资源简介

2024-2025学年河南省南阳市淅川县第一高级中学高一下学期 5月月考
数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，共 48 分。
1.已知 = 3 i1 i，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
2.已知 1 + i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个解，则 2 + 2 =( )
A. 4 B. 8 C. 6 D. 0
3 tan π.已知 4 + = 3
1 sin2
，则2cos2 sin2 =( )
A. 34 B.
1 1 3
2 C. 4 D. 4
4. = 1 + sin52° + 1 sin52°， = 4cos31°cos59°， = tan115° tan55° 3tan115°tan55°，则 ，
， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5 cos π = 2 sin 2 + π.设 为锐角，若 6 3，则 6 =( )
A. 4 B. 4 C. 1 D. 19 9 9 9
6.已知函数 ( ) = sin( + 2 ) + cos( + 4 )， ∈ 0, π4 是偶函数，则 ( ) = sin sin( + 4 )的最大值为
( )
A. 1 3 14 B. 4 C. 1 D. 4
7.计异下列合式的值，结果为 2 的是( )
A. tan75 + tan60 B. 1sin15 cos15
C. 1 + tan20 1 + tan25 D. 1 3cos80 sin80
8.在锐角 π中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 2 sin = cos 4 ， = 2，则 边上的高
的取值范围是( )
A. 1, 2 B. (1,2) C. 1,2 2 D. 2, 2 2
9.已知复数 满足 1 i = 2 1 + i ，则下列结论正确的是( )
A. | | = 2
B.若 + i , ∈ R 为纯虚数，则 ≠ 0， = 0
第 1页，共 6页
C.若| | > + i , ∈ R ，则 2 + ( + 1)i 在复平面内对应的点位于第三象限
D.若 = + i , ∈ R ，则复平面内满足| | ≤ 3 的点 ( , )的集合构成区域的面积为 9π
10.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 外接圆半径是 ，内切圆半径是 ，下列说法中
正确的是( )
A.若 > ，则 sin > sin
B. = 若cos cos ，则 为等腰三角形
C.若( + ): ( + ): ( + ) = 5: 6: 7 = 16，则 5
D.若 tan + tan + tan > 0，则 为锐角三角形
11.点 在 所在平面内，下列说法正确的是( )
A.若 + + = 0，则 为 的重心
B.若 > 0，则 为锐角三角形
C.若 = 1 2 3 + 3
，则 =
2
3
D.若 为边长为 2 的正三角形，点 在线段 上运动，则 ( + ) = 3
12.在 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ， = 3， = 60°，若 有两解，则
的取值范围是( )
A. (0,3) B. 3,2 3 C. 2 3, + ∞ D. 3,2 3
二、填空题：本大题共 3 小题，共 12 分。
13.设当 = 时，函数 ( ) = sin 2cos 取得最大值，则 sin = ．
14.如图，在 中， 分别是 与 的中点，且 与 相交于点 .若 = 2, = 5， = 60°，则
= ．
15 (1) 1 3 3tan12° 3. sin10° sin80° = ；(2) 4cos212° 2 sin12° = ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数 z 不是纯虚数，且满足| |2 2 = 1 + 2i．
(1)求| |
(2)若复数 是关于 的方程 2 + = 0(其中 ， 为实数)的根，求 + ．
第 2页，共 6页
17.已知函数 ( ) = 2 3sin + cos + 2 2 + 2sin
2 +
2 1 > 0,0 < < π 为奇函数，且 ( )图象
π
的相邻两对称轴间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式与单调递减区间；
(2) ( ) π 1将函数 的图象向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )
∈ 0, π的图象，当 2 时，求方程 2
2( ) + 3 ( ) 3 = 0 的所有根的和．
18 10 1.已知 为锐角， 为钝角，且 sin = 10 ，tan( ) = 2．
(1)求 tan 的值；
(2)求 2 的值．
19.锐角三角形 中，角 , , 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 cos + ．
(1)求 ；
(2)求三角形 周长的取值范围；
(3)求三角形 面积的最大值．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 55
14.3
15.4
4 3
16.【详解】(1)由已知，设 = + i
代入| |2 2 = 1 + 2i 并整理得：
2 + 2 2 = 1
2 + 2 2 2 i = 1 + 2i 2 = 2 ,
≠ 0
= 2
解得 = 1，所以 = 2 i，
所以| | = 22 + ( 1)2 = 5．
(2)由(1)可得 = 2 i，由 = 2 i 是方程 2 + = 0 的根，
所以 2 + i 也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得 2 i + 2 + i = ，
得 2 i 2 + i = ，解得 = 4， = 5，则 + = 9．
第 4页，共 6页
17【. 详解】(1) ( ) = 3sin( + ) + 2sin2 + 2 1 = 3sin( + ) cos( + ) = 2sin +
π
6 ，
∵ ( ) π图象的相邻两对称轴间的距离为2，
∴ ( )的最小正周期为 = π，即可得 = 2，.
又 ( ) π为奇函数，则 6 = , ∈ ，
又 0 < < π，∴ = π6，故 ( ) = 2sin2 ，
π
令2 + 2 π ≤ 2 ≤
3π+ 2 π ∈ π2 ， ，得4 + π ≤ ≤
3π
4 + π， ∈ ．
∴ ( ) π 3π函数 的递减区间为 4 + π, 4 + π ， ∈ ．
(2) ( ) π将函数 的图象向右平移6个单位长度，可得 = 2sin 2
π
3 的图象，
1
再把横坐标缩小为原来的2，得到函数 = ( ) = 2sin 4
π
3 的图象，
又 2 2( ) + 3 ( ) 3 = 0，则 ( ) = 3或 ( ) = 32 ，
即 sin 4 π 3 π 33 = 2 或 sin 4 3 = 4 ．
= 4 π ∈ 0, π = 4 π ∈ π , 5π令 3，当 2 时， 3 3 3 ，
画出 = sin 的图象如图所示：
π
sin = 3有两个根 4 1， 2，关于
= 2对称，
即 1 + 2 = π，
sin = 3 π 4π 5π2 ，则 3 = 3， 4 = 3 ， 5 = 3，
sin 4 π = 3 π π π3 4 在 0, 2 上有两个不同的根 1， 2，4 1 3 + 4 2 3 = π，
∴ + = 5π1 2 12；
π 3 5π π
又 sin 4 3 = 2 的根为 0，12，2，
所以方程 2 2( ) + 3 ( ) 3 = 0 在 ∈ 0, π 4π2 内所有根的和为 3 ．
第 5页，共 6页
18. 10【详解】(1)因为 为锐角，sin = 10 ，所以 cos = 1 sin
2 = 3 10 tan = sin 10 ，所以 cos =
1
3，
tan( )+ tan 1
tan = tan( + ) = 1 tan( )tan = 7
(2)因为 10 4为锐角，sin = 10 ，由 cos2 = 1 2sin
2 = 5，
可得 sin2 = 1 cos2 = 35，
所以 tan2 = sin2 3cos2 = 4．
1 3
tan( 2 ) = tan tan2 7 41+tan tan2 = 1 3 = 1，1+ 7 ×4
3 π π
又因为 tan2 = 4 > 0，所以 0 < 2 < 2，而2 < < π，
3π
可得 0 < 2 < π，所以 2 = 4．
19.【详解】(1)由正弦定理：2sin( + ) = 2sin = 2sin cos + sin ，
则 2sin cos + 2sin cos = 2sin cos + sin ，
cos = 1 π π所以 2，根据 0 < < 2得： = 3．
(2) 由正弦定理：sin =

sin =

sin = 2，所以 = 2sin , = 2sin ，
+ = 2sin + 2sin = 2sin + 2sin 2π3 = 3sin + 3cos = 2 3sin +
π
6 ，
注意到 0 < < π2 , 0 <
2π π π π
3 < 2，所以6 < < 2，
+ π ∈ π , 2π所以 6 3 3 , sin +
π 3
6 ∈ 2 , 1 ,
所以 + ∈ 3,2 3 ,
所以周长的取值范围是 3 + 3, 3 3 ．
(3)余弦定理：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1
所以三角形 面积为2 sin
π
3 ≤
3 3
4 ，
当且仅当 = = 3 3 3时，即 为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑