点，若，则平行四边形的周长是　 　．
【答案】18或22
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DFC=∠DCF，
∴CD=DF，
∵AD=5，AF=1，
∴DF=AD-AF=4，
∴CD=4，
∴=2（AD+CD）=2×（5+4）=18，
如图所示，
同理可得：，
，
，
综上所述，或22，
故答案为：18或22，
【分析】根据平行四边形的边位置分两种情况画出平行四边形，然后利用角平分线的定义、平行四边形的性质以及周长公式进行求解即可.
16．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形中，，是边上的动点（可以和重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当不与重合时，
∵正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABE和△DAF中，
∴，
∴，
∵四边形DFGE是平行四边形
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
如图，
当点，分别与A，B重合时，是等腰直角三角形，
当点，分别与B，C重合时，是等腰直角三角形，
∵点E在边上运动，
∴点G在上运动，
∴当时，取最小值，
∵，，
∴，，
∴是直角边为1的等腰直角三角形，
∴G1G2==，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，再利用平行四边形的性质易得是等腰直角三角形，再根据临界情况判断出点G在上运动，由此得出时，取最小值，接着证明是直角边为1的等腰直角三角形，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理进行计算即可．
17．（2024八下·诸暨期末）（1）计算：
（2）计算：
【答案】解：（1）原式=，
=；
（2）原式=（）×+，
=2-+
=2.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据实数的运算顺序，先算括号内的开平方运算，再算乘法，最后合并同类二次根式．
18．（2024八下·诸暨期末）（1）解方程：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
原方程变形为：x（x-2）-（x-2）=0，
将方程左边分解因式，得：（x-2）（x-1）=0，
则x-2=0或x-1=0，
解得：，；
（2）
原方程变形为：，
将方程左边分解因式，得：，
则7x-7=0或-x-1=0，
解得：，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解的方法解方程即可.
19．（2024八下·诸暨期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题．
（1）在图①中，求的长；
（2）在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）；
（3）在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）
【答案】（1）解：根据题意可知： ；
（2）解：如图①中，
菱形即为所求；
（3）解：由图可知，满足以AB为边的菱形若面积为3，则对角线应该为和， 因此作图情况如图②，
菱形即为所求.
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算线段AB的长度即可；
（2）根据菱形的判定与性质作出图形；
（3）根据菱形的判定与性质按要求作一个对角线分别为，的菱形即可．
（1）解：；
（2）解：如图①中，菱形即为所求；
（3）解：如图②中，菱形即为所求．
20．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
21．（2024八下·诸暨期末）数学小组对当地甲，乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查，两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
甲公司司机月收入扇形统计图 乙公司司机月收入条形统计图
甲乙公司月收入数据统计表
平均数 中位数 众数 方差
甲公司月收入 1.8
乙公司月收入 7 5 7.6
将以上信息整理分析如右上表：
（1）填空：______；______；______；
（2）某人计划从甲，乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
【答案】（1）7，5.5，6
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲、乙两个公司平均数相等，但是甲公司司机收入的中位数、众数均大于乙公司，而且甲公司司机收入的方差小于乙公司，更稳定，所以选择甲公司.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：甲公司司机月收入为9千元所占比例=1-10%-10%-20%-40%=20%，
甲公司司机平均月收入：
（千元）；
将乙公司司机的收入按从小到大的顺序排列为：5，5，5，5，5，6，6，10，10，13，
∴乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知，乙公司司机收入中6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数，中位数、众数和方差的大小进行选择即可得出正确结论.
（1）解：甲公司司机平均月收入：
（千元）；
乙公司司机月收入的中位数为（千元）；
由扇形统计图可知6出现的次数最多，
．
故答案为：7，5.5，6；
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
22．（2024八下·诸暨期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
（1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明；
【答案】（1）解：（1）设樱桃每篮售价定为x元时，每天能获得2400元的销售额，
根据题意可列一元二次方程为：，
解得：x=40或x=30，
∵规定每篮售价不低于35元，
∴x=30不符合题意，舍去，
答：樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额.
（2）解：设樱桃每篮售价定为y元时，每天能获得2500元的销售额，
根据题意可列一元二次方程为：，
整理可得：
∴
∴此方程无解，
答： 采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；
（1）设樱桃每篮售价定为x元， 每天能获得2400元的销售额， 根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可；
（2）设樱桃每篮售价定为y元时，该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，根据题意列出一元二次方程，判断出该方程有无实数解，即可判断销售额能否达到2500元．
（1）解：设樱桃每篮售价定为x元，
由题意得：，
解得：，，
∵规定每篮售价不低于35元，
∴应舍去，
答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（2）设樱桃每篮售价为x元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．
23．（2024八下·诸暨期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．
（1）求的长度；
（2）若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；
①求该反比例函数解析式；
②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？
【答案】（1）解：长方形OABC中，A（10，0）、C（0，8），
∴BC=OA=10，AB=OC=8，∠AOC=∠OAB=∠B=90°，
由折叠可知：CE=BC=10，
在Rt△OCE中，OE==6，
∴OE的长度是6.
（2）解：①由（1）可得：，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
即
，
∴点D的坐标为，
关于的反比例函数图象经过点，
∴将点D（10，3）代入反比例函数，得：，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
根据题意可知，直线CD过点，，
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：，
令，
解得：或，
；
；
由折叠可知，，
延长至点M，使得，则，如图所示，
连接交于点，则点即为所求；
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线MF的解析式为：，
同理可得：直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；数形结合
【解析】【分析】（1）由四边形是矩形，所以=10，=8，，由折叠可知，，即可求得；
（2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以AD=3，即可得出，将点代入反比例函数解析式可得，；
②延长至点M，使得，连接交于点，则点即为所求.根据待定系数法可分别求得直线CD、MF、CE的解析式 ，进而即可求得点P的坐标.
（1）解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
关于折叠得到，
，，
；
（2）①，，
，
由折叠可知，，
在中，，
，
，
，
关于的反比例函数图象经过点，
，
该反比例函数解析式为；
②设直线的解析式为：，
，，
，
解得，
，
令，解得或，
；
；
由折叠可知，，
如图，延长至点，使得，则，
连接交于点，点即为所求；
设直线的解析式为：，
，解得，
，
同理可得直线的解析式为：，
令，解得，
，
，
即时，的周长最小．
24．（2024八下·诸暨期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点．
（1）如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数；
（2）连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形．
①如图2，若，，，求四边形的面积；
②若的面积是，，的面积都是，求的面积．
【答案】（1）解：∠MON=120°，不变化，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴∠MAB+∠ABC=∠CAN+∠ABC，
∴∠MAC=∠NAB，
在△AMC和△ABN中，
∴，
∴，
∵∠MON=∠OBM+∠BMO=（∠ABM+∠ABN）+（∠AMB-∠AMC）
即∠MON=∠ABM+∠BMA=60°+60°=120°.
（2）解：①连，如图所示，

由（1）可知，，
∴CM=BN，
∵D，G分别为的中点，E，F分别为BC、NC的中点，
∴，，DG∥BN∥EF，
∴DG=EF，
同理：DE=GF，
∵BN=CM，
∴，
∴四边形为菱形，
∵∠MON=120°，
∴∠MOB=180°-∠MON=60°，
∴∠GDE=60°，
∴为等边三角形，
∴△GDE的边DE上的高h=，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
∵是等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴三点共线，
在中，
，
∵，
∴，
∴四边形DEFG的面积=；
②过点M作交的延长线于点R，如图所示，
∵△ABM是等边三角形，
∴△ABM的高h=，
∴，
同理可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴MR=，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用证出，进而得出，即可求得∠MON=120°；
（2）由（1）可知，可得CM=BN，利用三角形中位线性质可证得四边形为菱形，为等边三角形，得出四边形的面积等于的面积的2倍，然后利用勾股定理得出的值，进而即可得出四边形的面积；②先利用面积公式得出的长，再证出为直角三角形，即可得出结论.
（1），不发生变化，理由如下：
如图，设与交于点P，
∵和都为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）①如图，连，设与交于点Q，连，
∵D，G分别为的中点，
∴，，
同理：，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴四边形的面积等于的面积的2倍，
如图，在中，过点G作交于点K，
∴，
∴，
∴，
∵都为等边三角形，D为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，三点共线，
∴在中，，
∵，
∴，
∴；
②如图，过点M作交的延长线于点R，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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